Calcul tensoriel/Espace-temps plan/Référentiel tournant I

Changement de coordonnées

Partant d'un référentiel galiléen plan $t',x',y'$, construisons un référentiel tournant avec la fréquence angulaire $\omega$. La transformation s'écrit

${\begin{matrix}t'&=&t\\x'&=&x\cos \omega t-y\sin \omega t\\y'&=&x\sin \omega t+y\cos \omega t\end{matrix}}$

Jacobien

${\begin{matrix}\theta _{t}^{t'}&=&{\frac {\partial t'}{\partial t}}&=&1\\\theta _{t}^{x'}&=&{\frac {\partial x'}{\partial t}}&=&-\omega x\sin \omega t-\omega y\cos \omega t\\\theta _{x}^{x'}&=&{\frac {\partial x'}{\partial x}}&=&\cos \omega t\\\theta _{y}^{x'}&=&{\frac {\partial x'}{\partial y}}&=&-\sin \omega t\\\theta _{t}^{y'}&=&{\frac {\partial y'}{\partial t}}&=&\omega x\cos \omega t-\omega y\sin \omega t\\\theta _{x}^{y'}&=&{\frac {\partial y'}{\partial x}}&=&\sin \omega t\\\theta _{y}^{y'}&=&{\frac {\partial y'}{\partial y}}&=&\cos \omega t\\\end{matrix}}$

Tenseur métrique

De la relation $-c^{2}dt'^{2}+dx'^{2}+dy'^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}$ est facile d'obtenir le tenseur métrique dans le référentiel tournant. Il n'est pas diagonal :

${\begin{matrix}g_{tt}&=&-c^{2}+\omega ^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\\g_{tx}=g_{xt}&=&-\omega y\\g_{ty}=g_{yt}&=&\omega x\\g_{xx}&=&1\\g_{yy}&=&1\end{matrix}}$

La formule $g_{ij}=g'_{kl}\theta _{i}^{k}\theta _{j}^{l}$ avec $g_{tt}=-c^{2},g_{xx}=1,g_{yy}=1$, conduit au même résultat.

Déterminant du tenseur métrique

$\det g=-c^{2}$

Matrice inverse du tenseur métrique

${\begin{matrix}g^{tt}&=&-c^{-2}\\g^{tx}=g^{xt}&=&-c^{-2}\omega y\\g^{ty}=g^{yt}&=&c^{-2}\omega x\\g^{xy}=g^{yx}&=&c^{-2}\omega ^{2}xy\\g^{xx}&=&1-c^{-2}\omega ^{2}y^{2}\\g^{yy}&=&1-c^{-2}\omega ^{2}x^{2}\end{matrix}}$

Dérivées partielles du tenseur métrique

${\begin{matrix}g_{tt,x}&=&2\omega ^{2}x\\g_{tt,y}&=&2\omega ^{2}y\\g_{tx,y}=g_{xt,y}&=&-\omega \\g_{ty,x}=g_{yt,x}&=&\omega \end{matrix}}$

Symbole de Christoffel

${\begin{matrix}\Gamma _{t|tx}=\Gamma _{t|xt}&=&\omega ^{2}x\\\Gamma _{x|tt}=&=&-\omega ^{2}x\\\Gamma _{t|ty}=\Gamma _{t|yt}&=&\omega ^{2}y\\\Gamma _{y|tt}&=&-\omega ^{2}y\\\Gamma _{x|ty}=\Gamma _{x|yt}&=&-\omega \\\Gamma _{y|tx}=\Gamma _{y|xt}&=&\omega \\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}\Gamma _{tt}^{x}&=&-\omega ^{2}x\\\Gamma _{tt}^{y}&=&-\omega ^{2}y\\\Gamma _{ty}^{x}=\Gamma _{yt}^{x}&=&-\omega \\\Gamma _{tx}^{y}=\Gamma _{xt}^{y}&=&\omega \end{matrix}}$

Équation géodésique

${\begin{matrix}{\ddot {x}}&=&\omega ^{2}x{\dot {t}}^{2}+2\omega {\dot {y}}{\dot {t}}\\{\ddot {y}}&=&\omega ^{2}y{\dot {t}}^{2}-2\omega {\dot {x}}{\dot {t}}\end{matrix}}$

Pour les vitesses petites devant la vitesse de la lumière, on a $ds^{2}\approx -c^{2}dt^{2}$ et on peut écrire

${\begin{matrix}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&\approx &\omega ^{2}x+2\omega {\dot {y}}\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&\approx &\omega ^{2}y-2\omega {\dot {x}}\end{matrix}}$

On retrouve les termes classiques d'accélération centrifuge et d'accélération de Coriolis.

Tenseur de courbure

Nul. Le calcul peut se faire à partir de la formule ou plus simplement en remarquant que le tenseur de courbure de l'espace pseudo-euclidien de métrique constante $\mathrm {Diag} \left(-c^{2},1,1\right)$ est nul, et reste nul dans toute autre système de coordonnées.

Tenseur de Ricci

$0$

Scalaire de Ricci

$0$