Partant de a i ; k = a i , k − Γ i k j a j {\displaystyle a_{i;k}=a_{i,k}-\Gamma _{ik}^{j}a_{j}} , on dérive une seconde fois :
a i ; k ; l = a i , k , l − Γ i k , l j a j − Γ i k j a j , l − Γ i l m a m ; k − Γ k l m a i ; m = a i , k , l − Γ i k , l j a j − Γ i k j a j , l − Γ i l m a m , k + Γ i l m Γ m k n a n − Γ k l m a i , m + Γ k l m Γ i m n a n {\displaystyle {\begin{matrix}a_{i;k;l}&=&a_{i,k,l}-\Gamma _{ik,l}^{j}a_{j}-\Gamma _{ik}^{j}a_{j,l}-\Gamma _{il}^{m}a_{m;k}-\Gamma _{kl}^{m}a_{i;m}\\&=&a_{i,k,l}-\Gamma _{ik,l}^{j}a_{j}-\Gamma _{ik}^{j}a_{j,l}-\Gamma _{il}^{m}a_{m,k}+\Gamma _{il}^{m}\Gamma _{mk}^{n}a_{n}-\Gamma _{kl}^{m}a_{i,m}+\Gamma _{kl}^{m}\Gamma _{im}^{n}a_{n}\end{matrix}}}
Les termes 1, 6 et 7 sont symétriques en kl et disparaissent donc dans le calcul de a i ; k ; l − a i ; l ; k {\displaystyle a_{i;k;l}-a_{i;l;k}} . Les termes 3 et 4 s'échangent et disparaissent également dans la différence. Restent les termes 2 et 5 :
R i j k l = − Γ i k , l j + Γ i l , k j + Γ i l m Γ m k j − Γ i k m Γ m l j {\displaystyle R_{i}{}^{j}{}_{kl}=-\Gamma _{ik,l}^{j}+\Gamma _{il,k}^{j}+\Gamma _{il}^{m}\Gamma _{mk}^{j}-\Gamma _{ik}^{m}\Gamma _{ml}^{j}}
,
on dérive une seconde fois :
.
Les termes 3 et 4 s'échangent et disparaissent également dans la différence. Restent les termes 2 et 5 :
