Calcul tensoriel/Espace euclidien

Coordonnées cylindriques modifier

Une fois déterminé le tenseur métrique, il est facile de calculer le gradient, la divergence, le laplacien, le rotationnel, le symbole de Christoffel.

ATTENTION, par rapport à l'article Wikipedia:Coordonnées polaires, on utilise ici la lettre $\phi$ à la place de la lettre $\theta$ . Voir une page sur les conflits de notations.

Tenseur métrique modifier

En coordonnées cylindriques $\left(r,\phi ,z\right)$ , le carré d'un élément de longueur vaut $dl^{2}=dr^{2}+r^{2}\;d\phi ^{2}+dz^{2}$ et donc le tenseur métrique vaut

$g_{ij}=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)$

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut ${\sqrt {\det {g}}}=r$ .

La matrice inverse du tenseur métrique vaut

$g^{ij}=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)$

Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle $\left(\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\phi },\mathbf {e} _{z}\right)$ est orthogonale et la base orthonormée s'écrit $\left(\mathbf {e} _{r},{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r}},\mathbf {e} _{z}\right)$ .

Symbole de Christoffel modifier

Le seul terme non constant du tenseur métrique en coordonnées cylindriques est $g_{\phi \phi }=r^{2}$ , et l'on a $g_{\phi \phi ,r}=2r$ . Les éléments non nuls du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux

${\begin{matrix}\Gamma _{\phi \phi }^{r}&=&-r\\\Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }&=&{\frac {1}{r}}\end{matrix}}$

Gradient modifier

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées cylindriques, le gradient $g^{ij}f_{;i}\mathbf {e} _{j}$ d'un champ scalaire $f$ s'écrit

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\mathbf {e} _{\phi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z}$

Soit, dans la base orthonormée,

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\left\{{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z}$

Divergence modifier

En coordonnées cylindriques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut r et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit $\nabla \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{r}}\partial _{i}\left(rv^{i}\right)$ .

Dans la base naturelle, on a

${\begin{matrix}\mathbf {v} &=&v^{r}\mathbf {e} _{r}&+&v^{\phi }\mathbf {e} _{\phi }&+&v^{z}\mathbf {e} _{z}\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=&\left({\frac {1}{r}}+{\frac {\partial }{\partial r}}\right)v^{r}&+&{\frac {\partial }{\partial \phi }}v^{\phi }&+&{\frac {\partial }{\partial z}}v^{z}\end{matrix}}$

et donc dans la base orthonormée $\left(\mathbf {e} _{r},{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r}},\mathbf {e} _{z}\right)$ :

${\begin{matrix}\mathbf {v} &=&v^{r}\mathbf {e} _{r}&+&\left\{rv^{\phi }\right\}\left\{{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r}}\right\}&+&v^{z}\mathbf {e} _{z}\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=&\left({\frac {1}{r}}+{\frac {\partial }{\partial r}}\right)v^{r}&+&{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left\{rv^{\phi }\right\}&+&{\frac {\partial }{\partial z}}v^{z}\end{matrix}}$

Laplacien modifier

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées cylindriques,

pour un champ scalaire $f$ , le laplacien

$\nabla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{i}\left({\sqrt {\det g}}\;g^{ij}\partial _{j}f\right)$

s'écrit

$\nabla ^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)f$

pour un champ vectoriel

...À RÉDIGER...

ATTENTION, par rapport à l'article Wikipedia:Coordonnées polaires, on utilise échange ici les symboles $\phi$ et $\theta$ , et on utilise la colatitude $\theta$ à la place de la latitude $\phi$ . Voir une page sur les conflits de notations.

Tenseur métrique modifier

En coordonnées sphériques $\left(r,\theta ,\phi \right)$ , où $\phi$ est l'angle azimutal et $\theta \in \left[0,\pi \right]$ est la colatitude, le carré d'un élément de longueur vaut $dl^{2}=dr^{2}+r^{2}\;d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}$ et donc le tenseur métrique vaut

$g_{ij}=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{matrix}}\right)$

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut ${\sqrt {\det {g}}}=r^{2}\sin \theta$ .

L'inverse du tenseur métrique vaut

$g^{ij}=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&r^{-2}&0\\0&0&r^{-2}\sin ^{-2}\theta &\end{matrix}}\right)$

Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle $\left(\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\phi }\right)$ est orthogonale et la base orthonormée s'écrit $\left(\mathbf {e} _{r},{\frac {\mathbf {e} _{\theta }}{r}},{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r\sin \theta }}\right)$ .

Symbole de Christoffel modifier

Les seuls termes non constants du tenseur métrique en coordonnées sphériques sont $g_{\theta \theta }=r^{2}$ , $g_{\phi \phi }=r^{2}\sin ^{2}\theta$ , et l'on a $g_{\theta \theta ,r}=2r$ , $g_{\phi \phi ,r}=2r\sin ^{2}$ , $g_{\phi \phi ,\theta }=2r^{2}\cos \theta \sin \theta$ . Les éléments non nuls du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux

${\begin{matrix}\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=&-r\\\Gamma _{\phi \phi }^{r}&=&-r\sin ^{2}\theta \\\Gamma _{r\theta }^{\theta }=\Gamma _{\theta r}^{\theta }&=&r^{-1}\\\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }&=&-\cos \theta \sin \theta \\\Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }&=&r^{-1}\\\Gamma _{\phi \theta }^{\phi }=\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }&=&\cot \theta \end{matrix}}$

Gradient modifier

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées sphériques, le gradient $g^{ij}f_{;i}\mathbf {e} _{j}$ d'un champ scalaire $f$ s'écrit

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\mathbf {e} _{\phi }$

Soit, dans la base orthonormée

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\left\{{\frac {\mathbf {e} _{\theta }}{r}}\right\}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\left\{{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r\sin \theta }}\right\}$

Divergence modifier

En coordonnées sphériques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut $r\;\sin \theta$ et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit $(\nabla \cdot \mathbf {v} )^{i}={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{i}\left(r^{2}\sin \theta \;v^{i}\right)$ .

Dans la base naturelle, on a

${\begin{matrix}\mathbf {v} &=&v^{r}\mathbf {e} _{r}&+&v^{\theta }\mathbf {e} _{\theta }&+&v^{\phi }\mathbf {e} _{\phi }\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=&\left({\frac {2}{r}}+{\frac {\partial }{\partial r}}\right)v^{r}&+&\left({\frac {1}{\tan \theta }}+{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)v^{\theta }&+&{\frac {\partial }{\partial \phi }}v^{\phi }\end{matrix}}$

et donc dans la base orthonormée $\left(\mathbf {e} _{r},{\frac {\mathbf {e} _{\theta }}{r}},{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r\sin \theta }}\right)$ :

${\begin{matrix}\mathbf {v} &=&v^{r}\mathbf {e} _{r}&+&\left\{rv^{\theta }\right\}\left\{{\frac {\mathbf {e} _{\theta }}{r}}\right\}&+&\left\{r\sin \theta \;v^{\phi }\right\}\left\{{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r\sin \theta }}\right\}\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=&\left({\frac {2}{r}}+{\frac {\partial }{\partial r}}\right)v^{r}&+&\left({\frac {1}{r\tan \theta }}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\left\{rv^{\theta }\right\}&+&{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left\{{r\sin \theta \;v^{\phi }}\right\}\end{matrix}}$

Laplacien modifier

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées sphériques,

pour un champ scalaire $f$ , le laplacien

$\nabla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{i}\left({\sqrt {\det g}}\;g^{ij}\partial _{j}f\right)$

s'écrit

$\nabla ^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\tan \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)f$

pour un champ vectoriel

...À RÉDIGER...