Calcul tensoriel/Poubelle/Base naturelle

La base naturelle $\mathbf {e} _{i}$ associée à un système de coordonnées $x^{i}$ permet d'écrire un élément de longueur infinitésimal sous la forme

$dl=\sum _{i}dx^{i}\mathbf {e} _{i}$

On a donc

$\mathbf {e} _{i}={\frac {\partial l}{\partial x^{i}}}$

Remarques

• La lettre l étant muette, on voit parfois écrit $\mathbf {e} _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$, avec le risque de confusion avec l'opérateur dérivation.

• Sauf dans le cas d'un repère cartésien, la base naturelle varie d'un point à un autre. Chaque vecteur $\mathbf {e} _{1}$, $\mathbf {e} _{2}$, etc. est en fait un champ de vecteurs.