Les seuls termes non constants du tenseur métrique en coordonnées sphériques sont g θ θ = r 2 {\displaystyle g_{\theta \theta }=r^{2}} , g ϕ ϕ = r 2 sin 2 θ {\displaystyle g_{\phi \phi }=r^{2}\sin ^{2}\theta } , et l'on a g θ θ , r = 2 r {\displaystyle g_{\theta \theta ,r}=2r} , g ϕ ϕ , r = 2 r sin 2 {\displaystyle g_{\phi \phi ,r}=2r\sin ^{2}} , g ϕ ϕ , θ = 2 r 2 cos θ sin θ {\displaystyle g_{\phi \phi ,\theta }=2r^{2}\cos \theta \sin \theta } . Les éléments non nuls du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux
Γ θ θ r = − r Γ ϕ ϕ r = − r sin 2 θ Γ r θ θ = Γ θ r θ = r − 1 Γ ϕ ϕ θ = − cos θ sin θ Γ r ϕ ϕ = Γ ϕ r ϕ = r − 1 Γ ϕ θ ϕ = Γ θ ϕ ϕ = cot θ {\displaystyle {\begin{matrix}\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=&-r\\\Gamma _{\phi \phi }^{r}&=&-r\sin ^{2}\theta \\\Gamma _{r\theta }^{\theta }=\Gamma _{\theta r}^{\theta }&=&r^{-1}\\\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }&=&-\cos \theta \sin \theta \\\Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }&=&r^{-1}\\\Gamma _{\phi \theta }^{\phi }=\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }&=&\cot \theta \end{matrix}}}
,
,
et l'on a
,
,
.
Les éléments non nuls du
symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux
