Soit un champ vectoriel
de coordonnées
dans la base naturelle associée au système de coordonnées
et de coordonnées
dans la base naturelle associée au système de coordonnées
.
La dérivée partielle ou dérivée virgule
![{\displaystyle \left[v_{a}\right]_{i,j}=\left[\partial _{a}\right]_{j}\left[v_{a}\right]_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b895d68e6d3cdcd0679b3d3e431f997dfd51ce7)
n'est pas un tenseur. En effet, lorsqu'on dérive la formule de changement de coordonnées
![{\displaystyle \left[v_{a}\right]_{i}(\left[x_{a}\right]^{\Box })=\sum _{k}{\left[\theta _{ba}\right]^{k}{}_{i}\left[v_{b}\right]_{k}\left(\left[\Theta _{ba}\right]^{\Box }(\left[x_{b}\right]^{\Box })\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96db2de8ccb2d26ab0ee8c06e8766f5f7300d9a9)
on obtient
![{\displaystyle \left[v_{a}\right]_{i_{,}j}=\sum _{kl}{\left[\theta _{ba}\right]^{k}{}_{i}(\left[v_{b}\right]_{k_{,}l})\left[\theta _{ba}\right]^{l}{}_{j}}+\sum _{k}{(\left[\theta _{ba}\right]^{k}{}_{i_{,}j})\left[v_{b}\right]_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dfced22e26d789083c345c832c95bd3cce37a8d)
formule de transformation d'un tenseur deux fois covariant, troublée par la présence d'un second terme, contenant le jacobien de la matrice de changement de base.