Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Rotationnel

Tenseur rotationnel

Étant donné un champ de vecteurs covariants $a_{i}$ dans un espace de dimension quelconque, la dérivée covariante $D_{j}a_{i}=a_{i;j}=a_{i,j}-\Gamma _{ij}^{k}a_{k}$ est un tenseur. Le tenseur rotationnel, défini comme $\left[\mathrm {rot} \;a\right]_{ij}=a_{i;j}-a_{j;i}$ est par construction un tenseur antisymétrique.

Expression à partir de la dérivée simple

La symétrie $\Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}$ du symbole de Christoffel permet d'écrire le tenseur rotationnel à partir de la dérivée simple : $\left[\mathrm {rot} \;a\right]_{ij}=a_{i,j}-a_{j,i}$.

Rotationnel en dimension 3

En dimension 3, le tenseur dualiseur permet de construire le vecteur dual d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2. Le rotationnel d'un champ de vecteurs $\mathbf {a}$tridimensionnel est défini comme le dual du tenseur rotationnel : $\left[\mathrm {rot} \;\mathbf {a} \right]^{\alpha }={\frac {1}{2}}*^{\alpha \lambda \mu }\left[\mathrm {rot} \;a\right]_{\lambda \mu }$.

Partant d'un champ de vecteurs en coordonnées contravariantes $a^{\nu }$, mettant à profit l'antisymétrie du tenseur dualiseur, la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique $\gamma _{\mu \nu }$ ainsi que sa symétrie, on trouve $\left[\mathrm {rot} \;\mathbf {a} \right]^{\alpha }=*^{\alpha \lambda \mu }\gamma _{\mu \nu }a^{\nu }{}_{;\lambda }$.