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Vérifier quelques propriétés mathématiques en Algèbre :

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Définitions des fonctions hyperboliques par rapport à la fonction exponentielle.

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               exp(x) + exp(-x)                          exp(x) - exp(-x)
     cosh(x) = ----------------                sinh(x) = ----------------
                      2                                         2
                      
                      
               sinh(x)   exp(x) - exp(-x)                cosh(x)   exp(x) + exp(-x)
     tanh(x) = ------- = ----------------      coth(x) = ------- = ---------------- 
               cosh(x)   exp(x) + exp(-x)                sinh(x)   exp(x) - exp(-x)
               
               

                  1             2                           1              2       
     csch(x) = ------- = ----------------       sech(x) = ------- = ----------------
               sinh(x)   exp(x) - exp(-x)                 cosh(x)   exp(x) + exp(-x)

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Vérifier quelques propriétés mathématiques en trigonométrie hyperbolique

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En mathématiques, on appelle fonctions hyperboliques les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique... Wikipédia

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Vérifions que : Vérifions que :
 cosh(x)**2 - sinh(x)**2 = 1
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  sech(x)**2 + tanh(x)**2 = 1
  coth(x)**2 - csch(x)**2 = 1


Vérifions que : Vérifions que :
 sinh(x+y) = cosh(x) sinh(y) + sinh(x) cosh(y)
  cosh(x+y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y)


Vérifions que : Vérifions que :
  sinh(x-y) = sinh(x)cosh(y) - cosh(x)sinh(y)
  cosh(x-y) = cosh(x) cosh(y) - sinh(x) sinh(y)


Vérifions que : Vérifions que :
               tanh(x)+tanh(y)
  tanh(x+y) = -----------------
              1+tanh(x)*tanh(y)
               tanh(x)-tanh(y)
  tanh(x-y) = -----------------
              1-tanh(x)*tanh(y)


Vérifions que : Vérifions que : Vérifions que :
  cosh(2 x) 
  = cosh(x)**2 + sinh(x)**2
  = 1 + 2sinh(x)**2
  = 2cosh(x)**2 - 1
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  cosh(3 x)  
  =  4cosh(x)**3 - 3cosh(x)
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  cosh(4 x)  
  =  8cosh(x)**4 - 8cosh(x)**2 + 1
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Vérifions que : Vérifions que : Vérifions que :
 sinh(2x)  
 =  2cosh(x)sinh(x)
  sinh(3x) 
  = 3sinh(x) + 4sinh(x)**3
  sinh(4x)  
  = 4sinh(x) cos(x) + 8sinh(x)**3cos(x)


Vérifions que : Vérifions que :
               2*tanh(x)
  tanh(2x) = ------------
             1+tanh(x)**2
             3tanh(x)+tanh(x)**3
  tanh(3x) = -------------------
               1+3tan(x)**2


Vérifions que : Vérifions que : Vérifions que :
 cosh(x)**2  
 = 1/2 + 1/2cosh(2x)
 cosh(x)**3  
 = 3/4 cosh(x) + 1/4cosh(3x)
 cosh(x)**4  
 = 3/8 + 1/2cosh(2x) + 1/8cosh(4x)


Vérifions que : Vérifions que : Vérifions que :
  sinh(x)**2  
  = 1/2cosh(2x) - 1/2
  sinh(x)**3  
  = 1/4sinh(3x) -3/4sinh(x)
  sinh(x)**4  
  = 3/8 - 1/2cosh(2x) + 1/8cosh(4x)


Vérifions que : Vérifions que : Vérifions que :
  sinh(x)sinh(y)  
  = 1/2[cosh(x+y) - cosh(x-y)]
  cosh(x)cosh(y)  
  = 1/2[cosh(x-y) + cosh(x+y)]
   sinh(x)cosh(y)  
   = 1/2[sinh(x-y) + sinh(x+y)]


Vérifions que : Vérifions que :
 sinh(x) + sinh(y) = 2sinh((x+y)/2)cosh((x-y)/2)
  sinh(x) - sinh(y) = 2sinh((x-y)/2)cosh((x+y)/2)


Vérifions que : Vérifions que :
 cosh(x) + cosh(y) = 2cosh((x+y)/2)cosh((x-y)/2)
  cosh(x) - cosh(y) = 2sinh((x+y)/2)sinh((x-y)/2)


Vérifions que : Vérifions que : Vérifions que : Vérifions que :
  sinh(acosh(x))  
  =  sqrt(x**2 -1)
  cosh(asinh(x))  
  =  sqrt(1+x**2)
   tanh(asech(x)) 
   =  sqrt(1-x**2)
  coth(acsch(x)) 
  = sqrt(1 + x**2)

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