Mathc initiation/a0038
Vérifier quelques propriétés mathématiques de trigonométrie hyperbolique
Vérifions si : cosh(x+y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y)
sinh(x) = (e**x-e**(-x))/2
cosh(x) = (e**x+e**(-x))/2
Nous savons :
a) cosh(X) = (e**X + e**(-X)) / 2
b) e**x = [sinh(x) + cosh(x)]
e**(-x) = [cosh(x) - sinh(x)]
avec a :
cosh(X) = (e**X + e**(-X)) / 2
posons :
X = x+y
2 cosh(x+y) = e**(x+y) + e**(-(x+y))
soit :
2 cosh(x+y) = e**(x) e**(y) + e**(-x) e**(-y)
avec b :
2 cosh(x+y) = [sinh(x) + cosh(x)] [sinh(y) + cosh(y)]
(+)
[cosh(x) - sinh(x)] [cosh(y) - sinh(y)]
2 cosh(x+y) = [sinh(x)sinh(y) + sinh(x)cosh(y) +
cosh(x)sinh(y) + cosh(x)cosh(y) ]
(+)
[cosh(x)cosh(y) + cosh(x)(-sinh(y)) +
(-sinh(x))cosh(y) + (-sinh(x)(-sinh(y) ]
2 cosh(x+y) = sinh(x)sinh(y) + sinh(x)cosh(y) +
cosh(x)sinh(y) + cosh(x)cosh(y) +
cosh(x)cosh(y) - cosh(x)sinh(y) -
sinh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y)
2 cosh(x+y) = sinh(x)sinh(y) +
cosh(x)cosh(y) +
cosh(x)cosh(y)
+ sinh(x) sinh(y)
2 cosh(x+y) = 2 sinh(x)sinh(y) + 2 cosh(x)cosh(y)
cosh(x+y) = sinh(x)sinh(y) + cosh(x)cosh(y)