Mathématiques avec Python et Ruby/Une tortue qui accélère la résolution de problèmes



Depuis la version 2.6, Python possède un module appelé turtle et qui lui permet de faire du graphisme à la LOGO. Outre l'intérêt que peut présenter la consultation de son code source (on y trouve pratiquement tout ce qui est décrit dans les chapitres précédents sur la géométrie), ce module turtle permet de simplifier la résolution de certains problèmes et même d'introduire graphiquement certaines notions mathématiques. Le fil conducteur de ce chapitre est que la tortue LOGO peut mémoriser certaines données de position et se comporte comme une mémoire à la fois plus puissante et moins abstraite que les habituelles variables numériques.

Avant d'utiliser la tortue de Python, on doit l'importer, en faisant

from turtle import *

Ensuite, une connaissance du vocabulaire de situation et de déplacement en anglais peut aider; en voici un échantillon:

  1. forward ou fd: Pour avancer (l'unité de distance est le pixel)
  2. backward ou bk: Pour reculer
  3. left ou lt: Pour tourner à gauche (l'unité d'angle est le degré)
  4. right ou rt: Pour tourner à droite
  5. goto pour téléporter la tortue (donner l'abscisse puis l'ordonnée)
  6. penup() ou pu() pour que les déplacements de la tortue cessent de laisser des traces à l'écran
  7. pendown() ou pd() pour que les déplacements de la tortue recommencent à laisser des traces
  8. position() renvoie les coordonnées de la tortue
  9. home() renvoie la tortue au centre de l'écran (sa position initiale)
  10. reset() fait pareil mais en effaçant l'écran
  11. circle dessine un cercle (le rayon est en pixels)
  12. stamp() donne un coup de tampon sur l'écran, en laissant une empreinte de la tortue

L'écran n'apparaît que lors de l'exécution de la première instruction graphique (un forward par exemple). Sous Windows, il est déconseillé de laisser traîner la souris sur cet écran graphique. Dans les exemples qui suivent, l'export vectoriel au format eps du module TkInter (dont le module turtle hérite) a été utilisé pour produire des figures de meilleure qualité que celles qu'on voit sur l'écran de turtle.

Nombres relatifsModifier

Les nombres (réels) peuvent être représentés par des graduations sur une droite, et donc par les emplacements de la tortue à l'écran.

Nombres positifsModifier

AdditionModifier

Pour représenter l'addition de 21 et 34, on peut tout simplement entrer

from turtle import *

forward(21)
forward(34)

print(position())

Ce qui oblige à ignorer une information superflue (l'ordonnée de la tortue). La variante suivante permet d'éviter cela:

reset()
forward(21)
forward(34)

print(distance(0,0))


SoustractionModifier

Pour soustraire 21 à 34, il suffit de faire reculer la tortue au lieu de la faire avancer:

reset()
forward(34)
backward(21)

print(position())

Si on intervertit l'amplitude des mouvements, on découvre que Python choisit d'afficher négativement une position à gauche de l'origine:

reset()
forward(21)
backward(34)

print(position())

Assez naturellement, on est amené à poser 21-34=-13: Découverte expérimentale des nombres négatifs...


Nombres négatifsModifier

Une fois qu'on a vu des nombres négatifs, on peut chercher comment réaliser des opérations dessus:

AdditionModifier

Pour additionner deux nombres négatifs, on peut faire

reset()
backward(34)
backward(21)

position()

Tout ceci permet assez rapidement d'explorer les différents autres cas de figure (deux cas différents pour la somme de deux nombres de signes différents). Puis la découverte spontanée du fait que les deux instructions suivantes ont le même effet:

forward(-34)
backward(34)

Ce qui facilite grandement l'exploration de la soustraction de deux nombres relatifs:

SoustractionModifier

Pour calculer 34-(-21), on peut faire

reset()
forward(34)
backward(-21)

position()

Pour l'apprentissage des opérations sur les nombres négatifs, turtle constitue un outil expérimental intéressant à explorer.

Angles orientésModifier

De même, les deux instructions suivantes ont le même effet (rotation de 60° vers la gauche):

left(60)
right(-60)

mais ce n'est nullement évident pour des lycéens qui n'ont jamais fait ce genre de manipulation, surtout depuis que la notion de rotation a totalement disparu de l'enseignement des mathématiques. Pourtant le module turtle permet de visualiser l'addition des angles et d'introduire des notions comme celle d'angles complémentaires ou supplémentaires avec

left(30)
left(60)


FonctionsModifier

On a vu dans un chapitre précédent comment la module turtle permet de représenter graphiquement une fonction.

StatistiqueModifier

Chute d'une bille sur la planche de GaltonModifier

La planche de Galton réalise une marche aléatoire de dimension 1 (le mouvement vertical de la bille n'ayant aucune influence sur le numéro de la case où elle aboutit). On peut donc simuler le mouvement d'une bille avec ce script:

from turtle import *
from random import *

for n in range(24):
    if random()<0.5:
        forward(1)
    else:
        backward(1)

print(position())

On peut améliorer ce script en utilisant randrange qui va de -1 à 1 (donc 2 exclu) par pas de 2, ce qui économise un test:

from turtle import *
from random import *

for h in range(24):
    forward(randrange(-1,2,2))

print(position())

Statistiques sur 100 billesModifier

Pour effectuer des statistiques sur 100 billes, on a intérêt à accélérer la tortue, avec

from turtle import *
from random import *

speed=1000
hideturtle()
penup()

Ensuite on crée un tableau d'effectifs pour simuler le bas de la planche de Galton:

effectifs=[0 for x in range(-24,25)]

Après ça il n'y a plus qu'à remplir le tableau en recommençant 100 fois l'expérience précédente (lancer d'une bille):

from turtle import *
from random import *
speed=0
hideturtle()
penup()

for n in range(100):
    home()
    for h in range(24):
        forward(randrange(-1,2,2))
    effectifs[int(xcor()]+=1

Ce script, bien qu'assez court, met du temps à s'exécuter (de l'ordre d'une minute). Pour l'accélérer, on peut ajouter un degré d'abstraction en n'utilisant pas la tortue. En effet, chaque pas est égal à -1 ou 1 au hasard, donc d'après ce qu'on a vu au début de ce chapitre (opérations sur les nombres relatifs), on ne fait qu'additionner 24 nombres égaux à 1 ou -1, ce qui donne ce script:

from random import *
effectifs=[0 for x in range(-24,25)]
for n in range(100):
    effectifs[sum(randrange(-1,2,2) for h in range(24))]+=1

Cette fois-ci, l'effet est presque instantané.

Dessin de l'histogrammeModifier

Une fois le tableau d'effectifs rempli, le module turtle peut le représenter graphiquement sous forme d'un polygone des effectifs. Comme la méthode précédente est très rapide et que les effectifs des nombres impairs sont nuls, on va plutôt utiliser la variante suivante, avec 256 cases et 1000 essais:

from turtle import *
from random import *
effectifs=[0 for x in range(256)]
for n in range(1000):
    effectifs[sum(randrange(2) for h in range(256))]+=1

reset()
for x in range(256):
    goto(x,effectifs[x])

On obtient alors un histogramme de ce genre (la tortue est encore visible à droite):


FractalesModifier

La courbe de Von Koch est classiquement définie par la récursivité. Mais elle n'est pas nécessaire si on utilise une expression régulière. En fait, on peut écrire un script Python qui produit un script Python, puis exécuter celui-ci!

Triangle de départModifier

Comme le script qui va dessiner le triangle fractal sera assez long, on va utiliser des abréviations: fd au lieu de forward, lt au lieu de left et rt au lieu de right. Alors pour dessiner un triangle on peut faire ceci:

from turtle import *

fd(100); rt(120); fd(100); rt(120); fd(100); rt(120)

Ou mieux, en stockant ce programme en Python dans une variable programme:

from turtle import *

programme='fd(100); rt(120); fd(100); rt(120); fd(100); rt(120)'
exec(programme)

Dans un premier temps, on va abréger encore plus, en notant chaque instruction de ce programme par une seule lettre:

  1. A (comme avance) pour fd(100);
  2. p (comme plus) pour lt(60);
  3. m (comme moins) pour rt(120).

La traduction se fait par une RegExp, qui, tel un chien de douane, cherche toutes les occurences d'une lettre, et les remplace par le texte correspondant.

 

Alors le programme pour créer un programme qui dessine un triangle devient:

from turtle import *
from re import *

programme='AmAmAm'
programme=sub('A','fd(100); ',programme)
programme=sub('m','rt(120); ',programme)
exec(programme)

Le remplacement des lettres mnémotechniques par des instructions en Python est à l'image de ce que fait un compilateur comme celui de Python. Avec ça, au moins, la recette pour dessiner un triangle est facile à retenir: avancer; tourner; avancer; tourner; avancer; tourner, étant entendu que chaque fois qu'on avance, c'est de 100 pixels, et chaque fois qu'on tourne, c'est de 120° vers la droite.

Modification du scriptModifier

Pour transformer le triangle en flocon, on doit remplacer chaque instruction avancer par la séquence avancer; gauche; avancer; droite; avancer; gauche; avancer. Du moment que chaque fois qu'on avance, c'est du même nombre de pixels (par exemple 81) et chaque fois qu'on tourne à gauche, c'est de 60° et chaque fois qu'on tourne à droite, c'est de 120°. Pour obtenir cet effet, il suffit de remplacer chaque A par ApAmApA:

from turtle import *
from re import *

programme='AmAmAm'

programme=sub('A','ApAmApA',programme)

programme=sub('A','fd(81); ',programme)
programme=sub('m','rt(120); ',programme)
programme=sub('p','lt(60); ',programme)
exec(programme)

Ce script dessine bien une étoile:

Dessin du triangle de Von KochModifier

Pour finir le dessin du flocon fractal, il suffit d'itérer le remplacement de chaque A par ApAmApA:

from turtle import *
from re import *

programme='AmAmAm'

for n in range(4):
    programme=sub('A','ApAmApA',programme)

programme=sub('A','fd(2); ',programme)
programme=sub('m','rt(120); ',programme)
programme=sub('p','lt(60); ',programme)
exec(programme)

Ce script dessine ceci en 9 lignes de Python (la tortue donne une idée de l'échelle):

Voir aussiModifier

Sur ce site, il y a un wikibook sur LOGO dont beaucoup d'idées sont transposables ici.