La divergence d'un tenseur est le tenseur obtenu en contractant un des indices de la
dérivée covariante avec l'indice de la dérivation.
Pour un champ vectoriel
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
∇
v
=
v
i
;
i
=
v
i
,
i
+
Γ
i
j
i
v
j
{\displaystyle \nabla \mathbf {v} =v^{i}{}_{;i}=v^{i}{}_{,i}+\Gamma _{ij}^{i}v^{j}}
Mettant a profit la
formule de contraction
Γ
i
j
i
=
1
det
g
∂
j
det
g
{\displaystyle \Gamma _{ij}^{i}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{j}{\sqrt {\det g}}}
∇
v
=
1
det
g
∂
j
(
det
g
v
j
)
{\displaystyle \nabla \mathbf {v} ={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{j}\left({\sqrt {\det g}}\;v^{j}\right)}
Cette formule permet, une fois établi le
tenseur métrique ,
de calculer facilement la divergence dans un
système de coordonnées
quelconque.
Voir par exemple la
divergence en coordonnées cylindriques et la
divergence en coordonnées sphériques .
modifier
Suivant le même chemin que pour la divergence d'un champ de vecteurs, on écrit
a
i
j
;
j
=
a
i
j
,
j
+
Γ
l
m
i
a
l
m
+
Γ
l
m
l
a
i
m
=
1
det
g
∂
k
(
det
g
a
i
k
)
+
Γ
l
m
i
a
l
m
{\displaystyle a^{ij}{}_{;j}=a^{ij}{}_{,j}+\Gamma _{lm}^{i}a^{lm}+\Gamma _{lm}^{l}a^{im}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{k}\left({\sqrt {\det g}}\;a^{ik}\right)+\Gamma _{lm}^{i}a^{lm}}
modifier
Dans le cas d'un tenseur antisymétrique , on a
a
i
j
;
j
=
−
a
j
i
;
j
=
1
det
g
∂
k
(
det
g
a
i
k
)
{\displaystyle a^{ij}{}_{;j}=-a^{ji}{}_{;j}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{k}\left({\sqrt {\det g}}\;a^{ik}\right)}
En effet, le terme
Γ
l
m
i
a
l
m
{\displaystyle \Gamma _{lm}^{i}a^{lm}}
Γ
l
m
i
a
l
m
=
−
Γ
l
m
i
a
m
l
=
−
Γ
m
l
i
a
m
l
=
−
Γ
l
m
i
a
l
m
{\displaystyle \Gamma _{lm}^{i}a^{lm}=-\Gamma _{lm}^{i}a^{ml}=-\Gamma _{ml}^{i}a^{ml}=-\Gamma _{lm}^{i}a^{lm}}
En écriture quadridimensionnelle, les équations de Maxwell mettent en jeu la divergence du tenseur de champ électromagnétique et de son dual, qui sont des tenseurs antisymétriques d'ordre 2. 
