De façon analogue à la définition par coordonnées des points et vecteurs dans les deux chapitres précédents, on peut définir l'objet droite par une de ses équations. Mais ici, on va définir une droite à partir de deux points. On va donc avoir besoin des classes Point et Vecteur définies dans les deux chapitres précédents. On aura donc aussi besoin d'importer le module math (ou au moins, hypot).

Vecteurs en Python

Résolution de problèmes en Python

Définition

On définit donc une classe Droite où l'initialisation place deux points:

class Droite:
    def __init__(self,a,b):
        self.a=a
        self.b=b

Le premier point de la droite d s'obtient par d.a et le second point par d.b.

Vecteurs

Vecteur directeur

Le vecteur ${\overrightarrow {AB}}$ sera choisi comme vecteur directeur de la droite $(AB)$ :

    def directeur(self):
        return self.a.vecteur(self.b)

On peut s'en servir pour

Avoir une représentation paramétrique de la droite;
Faire un test pour savoir si un point est, ou non, sur la droite (par des vecteurs colinéaires).

Ces deux ajouts sont laissés en exercice, le deuxième étant d'ailleurs hors sujet ici puisque c'est une propriété de l'objet Point.

Vecteur normal

Le vecteur normal est choisi de telle façon que son produit scalaire avec le vecteur directeur ci-dessus soit nul:

    def normal(self):
        return Vecteur(-self.directeur().y,self.directeur().x)

Ce vecteur directeur peut servir à obtenir une équation cartésienne de la droite (AB):

Équations

Équation cartésienne

    def cartesienne(self):
        return '('+str(self.normal().x)+')x+('+str(self.normal().y)+')y='+str(self.normal().x*self.a.x+self.normal().y*self.a.y)

On écrit print(d.cartesienne()) pour afficher l'équation cartésienne de d.

Équation réduite

L'équation réduite y=mx+p est acquise dès que le coefficient directeur m et l'ordonnée à l'origine p=y-mx sont acquis.

Coefficient directeur

Le coefficient directeur est le quotient de l'ordonnée du vecteur directeur par son abscisse:

    def cd(self):
        return self.directeur().y/self.directeur().x

Ordonnée à l'origine

    def oalo(self):
        return self.a.y-self.cd()*self.a.x

Équation

On l'obtient à partir des deux nombres précédents:

    def reduite(self):
        return 'y='+str(self.cd())+'x+('+str(self.oalo())+')'

On l'affiche par print(d.reduite())

Point d'intersection

Pour calculer les coordonnées du point d'intersection de deux droites, on doit résoudre un système. Voir à ce sujet le chapitre qui lui est consacré.

Relations entre droites

Parallélisme

Pour savoir si deux droites sont parallèles, on peut

Regarder si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (mieux);
ou comparer leurs coefficients directeurs (moins bien, il faut déjà qu'elles en aient un!)

C'est la première méthode qui sera appliquée ici, bien que la deuxième soit plus rapide:

    def parallele(self,d):
        return self.directeur().colin(d.directeur())

Orthogonalité

Pour savoir si deux droites sont perpendiculaires, on regarde si leurs vecteurs normaux le sont:

    def perpendiculaire(self,d):
        return self.normal().ortho(d.normal())

Application à l'exercice précédent

En résumé, l'objet Droite se résume à ceci:

from math import *

class Droite:
    def __init__(self,a,b):
        self.a=a
        self.b=b

    def directeur(self):
        return self.a.vecteur(self.b)

    def normal(self):
        return Vecteur(-self.directeur().y,self.directeur().x)

    def cartesienne(self):
        return '('+str(self.normal().x)+')x+('+str(self.normal().y)+')y='+str(self.normal().x*self.a.x+self.normal().y*self.a.y)

    def cd(self):
        return self.directeur().y/self.directeur().x

    def oalo(self):
        return self.a.y-self.cd()*self.a.x

    def reduite(self):
        return 'y='+str(self.cd())+'x+('+str(self.oalo())+')'

    def parallele(self,d):
        return self.directeur().colin(d.directeur())

    def perpendiculaire(self,d):
        return self.normal().ortho(d.normal())

Pour l'exercice des chapitres précédents, on peut vérifier que le triangle ABC est rectangle en C, en regardant si les droites (AC) et (BC) sont perpendiculaires:

a=Point(-1,3.0)
b=Point(5,1)
c=Point(1,5)


d1=Droite(c,a)
d2=Droite(c,b)

print(d1.perpendiculaire(d2))

Mathématiques avec Python et Ruby/Droites en Python

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