Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Base naturelle

Nous allons maintenant introduire la notion de "base naturelle".

Par définition, la base naturelle au point $M$ est la base formée par les vecteurs:

$\mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {OM} }{\partial x^{i}}}$

où $O$ représente évidemment l'origine.

$\mathbf {e} _{i}$ est donc la base naturelle de vecteurs locaux associés à un système de coordonnées quelconque $x^{i}$. Un élément infinitésimal s'écrit dans cette base:

$d\mathbf {l} =\sum _{i}dx^{i}\mathbf {e} _{i}$

On a par définition:

$\mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {l} }{\partial x^{i}}}$

• Remarques
  1. La lettre $\mathbf {l}$ étant muette, on voit parfois écrit $\mathbf {e} _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$, avec le risque de confusion avec l'opérateur dérivation.
  2. Sauf dans le cas d'un repère cartésien, la base naturelle varie d'un point à un autre. Chaque symbole $\mathbf {e} _{1}$, $\mathbf {e} _{2}$, etc. représente en fait un champ de vecteurs.
  3. Les vecteurs de base se transforment selon la formule $\left[\mathbf {e} _{a}\right]_{i}=\sum \left[\mathbf {e} _{b}\right]_{i}\left[\theta _{ba}\right]^{i}{}_{j}$. Démonstration