Étant donné un système de coordonnées
quelconque
, une variable
permettant de paramétrer les trajectoires,
on considère une fonction L qui ne dépend que des variables
et leur dérivée totale par rapport à
.
On veut trouver une trajectoire
d'extrémités données
et
,
qui minimise l'intégrale
![{\displaystyle \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}L\left(x_{i},{\dot {x}}_{i}\right)d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b4409346a60b51e5b8e12c507f24b548115570)
Considérons une trajectoire infiniment voisine
avec
un infiniment petit et
.
Supposant que les solutions sont trouvées et
donné,
la fonction
![{\displaystyle S\left(\epsilon \right)=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\left(L\left(x_{i},{\dot {x}}_{i}\right)+\epsilon \xi \left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}+\epsilon {\dot {\xi }}\left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}+o\left(\epsilon \right)\right)d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/336667b80985a5a929405dff32da04914d1a9a9c)
est minimale pour
:
![{\displaystyle 0=\left[{\frac {dS}{d\epsilon }}\right]\left(0\right)=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\left(\xi \left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}+{\dot {\xi }}\left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd138328c34b010ca51daaa92c128f31cb9aa33)
Intégrant par parties le second terme sous l'intégrale
et profitant du fait que
a été supposée nulle aux bornes, on a
![{\displaystyle 0=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\left(\xi \left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}-\xi \left(\tau \right){\frac {d}{d\tau }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c49add72f802bd8da322184a4186981b68bf5ec)
Comme la fonction
est quelconque, on doit avoir
![{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}-{\frac {d}{d\tau }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1c2e0fe94af952c8aff297c7df4ddca239694e)
- Remarques
- En mécanique classique, le paramètre est le temps et ces équations sont les équations de Lagrange proprement dites.
- Si le paramètre est la longueur de la trajectoire, ces équations fournissent l'équation géodésique.