Calcul tensoriel/Géodésiques
À RÉDIGER
On obtient l'équation d'une géodésique en écrivant que sa longueur est minimale.
Un système de coordonnées étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale . Le signe optionnel est choisi en fonction du signe de l'intervalle et de la signature du tenseur métrique.
![{\displaystyle ds={\sqrt {\left[-\right]g_{ij}dx^{i}dx^{j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afee61a62d627e4a9cb10a34dd225eebc1240b20)
![{\displaystyle \left[-\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40524d795a79ad55b4a28a90c81383330d497fa6)
Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable , on écrit , où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à . La longueur de la trajectoire est donc la somme
![{\displaystyle ds={\sqrt {\left[-\right]g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667d6fac7937709ccd90088daa1630108b4a93dc)
![{\displaystyle \int {\sqrt {\left[-\right]g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/362d9c0699e90f1e26a5340e2456ede29b8f540a)
En utilisant la méthode de Lagrange pour exprimer que l'intégrale est minimale, on obtient l'équation géodésique
avec
![{\displaystyle {\dot {s}}={\sqrt {\left[-\right]g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72890d041c966870764e20f1fa1a47267cc927dc)
Un système de coordonnées étant donné, si l'on choisit de paramètrer les courbes par la mesure de leur longueur (appelé paramètre canonique), l'équation géodésique devient
Le point supérieur est la dérivée totale par rapport au paramètre canonique. Démonstration.
La forme classique de l'équation géodésique en paramétrage canonique est la suivante :
où est le symbole de Christoffel.
