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Calcul tensoriel

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Objectifs du livre

Ce wikibook sur le calcul tensoriel est destiné au lecteur qui a déjà quelques notions d'analyse, notamment par la connaissance des opérateurs différentiels usuels : gradient, divergence, rotationnel et laplacien. Ces opérateurs différentiels auront probablement jusqu'ici été définis au travers de formules valables uniquement dans un système orthonormé de coordonnées, peut-être parfois dans le système de coordonnées sphériques. Par exemple, en coordonnées orthonormées, la divergence aura été définie par la formule  .

Mais le champ scalaire  , dérivé du champ vectoriel  , a une signification physique indépendante du système de coordonnés choisi pour mesurer l'espace. Le calcul tensoriel est un outil qui permet d'écrire de manière simple, rigoureuse et uniforme les formules des opérateurs différentiels dans un système de coordonnées quelconque. Lorsqu'il retrouvera aisément les formules classiques dans le système cylindrique ou dans le système sphérique, le lecteur sera probablement convaincu de l'intérêt du calcul tensoriel !

Lorsque le lecteur travaillera facilement dans l'espace bidimensionnel ou tridimensionnel avec des tenseurs métriques divers et variés, il ne verra pas de difficulté à mesurer l'espace-temps de la relativité restreinte. Dans cet espace quadridimensionnel, les équations de Maxwell prennent une forme particulièrement simple. Ainsi les deux équations   et   impliquant une divergence tridimensionnelle, un rotationnel et une dérivée partielle par rapport au temps se résument à une unique équation de Gauss quadridimensionnelle.

La notion de géodésique dans l'espace-temps permettra au lecteur de retrouver les formules classiques d'accélération centrifuge et accélération de Coriolis dans un référentiel tournant.

Le lecteur pourra aborder les espaces courbes en commençant par un espace à deux dimensions, la sphère.

Sans concept supplémentaire, le lecteur pourra calculer pour n'importe quelle métrique la courbure de l'espace-temps. Il verra qu'il est facile de construire à partir de la courbure un tenseur symétrique, le tenseur d'Einstein, dont la divergence quadridimensionnelle est nulle. Il est tentant d'identifier ce tenseur avec un autre tenseur symétrique de divergence nulle, qui décrit l'énergie et la quantité de mouvement des particules et des champs. Le faire, c'est écrire l'équation fondamentale de la relativité générale et comprendre la gravitation.


Notions élémentaires

IntroductionModifier

Pour les besoins du calcul tensoriel, nous serons amenés a utiliser une notation indicielle, ces indices pouvant êtres aussi bien des indices bas que hauts. Il faudra particulièrement faire attention au fait que les indices hauts ne représentent pas une puissance (en cas de réelle utilisation de puissance on peut toujours écrire  ).

Il faudra faire aussi faire attention au fait que l'on va utiliser des conventions de simplification pour alléger l'écriture. En particulier, la convention d'Einstein: si on a un vecteur:

 

On omettra le signe "somme" et on écrira juste:

 

Remarquez la convention d'écrire les composantes avec un indice haut, et les vecteurs de bases avec un indice inférieurs (lorsque l'on utilise les composantes contravariantes - nous verrons ce que c'est précisément plus tard).

Exemples:

  • le vecteur:   s'écrira   (en spécifiant évidemment que  )
  • le système:

 

 

s'écrira   ( : attention que l'indice de sommation est j dans ce cas et non pas i.)

Pour les dérivées partielles par rapport aux coordonnées, on utilise indifféremment les notations

 

Transformations entre systèmes de coordonnéesModifier

On s'intéresse maintenant aux changements de coordonnées entre deux systèmes de coordonnées différents.

Soient deux systèmes de coordonnées a et b (on va donc noter la ième composante d'un point respectivement   et   dans l'un ou l'autre des système). Considérons les fonctions de transformation :

 
 

Le jacobien de la transformation relie les variations infinitésimales des coordonnées :

 

Ainsi on a:

 

Le jacobien de la transformation inverse est l'inverse du jacobien. Introduisant   le symbole de Kronecker, on a

 

Et le symbole de Kronecker est défini comme suit:

 

Base naturelleModifier

Nous allons maintenant introduire la notion de "base naturelle".

Par définition, la base naturelle au point   est la base formée par les vecteurs:

 

  représente évidemment l'origine.

  est donc la base naturelle de vecteurs locaux associés à un système de coordonnées quelconque  . Un élément infinitésimal s'écrit dans cette base:

 

On a par définition:

 

  • Remarques
    1. La lettre   étant muette, on voit parfois écrit  , avec le risque de confusion avec l'opérateur dérivation.
    2. Sauf dans le cas d'un repère cartésien, la base naturelle varie d'un point à un autre. Chaque symbole  ,  , etc. représente en fait un champ de vecteurs.
    3. Les vecteurs de base se transforment selon la formule  . Démonstration

composantes covariantes et contravariantesModifier

Soit   un espace vectoriel, et soit   et   une base de  .

On note, avec la convention d'Einstein:

 

Tout simplement, les nombres   sont les composantes contravariantes du vecteur  . Ce sont les composantes que l'on utilise habituellement.

Les composantes covariantes d'un vecteur sont les composantes d'un vecteur sur la base duale. On note:

 

ou la base   est la base duale de  , définie par:

 

Remarques:

  • Tous les vecteurs de la base duale sont orthogonaux à tous les vecteurs de la base de départ d'indices différents (produit scalaire nul).
  • Le produit scalaire entre un vecteur de la base ordinaire et un vecteur de la base duale mais de même indice cette fois, vaut 1.
  • On peut déduire qu'une base orthonormale est identique à sa base duale.
  • La base duale de la base duale est la base de départ.

TenseursModifier

Dans un espace de dimension N, un tableau à P indices  , chaque indice pouvant prendre N valeurs représente les composantes covariantes d'un tenseur d'ordre P dans un système de coordonnées données, si ce tableau se transforme comme les vecteurs de base locale lors d'un changement de système de coordonnées.

 

Un tableau   représente les composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre P dans un système de coordonnées données, si ce tableau se transforme comme les variations infinitésimales des coordonnées lors d'un changement de système de coordonnées.

 

On verra plus bas que des composantes contravariantes et covariantes peuvent correspondre au même tenseur, la transformation étant obtenue au moyen du tenseur métrique.

De la même manière qu'on définit un champ vectoriel comme un vecteur fonction de la position dans l'espace, on définit un champ tensoriel comme un tenseur fonction de la position dans l'espace. Dans la suite, on utilisera le simple mot tenseur, alors qu'on considérera en général un champ tensoriel.

Il n'y a pas de difficulté à définir un tenseur en composantes mixtes. On aura par exemple

 

Produit tensorielModifier

Deux tenseurs A et B d'ordre P et Q étant donnés par leurs   et   composantes covariantes, contravariantes ou mixtes, le produit des composantes définit un tableau de   composantes. Ce tableau se transforme évidemment comme les composantes d'un tenseur C d'ordre  , appelé produit tensoriel de A et B.

On écrira par exemple  .

Tenseur métriqueModifier

Le tenseur métrique, noté  , est le tenseur produit scalaire des vecteurs de la base naturelle. Il est symétrique :

 

Le carré d'un élément de longueur est la forme quadratique

 

À RÉDIGER

Transformation contracoModifier

On transforme les composantes contravariantes d'un tenseur en composantes covariantes au moyen du tenseur métrique :

 

Étant donné que   est la matrice inverse de  , on a

 
  • Remarques
    1. Avec la convention d'Einstein, on sous-entend le symbole   dès qu'un indice figure à la fois en haut et en bas. On écrit ainsi  , et  .
    2. Il y a une convention plus radicale utilisée par certains auteurs suivant laquelle on omet également le tenseur métrique dès lors qu'il intervient dans une contraction. Ainsi, à la place de  , on écrit  .
    3. La transformation contraco peut être appliquée à plusieurs indices d'un tenseur d'ordre quelconque. Par exemple  .

ContractionModifier

Un tenseur d'ordre P étant donné, on obtient un tenseur d'ordre   en sommant toutes les termes correspondant aux mêmes valeurs de deux indices donnés, l'un covariant, l'autre contravariant.

 

Avec la convention d'Einstein, on écrit

 

Puisque l'on a  , on peut effectuer la contraction sur deux composantes contravariantes ou bien deux composantes covariantes au moyen du tenseur métrique :

 

Produit scalaireModifier

Le produit scalaire de deux vecteurs   et   est la contraction de leur produit tensoriel. Il s'exprime donc au moyen du tenseur métrique   :

 

C'est un tenseur d'ordre 0, indépendant du choix du système de coordonnées.

Tenseur dualiseurModifier

IntroductionModifier

Étant donné un espace de dimension N, le symbole de Levi-Civita d'ordre N  , aussi appelé pseudo-tenseur unité complètement antisymétrique n'est pas un tenseur. Par exemple, ses composantes devraient être multipliées par   lorsque le système de coordonnées est réduit d'un facteur 2.

Définition du tenseur dualiseurModifier

Tenseur dualiseur en coordonnées contravariantesModifier

La formule

 

  est le déterminant du tenseur métrique, définit bien un tenseur à partir du symbole de Levi-Civita d'ordre N. Ce tenseur, aussi appelé tenseur de Levi-Civita et noté   est ici appelé tenseur dualiseur. Il est intéressant de noter que pour qu'un scalaire soit un tenseur (d'ordre 0), il faut qu'il soit indépendant du choix du système de coordonnées. Le déterminant du tenseur métrique n'est donc pas un tenseur mais son produit avec le symbole   est bien un tenseur, indépendant du système de coordonnées.

Tenseur dualiseur en coordonnées covariantesModifier

On passe aux coordonnées covariantes en mettant en jeu N fois le tenseur métrique. Le produit de ces N termes avec le symbole de Levi-Civita d'ordre N est égal au déterminant du tenseur métrique et l'on obtient

 
Détermination du signeModifier

Le tenseur dualiseur garde néanmoins un caractère particulier. C'est le choix de la détermination de la racine carrée qui définit l'orientation du système de coordonnées. Retourner une coordonnée doit s'accompagner du changement de signe des composantes du tenseur.

Dans le cas de l'espace-temps quadridimensionnel, le déterminant du tenseur métrique est négatif. Deux possibilités s'offrent alors, considérer que le tenseur dualiseur est imaginaire pur, ou remplacer g par -g. Cette seconde possibilité facilite les calculs mais n'est pas satisfaisante d'un point de vue théorique [connecter avec la mesure de la distance spatiale ou temporelle comme racine carrée de l'intervalle d'espace-temps, dont le signe donne la nature, temps ou espace]

Propriétés du tenseur dualiseurModifier

Produit de tenseurs dualiseursModifier

La formule suivante découle directement de la formule obtenue avec le symbole de Levi-Civita d'ordre N. Le symbole   est le symbole de Kronecker, représentant la matrice unité.

 
résultat d'ordre 2Modifier
 
résultat d'ordre 4Modifier
 

Définition du tenseur dualModifier

Le produit du tenseur dualiseur avec un tenseur d'ordre M dans un espace de dimension N définit un tenseur d'ordre N-M, son dual.  

Le choix de faire la contraction sur les M derniers indices du tenseur dualiseur est tout à fait arbitraire. La contraction sur une autre famille d'indices fournit la même expression de  , avec un signe éventuellement opposé. Il est aussi à noter que si l'on change l'orientation de l'espace en échangeant deux coordonnées, le tenseur dual change de signe.

Tenseurs duaux complètement antisymétriquesModifier

Si dans un espace à   dimensions,   est un tenseur à   indices, avec  , alors le dual   est un tenseur à   indices, lui-aussi complètement antisymétrique, et l'on a

 

On va le démontrer en dimension 3. La généralisation est facile.

dimension 3Modifier

Le dual d'un vecteur   est un tenseur antisymétrique à deux indices  . Réciproquement, le dual d'un tenseur antisymétrique   est un vecteur  . Tous deux ont 3 composantes indépendantes.

Le dual d'un scalaire   est un tenseur complètement antisymétrique à trois indices  . Réciproquement, le dual d'un tenseur complètement antisymétrique à trois indices   est un scalaire  . Le tenseur complètement antisymétrique à trois indices dans un espace de dimension 3 n'a qu'une composante indépendante. On l'appelle aussi pseudo-scalaire.

Le dual du dual d'un tenseur complètement antisymétrique à 0, 1, 2 ou 3 indices est le tenseur lui-même. Autrement dit, le dual du dual est l'opérateur identité pour les scalaires, les vecteurs  , les tenseurs antisymétriques à deux indices   et les tenseurs complètements antisymétriques à trois indices  .

En effet, pour un scalaire on a  ; pour un vecteur on a   ; pour un tenseur antisymétrique à deux indices on a   ; pour un tenseur complètement antisymétrique à trois indices on a  

dimension 4Modifier

Le dual d'un scalaire   est le tenseur complètement antisymétrique pseudo-scalaire  

Le dual d'un vecteur   est le tenseur complètement antisymétrique  . Tous deux ont 4 composantes indépendantes.

Le dual d'un tenseur antisymétrique   est le tenseur antisymétrique  . Tous deux ont 6 composantes indépendantes.

Le dual d'un tenseur complètement antisymétrique   est le vecteur  

Le dual d'un tenseur complètement antisymétrique pseudo-scalaire   est le scalaire  

De la même manière qu'en dimension 3, il est facile de démontrer que l'opérateur dual du dual est l'opérateur unité pour les scalaires, les vecteurs, les tenseurs antisymétriques à deux indices et les tenseurs complètement antisymétriques à trois ou quatre indices.

Produit vectorielModifier

Soient   et   deux vecteurs dans un espace de dimension N. Le produit vectoriel de ces vecteurs est le tenseur défini par

 

  • en dimension 2, le produit vectoriel est le scalaire défini par  
  • En dimension 3, le produit vectoriel est le vecteur défini par  , ou, en composantes contravariantes  .

Dérivée covarianteModifier

Dérivée partielle d'un vecteurModifier

Soit un champ vectoriel   de coordonnées   dans la base naturelle associée au système de coordonnées   et de coordonnées   dans la base naturelle associée au système de coordonnées  .

La dérivée partielle ou dérivée virgule

 

n'est pas un tenseur. En effet, lorsqu'on dérive la formule de changement de coordonnées

 

on obtient

 

formule de transformation d'un tenseur deux fois covariant, troublée par la présence d'un second terme, contenant le jacobien de la matrice de changement de base.

Symbole de ChristoffelModifier

Le symbole de Christoffel est défini à partir de la dérivée partielle des vecteurs de la base naturelle :

 

Étant donné la définition de la base naturelle, on peut écrire   pour mettre en évidence la symétrie du symbole de Christoffel par échange des indices bas :

 

  • Remarques
    1. Le symbole de Christoffel est aussi appelé connexion, avec un signe parfois différent.
    2. Ce symbole n'est pas un tenseur à cause du second terme de la formule de transformation. On définit néanmoins le symbole  
    3. Ce symbole permet de calculer le tenseur dérivée covariante d'un tenseur.

Symbole de Christoffel fonction du tenseur métriqueModifier

Le symbole de Christoffel s'écrit en fonction de la dérivée partielle   du tenseur métrique:

 

Démonstration

Contraction du symbole de ChristoffelModifier

La contraction du symbole de Christoffel s'exprime à partir de la dérivée partielle du déterminant du tenseur métrique.

 

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel/Contraction/Démonstration

  • Remarques
    1. Le symbole de Christoffel étant symétrique, le résultat ne dépend de l'indice de contraction :  
    2. Ni le symbole de Christoffel ni la dérivée partielle ne représentent des tenseurs. Néanmoins cette formule peut figurer dans des expressions qui représentent des tenseurs, par exemple dans la formule de la

divergence.

Transformation du symbole de Christoffel lors d'un changement de coordonnéesModifier

 

Pseudo-contraction de la dérivée partielle du tenseur métriqueModifier

Le produit contracté du tenseur métrique et de sa dérivée partielle change de signe lorsqu'on remonte les indices d'un terme du produit et que l'on descend les indices de l'autre terme :  . Démonstration.

  • Remarques
    1. Si   était un tenseur, on aurait le signe +.
    2. On a bien un tenseur en calculant la dérivée covariante   du tenseur métrique, mais ce tenseur est nul.

Dérivée covarianteModifier

La dérivée covariante, définie par

 
 
 
 

etc. est un tenseur. La présence des symboles de Christoffel permet d'anihiler le jacobien dans la formule de transformation de la dérivée virgule.

Nullité de la dérivée covariante du tenseur métriqueModifier

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Nullité de la dérivée covariante

Nullité de la dérivée covariante du tenseur dualiseurModifier

La dérivée covariante du tenseur dualiseur est nulle :

 .

Démonstration.

Système de coordonnées localement géodésiqueModifier

Il est possible de construire un système de coordonnées qui annule les dérivées partielles du tenseur métrique, et donc le symbole de Christoffel en un point donné, sans modifier le tenseur métrique en ce point. Démonstration.

Il est possible de construire un système de coordonnées qui annule les dérivées partielles du tenseur métrique, et donc le symbole de Christoffel sur une ligne donnée.

Opérateurs différentielsModifier

GradientModifier

Si f est un champ scalaire indépendant du système de coordonnées, c'est un tenseur d'ordre 0, et sa dérivée partielle est égale à sa dérivée covariante :  , aussi appelée gradient de f. Ce vecteur est habituellement exprimé en composantes contravariantes

 

Cette formule permet, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement le gradient dans un système de coordonnées quelconque. Voir par exemple le gradient en coordonnées cylindriques et le gradient en coordonnées sphériques.

  • Remarques
    1. Le gradient généralisé d'un tenseur quelconque peut être défini simplement comme sa dérivée covariante. Cette opération ajoute un indice au tenseur.

DivergenceModifier

La divergence d'un tenseur est le tenseur obtenu en contractant un des indices de la dérivée covariante avec l'indice de la dérivation.

Divergence d'un vecteurModifier

Pour un champ vectoriel  , on a

 

Mettant a profit la formule de contraction  , on a

 

Cette formule permet, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement la divergence dans un système de coordonnées quelconque. Voir par exemple la divergence en coordonnées cylindriques et la divergence en coordonnées sphériques.

Divergence d'un tenseur d'ordre 2Modifier

Suivant le même chemin que pour la divergence d'un champ de vecteurs, on écrit

 

Divergence d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2Modifier

Dans le cas d'un tenseur antisymétrique, on a

 

En effet, le terme   est nul puisque  .

RemarquesModifier

  • En écriture quadridimensionnelle, les équations de Maxwell mettent en jeu la divergence du tenseur de champ électromagnétique et de son dual, qui sont des tenseurs antisymétriques d'ordre 2.

LaplacienModifier

Le laplacien est la divergence du gradient, la divergence étant prise sur l'indice tensoriel créé par le gradient.

Cette définition est valable pour un scalaire ou un tenseur quelconque  . La laplacien   a le même nombre d'indices que  .

  • Pour un champ scalaire

 

  • Pour un champ vectoriel

...À RÉDIGER...

Ces formules permettent, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement le laplacien dans un système de coordonnées quelconque. Voir par exemple le laplacien en coordonnées cylindriques et le laplacien en coordonnées sphériques.

RotationnelModifier

Tenseur rotationnelModifier

Étant donné un champ de vecteurs covariants   dans un espace de dimension quelconque, la dérivée covariante   est un tenseur. Le tenseur rotationnel, défini comme   est par construction un tenseur antisymétrique.

Expression à partir de la dérivée simpleModifier

La symétrie   du symbole de Christoffel permet d'écrire le tenseur rotationnel à partir de la dérivée simple :  .

Rotationnel en dimension 3Modifier

En dimension 3, le tenseur dualiseur permet de construire le vecteur dual d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2. Le rotationnel d'un champ de vecteurs  tridimensionnel est défini comme le dual du tenseur rotationnel :  .

Partant d'un champ de vecteurs en coordonnées contravariantes  , mettant à profit l'antisymétrie du tenseur dualiseur, la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique   ainsi que sa symétrie, on trouve  .

Tenseur de courbureModifier

La dérivée covariante seconde d'un champ scalaire f est un tenseur d'ordre 2

 

Elle est symétrique parce que le symbole de Christoffel   est invariant par échange des indices bas (espace sans torsion).

En revanche pour un champ de vecteurs  , les dérivations covariantes ne commutent pas. Le tenseur de courbure de Riemann   permet de calculer leur différence

 

Expression IModifier

 

Démonstration

Expression IIModifier

 

avec

 


PropriétésModifier

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Propriétés

SymétriesModifier

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Symétries

Relation cycliqueModifier

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Relation cyclique

Identité de BianchiModifier

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Identité de Bianchi


En contractant le tenseur de courbure entre un indice de la première paire et un indice de la seconde paire, on obtient le tenseur de Ricci, clé des équations d'Einstein.


Tenseur de RicciModifier

Le tenseur de Ricci est obtenu en contractant le tenseur de courbure entre un indice de la première paire et un indice de la seconde paire :

 

Grâce à la symétrie par paires du tenseur de courbure, le tenseur de Ricci est symétrique.

Le tenseur de Ricci complètement contracté est un scalaire :

 

La divergence du tenseur d'Einstein   est nulle :

 

Cette équation fondamentale se démontre en mettant en jeu la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique.

C'est en identifiant le tenseur d'Einstein et le tenseur d'énergie-impulsion que l'on obtient l'équation d'Einstein qui fonde la relativité générale.


Espace euclidien

Coordonnées cylindriquesModifier

Une fois déterminé le tenseur métrique, il est facile de calculer le gradient, la divergence, le laplacien, le rotationnel, le symbole de Christoffel.

ATTENTION, par rapport à l'article Wikipedia:Coordonnées polaires, on utilise ici la lettre   à la place de la lettre  . Voir une page sur les conflits de notations.

Tenseur métriqueModifier

En coordonnées cylindriques  , le carré d'un élément de longueur vaut   et donc le tenseur métrique vaut

 

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut  .

La matrice inverse du tenseur métrique vaut

 

  • Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle  est orthogonale et la base orthonormée s'écrit  .

Symbole de ChristoffelModifier

Le seul terme non constant du tenseur métrique en coordonnées cylindriques est  , et l'on a  . Les éléments non nuls du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux

 

GradientModifier

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées cylindriques, le gradient   d'un champ scalaire   s'écrit

 

Soit, dans la base orthonormée,

 

DivergenceModifier

En coordonnées cylindriques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut r et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit  .

Dans la base naturelle, on a

 

et donc dans la base orthonormée  :

 

LaplacienModifier

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées cylindriques,

  • pour un champ scalaire  , le laplacien

 

s'écrit

 

  • pour un champ vectoriel

...À RÉDIGER...

RotationnelModifier

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Rotationnel

Tenseur de courbureModifier

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Tenseur de courbure

Tenseur de RicciModifier

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Tenseur de Ricci

Coordonnées sphériquesModifier

Une fois déterminé le tenseur métrique, il est facile de calculer le gradient, la divergence, le laplacien, le rotationnel, le symbole de Christoffel.

ATTENTION, par rapport à l'article Wikipedia:Coordonnées polaires, on utilise échange ici les symboles   et  , et on utilise la colatitude   à la place de la latitude  . Voir une page sur les conflits de notations.

Tenseur métriqueModifier

En coordonnées sphériques  , où   est l'angle azimutal et   est la colatitude, le carré d'un élément de longueur vaut   et donc le tenseur métrique vaut

 

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut  .

L'inverse du tenseur métrique vaut

 

  • Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle   est orthogonale et la base orthonormée s'écrit  .

Symbole de ChristoffelModifier

Les seuls termes non constants du tenseur métrique en coordonnées sphériques sont  ,  , et l'on a  ,  ,  . Les éléments non nuls du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux

 

GradientModifier

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées sphériques, le gradient   d'un champ scalaire   s'écrit

 

Soit, dans la base orthonormée

 

DivergenceModifier

En coordonnées sphériques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut   et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit  .

Dans la base naturelle, on a

 

et donc dans la base orthonormée   :

 

LaplacienModifier

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées sphériques,

  • pour un champ scalaire  , le laplacien

 

s'écrit

 

  • pour un champ vectoriel

...À RÉDIGER...

RotationnelModifier

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Rotationnel

Tenseur de courbureModifier

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Tenseur de courbure

Tenseur de RicciModifier

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Tenseur de Ricci


Espace courbe

Plongement dans un espace euclidien (Nash) Calcul tensoriel/Espace courbe/Plongement dans un espace euclidien


Espace-temps plan

ÉvénementsModifier

Mercredi 22 février 2006, à 13 h GMT, le battant du carillon de Big-Ben est entré en contact avec sa cloche en un point bien précis. Ce point de l'espace-temps est appelé événement.

Dans un système de coordonnées, un événement de l'univers est décrit par 4 nombres. Par exemple, dans le système de coordonnées terrestre et l'heure GMT, on donnera la latitude, la longitude, l'altitude et l'instant. On dit que l'espace-temps est quadridimensionnel.

Métrique de la relativité restreinteModifier

Calcul tensoriel/Espace-temps plan/Métrique de la relativité restreinte

Transformation de LorentzModifier

Calcul tensoriel/Espace-temps plan/Transformation de Lorentz

Temps propreModifier

Calcul tensoriel/Espace-temps plan/Temps propre

Référentiel tournantModifier

Référentiel tournant en coordonnées cartésiennes

Référentiel tournant en coordonnées circulaires


Électromagnétisme

Équations de Maxwell (écriture classique)Modifier

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Équations de Maxwell (écriture classique)

Équations de Maxwell (écriture duale)Modifier

équations de Maxwell, formules topologiquesModifier

Les équations de Maxwell peuvent être écrites dans tout système de coordonnées sous la forme

 
 

  et   sont des tenseurs antisymétriques décrivant le champ électromagnétique. La première équation correspond au premier groupe des équations de Maxwell et la seconde équation correspond au second groupe. Le tenseur   est le tenseur dual du tenseur   de composantes   :

 

Le tenseur   contient à la fois le tenseur antisymétrique de composantes  , les charges et les courants.

Ces équations ne sont rien de plus que des équations topologiques affirmant que le flux du champ électromagnétique à travers une hypersurface fermée de l'espace temps quadridimensionnel est nul. Il manque les équations constitutives reliant les deux tenseurs.

quadrivecteur charge-courantModifier

Les expériences physiques montrent que le champ électromagnétique est linéaire, à condition d'éliminer ou de figer les charges. Cela nous conduit à écrire   comme somme d'un terme linéaire   et d'un terme non linéaire   :

 .

En définissant le quadrivecteur charge-courant comme la quadri-divergence de la partie non linéaire du tenseur   :

 

et l'équation correspondant au second groupe des équations de Maxwell devient

 

Comme la double dérivée covariante d'un tenseur antisymétrique est nulle, on a   et donc

 

Cette équation correspond à la loi de conservation de la charge.

équation constitutive du videModifier

L'équation constitutive reliant la partie linéaire de   et   est simplement

 

avec   (SI).

écriture traditionnelle des équations de MaxwellModifier

Le second groupe d'équations de Maxwell peut finalement s'écrire sous la forme traditionnelle

 

Avec le même tenseur  , le premier groupe s'écrit

 

expression des tenseurs électromagnétiquesModifier

Pour un tenseur métrique diagonal  , les tenseurs électromagnétiques s'écrivent

 
 
 
 
 
 
 

Champ électrique et champ magnétiqueModifier

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Champ électrique et champ magnétique

Expression du tenseur de champ électromagnétiqueModifier

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Expression du tenseur de champ électromagnétique

Premier groupe d'équations de MaxwellModifier

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Premier groupe d'équations de Maxwell

Second groupe d'équations de MaxwellModifier

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Second groupe d'équations de Maxwell

Tenseur d'énergie-impulsionModifier

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Tenseur d'énergie-impulsion


Géodésiques

À RÉDIGER

Équation géodésiqueModifier

On obtient l'équation d'une géodésique en écrivant que sa longueur est minimale.

Un système de coordonnées   étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale  . Le signe optionnel   est choisi en fonction du signe de l'intervalle et de la signature du tenseur métrique.

Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable  , on écrit  , où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à  . La longueur de la trajectoire est donc la somme

 

En utilisant la méthode de Lagrange pour exprimer que l'intégrale est minimale, on obtient l'équation géodésique

 

avec

 

Paramétrisation canoniqueModifier

Un système de coordonnées étant donné, si l'on choisit de paramètrer les courbes par la mesure de leur longueur (appelé paramètre canonique), l'équation géodésique devient

 

Le point supérieur est la dérivée totale par rapport au paramètre canonique. Démonstration.

Expression au moyen du symbole de ChristoffelModifier

La forme classique de l'équation géodésique en paramétrage canonique est la suivante :

 

  est le symbole de Christoffel.

Démonstration.

Système accéléré uniformémentModifier

Calcul tensoriel/Géodésiques/Système accéléré uniformément


Espace-temps courbe

Métrique quadridimensionnelle en espace-temps courbeModifier

Calcul tensoriel/Espace-temps courbe/Métrique

Équations d'EinsteinModifier

Les équations d'Einstein identifient le tenseur d'énergie-impulsion   et l'expression de divergence nulle construite à partir du tenseur de Ricci :

 

Il existe une relation symétrique :

 

Démonstration.

Équations de Maxwell en espace-temps courbeModifier

[Le tenseur de champ électromagnétique peut s'écrire à partir du rotationnel quadrimensionnel d'un quadrivecteur potentiel   :

 .

Parce que la double dérivation covariante d’un champ scalaire ne dépend pas de l’ordre des indices, l’expression du tenseur du champ électromagnétique ne change pas si l’on rajoute au potentiel vecteur un terme  , 4-divergence d’un scalaire quelconque. Ce terme est appelé jauge.

  • La jauge de Lorentz stipule  
  • En limitant la divergence au domaine spatial (cas des champs statiques), on a la jauge de Coulomb  

La jauge de Lorentz existe. Partant d’un potentiel vecteur A quelconque, il suffit de trouver la fonction f dont le 4-laplacien soit égal à la 4-divergence de A. Dans un espace-temps plan, c’est une équation harmonique évidemment soluble. Dans un espace temps courbe, ...

Équation premier groupeModifier

Si l’espace-temps est plan, l’expression   entraine directement l’équation premier groupe de Maxwell   Dans un espace-temps courbe, cette équation s’écrit

 

Équation second groupeModifier

L'équation second groupe de Maxwell s'écrit

 

Partant de

 

on obtient

 

Le choix de la jauge de Lorentz permet d'éliminer le second terme. L'équation second groupe de Maxwell s'écrit finalement à partir du 4-laplacien et du tenseur de Ricci :

 

Gravité (symétrie sphérique)Modifier

Schwarzschild 1916 Reissner 1916 Nordström 1918 (compris comme champ d’une charge électrique en 1960).

...


Appendices

Équations de LagrangeModifier

Étant donné un système de coordonnées quelconque  , une variable   permettant de paramétrer les trajectoires, on considère une fonction L qui ne dépend que des variables   et leur dérivée totale par rapport à    . On veut trouver une trajectoire   d'extrémités données   et  , qui minimise l'intégrale

 

Considérons une trajectoire infiniment voisine   avec   un infiniment petit et  . Supposant que les solutions sont trouvées et   donné, la fonction

 

est minimale pour   :

 

Intégrant par parties le second terme sous l'intégrale et profitant du fait que   a été supposée nulle aux bornes, on a

 

Comme la fonction   est quelconque, on doit avoir

 
  • Remarques
    1. En mécanique classique, le paramètre est le temps et ces équations sont les équations de Lagrange proprement dites.
    2. Si le paramètre est la longueur de la trajectoire, ces équations fournissent l'équation géodésique.

Calcul tensoriel/Appendices/Symbole de Levi-Civita d'ordre NModifier

DéfinitionModifier

Le symbole de Levi-Civita d'ordre N,  , aussi appelé pseudo-tenseur complètement antisymétrique d'ordre N, est une généralisation du symbole de Levi-Civita d'ordre 3.

Chaque index peut prendre une valeur quelconque parmi N. Ce symbole principalement vaut 0, sauf si la liste des index est formée de N valeurs distinctes. Dans ce cas, le symbole vaut 1 ou -1, le changement de signe correspondant à une permutation impaire de la liste des index.

Supposons par exemple que la liste des index soit t, x, y, z pour définir un symbole d'ordre 4. Il y a apriori   valeurs possibles du symbole. Le symbole   vaut 0 parce que l'index t figure deux fois. Si arbitrairement on choisit le signe + pour  , alors on aura  ,  ,  , etc. 4!/2 = 12 valeurs valent +1, 12 valeurs valent -1.

Tenseur dualiseurModifier

Le symbole de Levi-Civita d'ordre N n'est pas un tenseur. Ses composantes ne dépendent du système de coordonnées choisi, et par convention  . En revanche, un simple facteur de normalisation basé sur le déterminant du tenseur métrique permet de définir le tenseur dualiseur, ou tenseur de Levi-Civita.

Formules de contractionModifier


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