Calcul tensoriel/Espace euclidien

Coordonnées cylindriques

Une fois déterminé le tenseur métrique, il est facile de calculer le gradient, la divergence, le laplacien, le rotationnel, le symbole de Christoffel.

ATTENTION, par rapport à l'article Wikipedia:Coordonnées polaires, on utilise ici la lettre $\phi$ à la place de la lettre $\theta$ . Voir une page sur les conflits de notations.

Tenseur métrique

En coordonnées cylindriques $\left(r,\phi ,z\right)$ , le carré d'un élément de longueur vaut $dl^{2}=dr^{2}+r^{2}\;d\phi ^{2}+dz^{2}$ et donc le tenseur métrique vaut

$g_{ij}=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)$

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut ${\sqrt {\det {g}}}=r$ .

La matrice inverse du tenseur métrique vaut

$g^{ij}=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)$

Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle $\left(\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\phi },\mathbf {e} _{z}\right)$ est orthogonale et la base orthonormée s'écrit $\left(\mathbf {e} _{r},{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r}},\mathbf {e} _{z}\right)$ .

Symbole de Christoffel

Le seul terme non constant du tenseur métrique en coordonnées cylindriques est $g_{\phi \phi }=r^{2}$ , et l'on a $g_{\phi \phi ,r}=2r$ . Les éléments non nuls du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux

${\begin{matrix}\Gamma _{\phi \phi }^{r}&=&-r\\\Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }&=&{\frac {1}{r}}\end{matrix}}$

Gradient

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées cylindriques, le gradient $g^{ij}f_{;i}\mathbf {e} _{j}$ d'un champ scalaire $f$ s'écrit

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\mathbf {e} _{\phi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z}$

Soit, dans la base orthonormée,

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\left\{{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z}$

Divergence

En coordonnées cylindriques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut r et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit $\nabla \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{r}}\partial _{i}\left(rv^{i}\right)$ .

Dans la base naturelle, on a

${\begin{matrix}\mathbf {v} &=&v^{r}\mathbf {e} _{r}&+&v^{\phi }\mathbf {e} _{\phi }&+&v^{z}\mathbf {e} _{z}\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=&\left({\frac {1}{r}}+{\frac {\partial }{\partial r}}\right)v^{r}&+&{\frac {\partial }{\partial \phi }}v^{\phi }&+&{\frac {\partial }{\partial z}}v^{z}\end{matrix}}$

et donc dans la base orthonormée $\left(\mathbf {e} _{r},{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r}},\mathbf {e} _{z}\right)$ :

${\begin{matrix}\mathbf {v} &=&v^{r}\mathbf {e} _{r}&+&\left\{rv^{\phi }\right\}\left\{{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r}}\right\}&+&v^{z}\mathbf {e} _{z}\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=&\left({\frac {1}{r}}+{\frac {\partial }{\partial r}}\right)v^{r}&+&{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left\{rv^{\phi }\right\}&+&{\frac {\partial }{\partial z}}v^{z}\end{matrix}}$

Laplacien

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées cylindriques,

pour un champ scalaire $f$ , le laplacien

$\nabla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{i}\left({\sqrt {\det g}}\;g^{ij}\partial _{j}f\right)$

s'écrit

$\nabla ^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)f$

pour un champ vectoriel

...À RÉDIGER...

ATTENTION, par rapport à l'article Wikipedia:Coordonnées polaires, on utilise échange ici les symboles $\phi$ et $\theta$ , et on utilise la colatitude $\theta$ à la place de la latitude $\phi$ . Voir une page sur les conflits de notations.

Tenseur métrique

En coordonnées sphériques $\left(r,\theta ,\phi \right)$ , où $\phi$ est l'angle azimutal et $\theta \in \left[0,\pi \right]$ est la colatitude, le carré d'un élément de longueur vaut $dl^{2}=dr^{2}+r^{2}\;d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}$ et donc le tenseur métrique vaut

$g_{ij}=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{matrix}}\right)$

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut ${\sqrt {\det {g}}}=r^{2}\sin \theta$ .

L'inverse du tenseur métrique vaut

$g^{ij}=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&r^{-2}&0\\0&0&r^{-2}\sin ^{-2}\theta &\end{matrix}}\right)$

Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle $\left(\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\phi }\right)$ est orthogonale et la base orthonormée s'écrit $\left(\mathbf {e} _{r},{\frac {\mathbf {e} _{\theta }}{r}},{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r\sin \theta }}\right)$ .

Symbole de Christoffel

Les seuls termes non constants du tenseur métrique en coordonnées sphériques sont $g_{\theta \theta }=r^{2}$ , $g_{\phi \phi }=r^{2}\sin ^{2}\theta$ , et l'on a $g_{\theta \theta ,r}=2r$ , $g_{\phi \phi ,r}=2r\sin ^{2}$ , $g_{\phi \phi ,\theta }=2r^{2}\cos \theta \sin \theta$ . Les éléments non nuls du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux

${\begin{matrix}\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=&-r\\\Gamma _{\phi \phi }^{r}&=&-r\sin ^{2}\theta \\\Gamma _{r\theta }^{\theta }=\Gamma _{\theta r}^{\theta }&=&r^{-1}\\\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }&=&-\cos \theta \sin \theta \\\Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }&=&r^{-1}\\\Gamma _{\phi \theta }^{\phi }=\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }&=&\cot \theta \end{matrix}}$

Gradient

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées sphériques, le gradient $g^{ij}f_{;i}\mathbf {e} _{j}$ d'un champ scalaire $f$ s'écrit

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\mathbf {e} _{\phi }$

Soit, dans la base orthonormée

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\left\{{\frac {\mathbf {e} _{\theta }}{r}}\right\}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\left\{{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r\sin \theta }}\right\}$

Divergence

En coordonnées sphériques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut $r\;\sin \theta$ et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit $(\nabla \cdot \mathbf {v} )^{i}={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{i}\left(r^{2}\sin \theta \;v^{i}\right)$ .

Dans la base naturelle, on a

${\begin{matrix}\mathbf {v} &=&v^{r}\mathbf {e} _{r}&+&v^{\theta }\mathbf {e} _{\theta }&+&v^{\phi }\mathbf {e} _{\phi }\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=&\left({\frac {2}{r}}+{\frac {\partial }{\partial r}}\right)v^{r}&+&\left({\frac {1}{\tan \theta }}+{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)v^{\theta }&+&{\frac {\partial }{\partial \phi }}v^{\phi }\end{matrix}}$

et donc dans la base orthonormée $\left(\mathbf {e} _{r},{\frac {\mathbf {e} _{\theta }}{r}},{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r\sin \theta }}\right)$ :

${\begin{matrix}\mathbf {v} &=&v^{r}\mathbf {e} _{r}&+&\left\{rv^{\theta }\right\}\left\{{\frac {\mathbf {e} _{\theta }}{r}}\right\}&+&\left\{r\sin \theta \;v^{\phi }\right\}\left\{{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r\sin \theta }}\right\}\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=&\left({\frac {2}{r}}+{\frac {\partial }{\partial r}}\right)v^{r}&+&\left({\frac {1}{r\tan \theta }}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\left\{rv^{\theta }\right\}&+&{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left\{{r\sin \theta \;v^{\phi }}\right\}\end{matrix}}$

Laplacien

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées sphériques,

pour un champ scalaire $f$ , le laplacien

$\nabla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{i}\left({\sqrt {\det g}}\;g^{ij}\partial _{j}f\right)$

s'écrit

$\nabla ^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\tan \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)f$

pour un champ vectoriel

...À RÉDIGER...