Calcul tensoriel/Appendices/Équations de Lagrange

Étant donné un système de coordonnées quelconque $x_{i}$, une variable $\tau$ permettant de paramétrer les trajectoires, on considère une fonction L qui ne dépend que des variables $x_{i}$ et leur dérivée totale par rapport à $\tau$ ${\dot {x}}_{i}$. On veut trouver une trajectoire $x_{i}\left(\tau \right)$ d'extrémités données $\tau _{1}$ et $\tau _{2}$, qui minimise l'intégrale

$\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}L\left(x_{i},{\dot {x}}_{i}\right)d\tau$

Considérons une trajectoire infiniment voisine $x'\left(\tau \right)=x\left(\tau \right)+\epsilon \xi \left(\tau \right)$ avec $\epsilon$ un infiniment petit et $\xi \left(\tau _{1}\right)=\xi \left(\tau _{2}\right)=0$. Supposant que les solutions sont trouvées et $\xi \left(\tau \right)$ donné, la fonction

$S\left(\epsilon \right)=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\left(L\left(x_{i},{\dot {x}}_{i}\right)+\epsilon \xi \left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}+\epsilon {\dot {\xi }}\left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}+o\left(\epsilon \right)\right)d\tau$

est minimale pour $\epsilon =0$ :

$0=\left[{\frac {dS}{d\epsilon }}\right]\left(0\right)=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\left(\xi \left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}+{\dot {\xi }}\left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)d\tau$

Intégrant par parties le second terme sous l'intégrale et profitant du fait que $\xi$ a été supposée nulle aux bornes, on a

$0=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\left(\xi \left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}-\xi \left(\tau \right){\frac {d}{d\tau }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)d\tau$

Comme la fonction $\xi$ est quelconque, on doit avoir

${\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}-{\frac {d}{d\tau }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}=0$

• Remarques
  1. En mécanique classique, le paramètre est le temps et ces équations sont les équations de Lagrange proprement dites.
  2. Si le paramètre est la longueur de la trajectoire, ces équations fournissent l'équation géodésique.