Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Les Principes avant 1687

Il est clair que les Principia (1687) ne sont pas sortis par divination du cortex de Newton. Ce travail titanesque est au contraire un traité abouti, reconstruit, de tout ce que l'on savait à son époque, plus (et ce n'est pas rien !)des dizaines de théorèmes inventés par Newton, qui sont venus confortés son deMotu(1684).

Statique

PFD

De quoi disposait-on en 1684, 50 ans environ après l'abjuration de Galilée, le 22 juillet 1633,devant l'Inquisition romaine ? D'une quantité invraisemblable de travaux:

dès fin 1633, Mersenne diffuse les mechaniques, soit le Dialogo de Galilée ; 1638, les 2 nouvelles sciences (le Discorso de Galilée) sont publiées par l'éditeur Elzevir en Hollande ; 1644-1648 : le vide est entré en physique, via Torricelli et Pascal.Ce qu'a dit l'ESSAYEUR (Il Staggiatore) est acquis : le monde se décrit en termes mathématiques.

Le monde sublunaire et supra-lunaire sont unifiés : Koyré relève plus d'une centaine de noms juste pour la chute des graves! LA grande idée que la mécanique des ars&métiers puisse s'appliquer à la philosophie naturelle, la Terre et les Cieux, a déjà fait sa percée depuis quelques décennies. La philosophie naturelle est devenue matérialiste (Beeckman , Hobbes); la scolastique est tombée, comme peau morte. Certes, trouver les causes reste un objectif ; l'explication par les tourbillons de Descartes est une impasse ; et il y faudra un Huygens, et surtout un Newton (de Gravitatio).

La géométrie de Descartes s'est répandue :

les mathématiques ont fait d'immenses progrès via la géométrie analytique; des traités d'analyse ont déjà vu le jour : certes, peu de gens savent manipuler le calculus, mais Leibniz a effectué(1674-1684), grâce aux éléments fournis par Newton et connus (via Collins et Oldenburg) à Paris, un superbe travail de notation qui éclaire ces notions.

1634-1684 : quelle magnifique période !

Résumons:

Les Principes avant 1687

le Principe de relativité galiléenne est clairement admis : un point matériel dans son référentiel galiléen tangent reste au repos s'il n'est soumis à aucune force; si la force est comme celle de pesanteur, il prend une petite quantité de mouvement supplémentaire , et on recommence : c'est la trajectoire "funiculaire à rochets".

le Principe de Torricelli(1608-1647) , généralisé par Huygens(1629-1695), dit qu'un système dont le centre de gravité descend de h gagne une "énergie" Mgh, mais jamais son centre de gravité ne pourra remonter plus haut.[le mot énergie n'est pas encore utilisé, mais l'énergie cinétique existe sous le nom de "demi-force vive"].

le Principe des travaux virtuels en statique n'est pas encore énoncé, mais les travaux de Pascal sur la presse hydraulique vers 1650, et les dizaines de machines simples en fonctionnement montrent que , (Stevin(1548-1620) :frottement oublié, elles transfèrent du travail.On voit donc que Galilée n'est pas le seul (ni le premier) à dire :que se passe-t-il à la limite du frottement nul?

le Principe du Raisonnement d’Échelle (ie d'analyse dimensionnelle) est acquis : le temps en seconde est différent de la distance en mètre. On sait mieux la notion d'unités (et donc la phoronomie, comme on dit à l'époque). Huygens s'en sert très bien dans sa théorie de la force centrifuge (il vaut mieux dire axifuge).

La Méthode scientifique est acquise : la mécanique s'écrit en langage mathématique (Galilée et Descartes) ; on propose une gedanken-experiment pour approfondir ou tester la théorie. Si sa réalisation pratique ("au mieux") infirme la théorie, il vaut mieux changer la théorie, EN CONSERVANT "au mieux" les résultats antérieurs. Une théorie n'est jamais acquise définitivement, mais si elle se constitue via un faible nombre de principes de base qui constituent un moyen déductif d'interpréter TOUTES les expériences réalisées, alors ce critère d'auto-cohérence rend crédible, pour l'heure, la théorie. Si de plus , elle permet de prévoir certains faits à l'avance, c'est le succès (prévoir le retour de la comète de Halley est un des premiers grands succès de la mécanique de Newton), provisoire comme toujours.

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Alors, dans un procédé tout à fait interdit en histoire des sciences, que peut-on faire dire à partir de ces principes ? Peut-on montrer que l'on est déjà en germe dans les Principia, que ceux-ci ne sont pas une coupure, mais une mise en forme ? Du coup, la leçon prochaine (sur le PFD) sera un éclair lumineux de beauté par sa concision, mais n'aura rien que de naturel ; c'est ce que dit Ernst Mach : la pensée s'est tellement épurée au contact du réel, que l'on reconnaît en elle l'expression des lois qui collent au réel ; c'est la désillusion de la chose finie. Poincaré, après Laplace, dira des lois de Newton qu'elles expriment simplement le déterminisme dans l'espace des phases(c'est à dire, il suffit de connaître position et vitesse initiales, mais pas l'accélération , ni le jerk, etc.) ; c'est aussi la préface du livre d'Arnold : l'anagramme de Newton confié à Oldenburg est : il convient de savoir résoudre les équations différentielles.

Application à la force centrifuge

Le "de Vi centrifuga" (1659) de Huygens est magnifiquement décrit par Yoder (1988).

Les travaux de Huygens(1629-1695)sont parmi les plus importants dans ceux qui précédèrent 1684.

En particulier celui sur la force centrifuge. Suivant MACH(§3), Huygens a hérité de Torricelli la composition du mouvement galiléen tangent et de l'action de la force comme ce qui modifie la quantité de mouvement, car toute force peut se ramener à un poids via une tension de corde ou une machine simple, et ensuite on applique la "formule de Galilée". Dans le cas d'un mouvement circulaire, la corde qui à chaque instant tire le point matériel vers le centre O exerce, par sa tension T une force centripète et donc ramène sans cesse le point matériel de son mouvement sur la tangente au mouvement sur le cercle (c'est la fameuse figure dite de la roue à rochets).

Soit s l'abscisse parcourue. Il a fallu ramener sur le cercle la particule d'une hauteur h = s²/2R cela par la tension qui a donc créé une accélération a = 2h/t² = 2(s²/2R)/t² = (s/t)²/R = v²/R.

Il existe bien d'autres démonstrations ; Bernoulli railla, quelques décennies plus tard, Huygens qui ne savait pas dériver :

OM(t) = i cos wt + j sin wt ;

V(t)/w = i cos (wt+Pi/2) + j sin(wt+Pi/2)

a(t)/w² = -OM

De fait, Huygens fût maladroit en calculus. Un peu comme Pascal, il était parmi les derniers à raisonner en termes géométriques seulement. Newton le surpassait car il savait faire les deux. D'autre part, nous avons triché un peu : Huygens n'a pas trouvé la tension de la corde CENTRIPÈTE : il a trouvé la force qui arrachait les bras de qui tournait la corde et qui est l'opposée : la force centrifuge. Son raisonnement s'est beaucoup appuyé aussi sur le pendule conique, que nous n'avons pas encore traité.

Remarque : on notera qu'il vaut mieux dire force "axifuge". Cela sera revu ultérieurement.

Mouvement du pendule composé selon Huygens

(Horologium,1658 ; Horologium oscillatorium,1673):15 ans séparent les deux traités ; la découverte , puis la mise en forme patiente.

C'est qu'il n'a pas été facile de répondre à Mersenne:

Soit une barre de longueur OA = L. Sa période est T = K.sqrt(L).

On y fixe une barre identique AB : le centre de gravité a été abaissé d'un facteur 2 ; mais la période est T.sqrt(2): donc la barre AB a ralenti le mouvement de OA ; mais "évidemment" OA a "poussé" AB. Quel est le pendule simple de longueur l dont la période est T ? cette question , ainsi que celle du centre percussion, avait déjà été posée par Mersenne au jeune Huygens(1646); mais il faudra que ce problème mature. Dès 1654, Huygens avance ,puis fait une progression rapide en 1659 ; l'achèvement est 1673 (et le traité est envoyé immédiatement à Newton!).

Le raisonnement de Huygens s'appuiera sur le principe de Torricelli généralisé :

Quand le pendule descend, les vitesses acquises dans la descente doivent permettre au centre de gravité de remonter exactement à la même altitude, QUE les LIAISONS INTERNES PERSISTENT ou NON! Cet énoncé est dangereux (le théorème de l'énergie cinétique implique le travail du torseur des forces intérieures! la phrase précédente sortie de son contexte est FAUSSE); mais il va permettre à Huygens de trouver la solution dans ce cas.

Soit à étudier le cas du pendule composé d'une barre OB , de centre de gravité OG = OB/2 = a.

Élever G sur le cercle de centre O , de la hauteur H . Quand G passe à la verticale avec la vitesse V = aw, la particule située à la distance r aura la vitesse (r/a)V et la somme des "énergies cinétiques" sera : 1/2 (somme miri²)w², ce qui permettra à G de remonter à la hauteur H. Plus généralement, à tout instant, on devra avoir , en appelant J = somme(miri²) l'inertie à la rotation : 1/2 J w² +M g h = cste. Cette équation différentielle est de nos jours interprétée comme la Conservation de l'énergie mécanique, s'il n'y a pas de frottement. Huygens l'avait déjà reconnue être l'équation des oscillations du mouvement pendulaire d'un pendule simple de période de petite oscillation T = 2Pi sqrt(J/Mga); donc la longueur du pendule simple équivalent est l = J/Ma.

Théorème de Huygens : J(O) = Ma² + J(G):

démonstration : ri² = (OG+ GMi)² = OG² + GMi² + 2 OG.GMi . Le troisième terme s'annule par sommation. Leibniz réutilisera ce résultat en géométrie.

Définition :On appelle souvent r le rayon de giration tel que J : = Mr²

La longueur du pendule simple synchrone est donc OO' = a + J(G)/Ma = a +r²/a >2r. Le pendule pesant a donc même période suspendu en O'(dit point conjugué). La période est la plus courte si a = r et alors G est milieu de OO'=2r : le cercle de centre G de rayon r s'appelle le cercle de giration (voir plus bas exercice du cerceau de Huygens).

Par l'intermédiaire d'une masselotte coulissante, Huygens pouvait régler avec précision et à volonté l'inertie à la rotation J(O) du pendule, donc la période : une fois mis au point l'échappement à ancre, l'horloge à balancier était née ! 300 ans durant, elle offrira ses services à la science, avant d'être supplantée par l'horloge atomique.

[Note de métrologie : Un pendule construit de manière que deux couteaux parallèles de distance L donne suspendu à chacun de ses couteaux la même période a pour période T = 2Pi sqrt(L/g). On s'arrange techniquement pour que cette période soit minimale : le pendule s'appelle alors pendule de Kater : jusqu'à l'invention de gravimètres à chute libre , le pendule de Kater donnait g à 10^-4 , voire 10^-5 près. Huygens avait donc permis d'accomplir le vœu de Mersenne : mesurer g (bien que cette rédaction soit anachronique)].

Principe fondamental de la rotation

Outrepassons Huygens ?

Au fond, sans le comprendre, Huygens venait d'énoncer le principe fondamental de la rotation, attendu qu'il savait que la force de pesanteur n'était en rien particulière.

Reprenons ce qui a été dit : Si le moment C d'une force par rapport à l'axe d'un solide délivre une puissance P = C.d( $\theta$ /dt) , alors P = d/dt (1/2 J ( $d\theta /dt$ )²).

Soit, en dérivant (ce qui est encore anachronique pour Huygens, peu familier avec le calculus!) :

J{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=C(\theta );et[CI:(\theta (t=0);{\dot {\theta }}(t=0)]

Énoncé : PFDR (Newton 1687)

Oui, nous préférons marquer PFDR de Newton (1687): les travaux sont amplement avancés sur ce sujet, puisque le pendule spiral des montres est déjà en fonction. Mais nos connaissances historiques sur le théorème du moment cinétique (puisque c'est bien de cela qu'il s'agit) sont floues.

Conclusion-Résumé

Il n'y a plus qu'un petit pas à franchir pour obtenir les Principia.

Certes , nous avons minimisé le travail de Newton , de 1664 à 1684, que l'on peut trouver analysé par l'historien Hérivel(OxUP1975).

Mais assez clairement, entre le travail mené par Mersenne pour diffuser les travaux de Galilée, le travail immense de gedanken experiment mené par Huygens, cherchant sa réalisation expérimentale ensuite, l'idée de ramener toute force à un poids, l'assimilation intime de la statique "déséquilibrée" comme fournissant un mouvement mesuré par une énergie cinétique, tel que le mouvement perpétuel fût impossible(c'est à dire d'une certaine manière, la conservation de l'énergie mécanique),l'interprétation des chocs (élastiques et non élastiques par Beeckman) et la conservation de l'impulsion, l'examen d'objets tournants comme le pendule composé, donc d'une certaine manière le PFDR via le moment cinétique, la meilleure compréhension de la percussion répétée comme transférant de l'impulsion à un système (et la célèbre courbe funiculaire à rochets).

alors,

il y avait lieu et temps d'écrire ce monument :

les PRINCIPIA de NEWTON (1684-1686, publiés en 1687)

Exercices

Il existe des dizaines d'exercices, utilisant les principes que nous avons indiqués. Nous citerons les plus classiques, quitte à approfondir les solutions après la leçon capitale sur le PFD.

exPenduleCerceau de Huygens :

Cet exercice fait partie du cours du paragraphe : pendule . En effet, c'est encore une gedanken-experiment qui a guidé Huygens. Ceci dit, contrairement à Galilée, il cherchait aussitôt la réalisation expérimentale.

Soit une plaque verticale de masse négligeable sur laquelle est fixée un cerceau de rayon a , de centre O . Le moment d'inertie J(O) est évidemment Ma²; donc r= a.Les points intérieurs sont conjugués des points extérieurs et par évidence les points symétriques du cerceau sont conjugués, et la période du pendule y est la plus courte, et la longueur du pendule simple synchrone est donc précisément 2a. Ceci sans calcul. Suspendre alors par un point A de son contour ; soit A' le point diamétralement opposé. AA' est vertical. Montrer que si l'on rajoute deux masselottes égales en 2 points symétriques par rapport à la verticale, rien n'est changé. En déduire que pour un cerceau de masse linéique quelconque symétrique par rapport à A, rien n'est changé, en particulier pour l'arc de cerceau supérieur,SI PETIT soit-il , et pour l'arc inférieur , résultat qui intrigue souvent.

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SolutionPenduleCerceau :

Soit l = 2a : Ce qui veut dire que l'on peut plomber le cerceau en A', rien ne changera. Bien sûr , on peut aussi l'évider. Peut-on tailler un arc fini ? oui, car voici la réponse à la deuxième question: Soit un compas de deux masses égales ,de demi_angle au sommet A égal à MAM'/2 := phi, avec AM = AM' = 2a cos phi ; donc J(A) = 2m.(2a cos phi)² et AG = 2a cos²phi : on retrouve l= 2a . Donc on peut scotcher ce compas sur le cerceau sans rien changer . Et donc une multitude de compas ! D'où la troisième question , puis aussi la quatrième et la cinquième : le petit "porte-manteau" circulaire a même période que "l'ancre" de même rayon.

Huygens était friand et prolifique dans ce genre de calcul-gedanken.

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ex"Poids" du pendule :

Mersenne savait qu'un pendule simple lâché depuis l'horizontale avait une tension de ficelle égale à 3 mg au passage de la verticale (ce qui exigeait des fils sans élasticité!). Il n'en savait pas la raison ; mais Huygens donna la réponse. Si maintenant on lâche un pendule pesant avec une élongation de 90° , quelle sera la réaction au point de suspension A? De manière plus étonnante : décomposer cette réaction en deux vecteurs, l'un porté par la verticale et l'autre par AG : montrer que la composante verticale est constante ! Réfléchir et conclure.

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solutionPoids du pendule :

Mersenne eût été content de connaître la force centrifuge mv²/R , avec ici v² = 2ga et R = a , donc la réaction: mg +2mg.

Plus généralement TOUT corps pendulaire de même J et même OG = a , aura la même période. En particulier, une haltère de masse m1 en A et de masse m2 en A' (AA' = l = a + r²/a): en effet il suffit de prendre m1+m2 = m et m1a = m2.r²/a (2 équations lin à 2 inc m1 et m2, de solutions positives).

Alors la réponse est : la réaction supporte le poids immobile de m1 et la composante de la tension du fil : Réaction = m1.g + 3m2.g est donc la réponse.

Si maintenant, on étudie la moyenne temporelle de R(t) via une jauge de contrainte (de temps de réponse très rapide), on trouvera bien sûr (m1+m2).g

Remarque : ce remplacement d'un système par un autre qui donne les MÊMES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES va être un mode de production d'explications simples, qui s'appelle l'isomorphisme : vulgairement, "on se ramène au cas précédent".

exercice-Pendule conique

Attention piège : Une pièce en T se balance librement selon la barre horizontale BOB' du T, la partie OA jouant le rôle de pendule de masse m de longueur OA = 2a = 2OG

1/. Calculer la période des petites oscillations, c'est à dire la longueur du pendule simple synchrone.

2/. BOB' est mis en rotation constante (w) autour de l'axe vertical Oz. À partir d'une certaine valeur de w, le pendule "décroche de la position horizontale" et se stabilise en prenant une position inclinée, décrivant ainsi un cône de demi-angle au sommet alpha . Trouver alpha(w).

Solution :

1/. La période des petites oscillations est liée à J/mg(a). Comme J(G) = ma²/3 (démonstration en annexe, mais il vaut mieux le retenir par cœur), l = a + (a²/3)/(a) = 2/3 . 2a , cqfd

2/. Si la barre est en équilibre , c'est que le mouvement de G est un mouvement circulaire de rayon a sin(alpha), sous l'action de deux forces : la tension de la barre et le poids mg : d'où tan(alpha)= mw².(a sin(alpha))/mg ; soit cos(alpha) = g/w²a si w² est plus grand que g/a .

Ce raisonnement est FAUX : on avait prévenu : attention piège ! L'action sur le solide est le poids et l'action en O sur la barre QUI n'EST PAS EN DIRECTION de OG.

L'ensemble des actions axifuges dans le référentiel tournant est un ensemble de forces parallèles croissant linéairement le long de la barre : elle se réduisent donc à une force unique passant au 2/3 de la barre et valant mw²(a).sin(alpha)). le PFDR autour de BOB' donne donc J.0 = 0 = -mga sin(alpha) + lcos(alpha).mw²(a)sin(alpha) :

soit cos(alpha) = g/w²l

[le raisonnement n'est pas rigoureux, car il convient d'appliquer le théorème du moment cinétique dans un référentiel tournant, et cela est délicat. Néanmoins ici, la barre du point de vue de son inertie est assimilable à une haltère (déjà vu plus haut): on est ramené au cas du pendule simple conique avec le résultat usuel.

Remarques : la force d'inertie axifuge m1.w²(l).sin(alpha) est bien m.w²(a).sin(alpha), car m1l = ma. Remarque2 : la réaction R en O est bien non dirigée vers OG puisqu'il s'y rajoute le poids m2g. Remarque3 : s'occuper du mouvement de la barre autour de cette position d'équilibre relatif fera l'objet d'un examen plus attentif plus tard.]

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Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences

Cf discussion, pour la pensée de Torricelli sur la variation delta P = somme des percussions.