Calcul tensoriel/Notions élémentaires/composantes covariantes et contravariantes

Soit $V$ un espace vectoriel, et soit ${\vec {V}}\in V$ et $\{e_{i}\}$ une base de $V$.

On note, avec la convention d'Einstein:

${\vec {V}}=V^{i}e_{i}$

Tout simplement, les nombres $V^{i}$ sont les composantes contravariantes du vecteur ${\vec {V}}$. Ce sont les composantes que l'on utilise habituellement.

Les composantes covariantes d'un vecteur sont les composantes d'un vecteur sur la base duale. On note:

${\vec {V}}=V_{i}e^{i}$

ou la base $\{e^{i}\}$ est la base duale de $\{e_{i}\}$, définie par:

$e^{i}e_{j}=\delta _{j}^{i}$

Remarques:

• Tous les vecteurs de la base duale sont orthogonaux à tous les vecteurs de la base de départ d'indices différents (produit scalaire nul).
• Le produit scalaire entre un vecteur de la base ordinaire et un vecteur de la base duale mais de même indice cette fois, vaut 1.
• On peut déduire qu'une base orthonormale est identique à sa base duale.
• La base duale de la base duale est la base de départ.