Mathématiques avec Python et Ruby/Vecteurs en Ruby
Un vecteur peut être défini par ses deux coordonnées ou avec deux points (son origine et son extrémité). La seconde technique a été abordée dans le chapitre précédent; on utilisera donc ici la définition par les coordonnées:
Définition Modifier
Le vecteur sera donc ici une classe Vecteur:
class Vecteur
def initialize(x,y)
@x, @y = x, y
end
end
Créer un vecteur, c'est donc lui donner une abscisse et une ordonnée. Comme on l'a vu dans le chapitre précédent, on peut maintenant en créer en Ruby avec
v=Vecteur.new(2,3)
Coordonnées Modifier
On gère les coordonnées et l'affichage comme avec les points; il y a beaucoup de ressemblance entre les vecteurs et les points, ce sont les méthodes qui ne seront pas les mêmes.
Abscisse Modifier
def x
@x
end
Pour lire ou modifier l'abscisse d'un vecteur u, on invoque u.x.
Ordonnée Modifier
def y
@y
end
Affichage Modifier
def to_s
'('+@x.to_s+';'+@y.to_s+')'
end
Il suffit pour afficher un vecteur u, de faire
puts(u)
Norme Modifier
La norme d'un vecteur se calcule avec le théorème de Pythagore:
def norme
Math.hypot(@x,@y)
end
On a utilisé la norme d'un vecteur pour calculer des distances au chapitre précédent.
Opérations Modifier
Il n'est pas d'usage de calculer le milieu de deux vecteurs, mais par contre, on n'additionne pas les points d'habitude (sauf avec GeoGebra). Mais les vecteurs, eux, on les additionne:
Somme Modifier
La somme de deux vecteurs est définie par la somme des coordonnées:
def + (u)
Vecteur.new(@x+u.x,@y+u.y)
end
La notation est infixée ce qui fait que la somme de deux vecteurs u et v se note tout simplement u+v.
Produits Modifier
Il y a deux multiplications intéressantes:
Par un nombre Modifier
En multipliant un vecteur par un nombre, on obtient un vecteur:
def * (r)
Vecteur.new(@x*r,@y*r)
end
Seulement on est obligé de mettre le nombre après le vecteur (u*3 pour avoir le triple de u, alors que d'habitude on fait plutôt le contraire: 3u), et ce produit est moins intéressant que le suivant:
Par un vecteur Modifier
En multipliant un vecteur par un vecteur, on obtient un nombre. Comme les nombres sont disposés comme les barreaux d'une échelle, on appelle cette multiplication, le produit scalaire des deux vecteurs:
def * (u)
@x*u.x+@y*u.y
end
On écrit u*v pour avoir le produit scalaire de u par v.
Tests Modifier
De colinéarité Modifier
Pour savoir si deux vecteurs sont colinéaires, on compare deux produits:
def colin(u)
@x*u.y==@y*u.x
end
Pour savoir si u et v sont colinéaires, on entre
puts(u.colin(v))
qui donnera true ou false selon que les vecteurs sont, ou non, colinéaires.
D'orthogonalité Modifier
Pour savoir si deux vecteurs sont orthogonaux, on compare leur produit scalaire à 0:
def ortho(u)
self * u ==0
end
Exemple Modifier
Dans l'exemple du chapitre précédent, le produit scalaire permet plus rapidement de vérifier que le triangle ABC est rectangle:
a=Point.new(-1,3)
b=Point.new(5,1)
c=Point.new(1,5)
u=c.vecteur(a)
v=c.vecteur(b)
puts(u*v)
puts(u.ortho(v))