Partant de l'expression du symbole de Christoffel
en fonction de la dérivée partielle du tenseur métrique
,
et profitant de la
symétrie du tenseur métrique
,
on a
.
Échangeant les indices i et l dans le dernier terme, on voit que le premier terme le neutralise et l'on obtient
.
D'autre part la différentielle du
déterminant
s'obtient en sommant le produit de
chaque différentielle
d'un élément de matrice
par le
mineur
correspondant à cet élément.
Comme la matrice
est l'inverse de la matrice du tenseur métrique
,
les mineurs cherchés sont
. Ainsi
et donc
On a finalement
, c.q.f.d.