Calcul tensoriel/Espace-temps courbe

Métrique quadridimensionnelle en espace-temps courbeModifier

Calcul tensoriel/Espace-temps courbe/Métrique

Équations d'EinsteinModifier

Les équations d'Einstein identifient le tenseur d'énergie-impulsion   et l'expression de divergence nulle construite à partir du tenseur de Ricci :

 

Il existe une relation symétrique :

 

Démonstration.

Équations de Maxwell en espace-temps courbeModifier

[Le tenseur de champ électromagnétique peut s'écrire à partir du rotationnel quadrimensionnel d'un quadrivecteur potentiel   :

 .

Parce que la double dérivation covariante d’un champ scalaire ne dépend pas de l’ordre des indices, l’expression du tenseur du champ électromagnétique ne change pas si l’on rajoute au potentiel vecteur un terme  , 4-divergence d’un scalaire quelconque. Ce terme est appelé jauge.

  • La jauge de Lorentz stipule  
  • En limitant la divergence au domaine spatial (cas des champs statiques), on a la jauge de Coulomb  

La jauge de Lorentz existe. Partant d’un potentiel vecteur A quelconque, il suffit de trouver la fonction f dont le 4-laplacien soit égal à la 4-divergence de A. Dans un espace-temps plan, c’est une équation harmonique évidemment soluble. Dans un espace temps courbe, ...

Équation premier groupeModifier

Si l’espace-temps est plan, l’expression   entraine directement l’équation premier groupe de Maxwell   Dans un espace-temps courbe, cette équation s’écrit

 

Équation second groupeModifier

L'équation second groupe de Maxwell s'écrit

 

Partant de

 

on obtient

 

Le choix de la jauge de Lorentz permet d'éliminer le second terme. L'équation second groupe de Maxwell s'écrit finalement à partir du 4-laplacien et du tenseur de Ricci :

 

Gravité (symétrie sphérique)Modifier

Schwarzschild 1916 Reissner 1916 Nordström 1918 (compris comme champ d’une charge électrique en 1960).

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