Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Transformations entre systèmes de coordonnées
On s'intéresse maintenant aux changements de coordonnées entre deux systèmes de coordonnées différents.
Soient deux systèmes de coordonnées a et b (on va donc noter la ième composante d'un point respectivement et dans l'un ou l'autre des système). Considérons les fonctions de transformation :
![{\displaystyle \left[x_{a}\right]^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5f4598417d2d91bf7583cfd155f26d74a7ef60b)
![{\displaystyle \left[x_{b}\right]^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/959d6f79984183583b7d935ee8f22b469457a743)
![{\displaystyle \left[x_{b}\right]^{i}=\left[\Theta _{ba}\right]^{i}\left(\left[x_{a}\right]^{0},\left[x_{a}\right]^{1},\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f3d29862a7abd275d0057ded14979c989e7772e)
![{\displaystyle \left[x_{a}\right]^{i}=\left[\Theta _{ab}\right]^{i}\left(\left[x_{b}\right]^{0},\left[x_{b}\right]^{1},\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c2bd4b634b5005ea5e2d826665eb773f09ee787)
Le jacobien de la transformation relie les variations infinitésimales des coordonnées :
![{\displaystyle d\left[x_{a}\right]^{i}=\sum _{j}\left[\theta _{ab}\right]^{i}{}_{j}d\left[x_{b}\right]^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b22e8a760e66a60992814b64bda73b56e17ef8)
Ainsi on a:
![{\displaystyle \left[\theta _{ab}\right]^{i}{}_{j}={\frac {\partial \left[\Theta _{ab}\right]^{i}}{\partial \left[x_{b}\right]^{j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/549de2383255bc2b04922bb3d9608279b02ec85c)
Le jacobien de la transformation inverse est l'inverse du jacobien. Introduisant le symbole de Kronecker, on a
![{\displaystyle \sum _{j}\left[\theta _{ab}\right]^{i}{}_{j}\left[\theta _{ba}\right]^{j}{}_{k}=\delta _{k}^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25a6fc383ebb74f94d78a800d6fcd486fc493f4b)
Et le symbole de Kronecker est défini comme suit:
