Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel/Contraction/Démonstration

Partant de l'expression du symbole de Christoffel en fonction de la dérivée partielle du tenseur métrique $\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}g^{kl}\left(g_{lj,i}+g_{li,j}-g_{ij,l}\right)$, et profitant de la symétrie du tenseur métrique $g_{li}=g_{il}$, on a $\Gamma _{ij}^{i}={\frac {1}{2}}\left(g^{il}g_{lj,i}+g^{il}g_{il,j}-g^{il}g_{ij,l}\right)$. Échangeant les indices i et l dans le dernier terme, on voit que le premier terme le neutralise et l'on obtient $\Gamma _{ij}^{i}={\frac {1}{2}}g^{il}g_{il,j}$.

D'autre part la différentielle du déterminant $\det {g}$ s'obtient en sommant le produit de chaque différentielle $dg_{ij}$ d'un élément de matrice $g_{ij}$ par le mineur correspondant à cet élément. Comme la matrice $g^{ij}$ est l'inverse de la matrice du tenseur métrique $g_{ij}$, les mineurs cherchés sont $\left(\det {g}\right)\;g^{ij}$. Ainsi $d\left(\det {g}\right)=\left(\det {g}\right)\;g^{ij}\;dg_{ij}$ et donc $g^{ij}\partial _{k}\left(g_{ij}\right)={\frac {1}{g}}\partial _{k}\left(\det {g}\right)$

On a finalement $\Gamma _{ij}^{i}={\frac {1}{2g}}\partial _{j}\left(\det {g}\right)$, c.q.f.d.