Calcul tensoriel/Appendices

Étant donné un système de coordonnées quelconque  , une variable   permettant de paramétrer les trajectoires, on considère une fonction L qui ne dépend que des variables   et leur dérivée totale par rapport à    . On veut trouver une trajectoire   d'extrémités données   et  , qui minimise l'intégrale

 

Considérons une trajectoire infiniment voisine   avec   un infiniment petit et  . Supposant que les solutions sont trouvées et   donné, la fonction

 

est minimale pour   :

 

Intégrant par parties le second terme sous l'intégrale et profitant du fait que   a été supposée nulle aux bornes, on a

 

Comme la fonction   est quelconque, on doit avoir

 
  • Remarques
    1. En mécanique classique, le paramètre est le temps et ces équations sont les équations de Lagrange proprement dites.
    2. Si le paramètre est la longueur de la trajectoire, ces équations fournissent l'équation géodésique.

Définition

modifier

Le symbole de Levi-Civita d'ordre N,  , aussi appelé pseudo-tenseur complètement antisymétrique d'ordre N, est une généralisation du symbole de Levi-Civita d'ordre 3.

Chaque index peut prendre une valeur quelconque parmi N. Ce symbole principalement vaut 0, sauf si la liste des index est formée de N valeurs distinctes. Dans ce cas, le symbole vaut 1 ou -1, le changement de signe correspondant à une permutation impaire de la liste des index.

Supposons par exemple que la liste des index soit t, x, y, z pour définir un symbole d'ordre 4. Il y a apriori   valeurs possibles du symbole. Le symbole   vaut 0 parce que l'index t figure deux fois. Si arbitrairement on choisit le signe + pour  , alors on aura  ,  ,  , etc. 4!/2 = 12 valeurs valent +1, 12 valeurs valent -1.

Tenseur dualiseur

modifier

Le symbole de Levi-Civita d'ordre N n'est pas un tenseur. Ses composantes ne dépendent du système de coordonnées choisi, et par convention  . En revanche, un simple facteur de normalisation basé sur le déterminant du tenseur métrique permet de définir le tenseur dualiseur, ou tenseur de Levi-Civita.

Formules de contraction

modifier