Calcul tensoriel/Appendices

Équations de Lagrange

Étant donné un système de coordonnées quelconque $x_{i}$, une variable $\tau$ permettant de paramétrer les trajectoires, on considère une fonction L qui ne dépend que des variables $x_{i}$ et leur dérivée totale par rapport à $\tau$ ${\dot {x}}_{i}$. On veut trouver une trajectoire $x_{i}\left(\tau \right)$ d'extrémités données $\tau _{1}$ et $\tau _{2}$, qui minimise l'intégrale

$\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}L\left(x_{i},{\dot {x}}_{i}\right)d\tau$

Considérons une trajectoire infiniment voisine $x'\left(\tau \right)=x\left(\tau \right)+\epsilon \xi \left(\tau \right)$ avec $\epsilon$ un infiniment petit et $\xi \left(\tau _{1}\right)=\xi \left(\tau _{2}\right)=0$. Supposant que les solutions sont trouvées et $\xi \left(\tau \right)$ donné, la fonction

$S\left(\epsilon \right)=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\left(L\left(x_{i},{\dot {x}}_{i}\right)+\epsilon \xi \left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}+\epsilon {\dot {\xi }}\left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}+o\left(\epsilon \right)\right)d\tau$

est minimale pour $\epsilon =0$ :

$0=\left[{\frac {dS}{d\epsilon }}\right]\left(0\right)=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\left(\xi \left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}+{\dot {\xi }}\left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)d\tau$

Intégrant par parties le second terme sous l'intégrale et profitant du fait que $\xi$ a été supposée nulle aux bornes, on a

$0=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\left(\xi \left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}-\xi \left(\tau \right){\frac {d}{d\tau }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)d\tau$

Comme la fonction $\xi$ est quelconque, on doit avoir

${\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}-{\frac {d}{d\tau }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}=0$

• Remarques
  1. En mécanique classique, le paramètre est le temps et ces équations sont les équations de Lagrange proprement dites.
  2. Si le paramètre est la longueur de la trajectoire, ces équations fournissent l'équation géodésique.

Calcul tensoriel/Appendices/Symbole de Levi-Civita d'ordre N

Définition

Le symbole de Levi-Civita d'ordre N, $\epsilon _{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}$, aussi appelé pseudo-tenseur complètement antisymétrique d'ordre N, est une généralisation du symbole de Levi-Civita d'ordre 3.

Chaque index peut prendre une valeur quelconque parmi N. Ce symbole principalement vaut 0, sauf si la liste des index est formée de N valeurs distinctes. Dans ce cas, le symbole vaut 1 ou -1, le changement de signe correspondant à une permutation impaire de la liste des index.

Supposons par exemple que la liste des index soit t, x, y, z pour définir un symbole d'ordre 4. Il y a apriori $4^{4}=256$ valeurs possibles du symbole. Le symbole $\epsilon _{ttxz}$ vaut 0 parce que l'index t figure deux fois. Si arbitrairement on choisit le signe + pour $\epsilon _{txyz}$, alors on aura $\epsilon _{txzy}=-1$, $\epsilon _{tyxz}=+1$, $\epsilon _{tyzx}=-1$, etc. 4!/2 = 12 valeurs valent +1, 12 valeurs valent -1.

Tenseur dualiseur

Le symbole de Levi-Civita d'ordre N n'est pas un tenseur. Ses composantes ne dépendent du système de coordonnées choisi, et par convention $\epsilon ^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}=\epsilon _{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}$. En revanche, un simple facteur de normalisation basé sur le déterminant du tenseur métrique permet de définir le tenseur dualiseur, ou tenseur de Levi-Civita.

${\displaystyle }$