Calcul tensoriel/Espace euclidien

Coordonnées cylindriquesModifier

Une fois déterminé le tenseur métrique, il est facile de calculer le gradient, la divergence, le laplacien, le rotationnel, le symbole de Christoffel.

ATTENTION, par rapport à l'article Wikipedia:Coordonnées polaires, on utilise ici la lettre   à la place de la lettre  . Voir une page sur les conflits de notations.

Tenseur métriqueModifier

En coordonnées cylindriques  , le carré d'un élément de longueur vaut   et donc le tenseur métrique vaut

 

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut  .

La matrice inverse du tenseur métrique vaut

 

  • Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle  est orthogonale et la base orthonormée s'écrit  .

Symbole de ChristoffelModifier

Le seul terme non constant du tenseur métrique en coordonnées cylindriques est  , et l'on a  . Les éléments non nuls du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux

 

GradientModifier

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées cylindriques, le gradient   d'un champ scalaire   s'écrit

 

Soit, dans la base orthonormée,

 

DivergenceModifier

En coordonnées cylindriques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut r et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit  .

Dans la base naturelle, on a

 

et donc dans la base orthonormée  :

 

LaplacienModifier

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées cylindriques,

  • pour un champ scalaire  , le laplacien

 

s'écrit

 

  • pour un champ vectoriel

...À RÉDIGER...

RotationnelModifier

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Rotationnel

Tenseur de courbureModifier

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Tenseur de courbure

Tenseur de RicciModifier

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Tenseur de Ricci

Coordonnées sphériquesModifier

Une fois déterminé le tenseur métrique, il est facile de calculer le gradient, la divergence, le laplacien, le rotationnel, le symbole de Christoffel.

ATTENTION, par rapport à l'article Wikipedia:Coordonnées polaires, on utilise échange ici les symboles   et  , et on utilise la colatitude   à la place de la latitude  . Voir une page sur les conflits de notations.

Tenseur métriqueModifier

En coordonnées sphériques  , où   est l'angle azimutal et   est la colatitude, le carré d'un élément de longueur vaut   et donc le tenseur métrique vaut

 

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut  .

L'inverse du tenseur métrique vaut

 

  • Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle   est orthogonale et la base orthonormée s'écrit  .

Symbole de ChristoffelModifier

Les seuls termes non constants du tenseur métrique en coordonnées sphériques sont  ,  , et l'on a  ,  ,  . Les éléments non nuls du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux

 

GradientModifier

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées sphériques, le gradient   d'un champ scalaire   s'écrit

 

Soit, dans la base orthonormée

 

DivergenceModifier

En coordonnées sphériques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut   et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit  .

Dans la base naturelle, on a

 

et donc dans la base orthonormée   :

 

LaplacienModifier

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées sphériques,

  • pour un champ scalaire  , le laplacien

 

s'écrit

 

  • pour un champ vectoriel

...À RÉDIGER...

RotationnelModifier

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Rotationnel

Tenseur de courbureModifier

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Tenseur de courbure

Tenseur de RicciModifier

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Tenseur de Ricci