Calcul tensoriel/Espace-temps plan/Référentiel tournant II

Changement de coordonnées

Partant d'un référentiel galiléen plan en coordonnées circulaires$t',r',\phi '$, construisons un référentiel tournant avec la fréquence angulaire $\omega$. La transformation s'écrit

${\begin{matrix}t'&=&t\\r'&=&r\\\phi '&=&\phi +\omega t\end{matrix}}$

Tenseur métrique

De la relation $-c^{2}dt'^{2}+dr'^{2}+r'^{2}d\phi '^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}$ est facile d'obtenir le tenseur métrique dans le référentiel tournant. Il n'est pas diagonal :

${\begin{matrix}g_{tt}&=&-c^{2}+\omega ^{2}r^{2}\\g_{t\phi }=g_{\phi t}&=&\omega r^{2}\\g_{rr}&=&1\\g_{\phi \phi }&=&r^{2}\end{matrix}}$

Déterminant du tenseur métrique

$\det g=-c^{2}r^{2}$

Matrice inverse du tenseur métrique

${\begin{matrix}g^{tt}&=&-c^{-2}\\g^{t\phi }=g^{\phi t}&=&c^{-2}\omega \\g^{rr}&=&1\\g^{\phi \phi }&=&r^{-2}-c^{-2}\omega ^{2}\end{matrix}}$

Dérivées partielles du tenseur métrique

${\begin{matrix}g_{tt,r}&=&2\omega ^{2}r\\g_{t\phi ,r}=g_{\phi t,r}&=&2\omega r\\g_{\phi \phi ,r}&=&2r\end{matrix}}$

Symbole de Christoffel

${\begin{matrix}\Gamma _{t|tr}=\Gamma _{t|rt}&=&\omega ^{2}r\\\Gamma _{t|r\phi }=\Gamma _{t|\phi r}&=&\omega r\\\Gamma _{r|tt}&=&-\omega ^{2}r\\\Gamma _{r|t\phi }=\Gamma _{\phi |\phi t}&=&-\omega r\\\Gamma _{\phi |tr}=\Gamma _{\phi |rt}&=&\omega r\\\Gamma _{r|\phi \phi }&=&-r\\\Gamma _{r|r\phi }=\Gamma _{\phi |\phi r}&=&r\end{matrix}}$

${\begin{matrix}\Gamma _{tt}^{r}&=&-\omega ^{2}r\\\Gamma _{t\phi }^{r}=\Gamma _{\phi t}^{r}&=&-\omega r\\\Gamma _{\phi \phi }^{r}&=&-r\\\Gamma _{tr}^{\phi }=\Gamma _{rt}^{\phi }&=&\omega r^{-1}\\\Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }&=&r^{-1}\end{matrix}}$