Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le problème de Schwarzschild
Personnellement, aucun intérêt.
mais camouflet : oui , mais vous ne savez pas traiter le 43"/siècle de l'avance du périhélie! Certes! Voici la solution :
Notations
modifiersoit E un évènement (x, y, z, t) de R^4 , muni d'une métrique riemannienne , de sorte que à une géodésique corresponde un mouvement d'une particule-test dans le champ central d'une masse M . La correction à apporter à la métrique de la relativité restreinte [ ds² = c² dt² - dx²- dy²-dz²] est : ds² = [c²-2 GM/r]dt² - dr²(correction) +r² dtheta²], avec correction := 1/(1-2GM/c²r).
(on a supposé pour simplifier la trajectoire plane , et pris les coordonnées polaires).
Dans ces conditions, le problème s'écrit dans les variables de Clairaut-Binet :
[du/d(theta)]² + u² - (2GM/K) u = E -correction , avec correction : = 2GM/c² .u^3
Résolution
modifierA part la correction, on reconnaît le problème usuel , et la résolution conduit donc à l'ellipse de Kepler usuelle.
La correction introduit donc un polynôme du 3ème degré ; donc la solution s'exprime à l'aide des fonctions elliptiques de Jacobi.
ce qui conduit à la solution de Schwarzschild.
Cas de Mercure
modifierDans ce cas , périhélie et aphélie sont de distances voisines , soit u = A et u = P .
Donc l'équation s'écrit :
[du/d(theta)]² = 2GM/c²(u-A)(P-u)(C-u) avec 1/(2GM/c²) = A+P + C , donc C très grand (le rayon de Schwarzschild du Soleil 2GM/c² = Ro étant très petit).
On est donc ramené au problème usuel d'une "équation dite de Newton" (cf leçon sur diagramme des espaces).
De l'aphélie au périhélie, la trajectoire tourne autour de O d'un angle qui n'est pas Pi , mais très légèrement différent :
![{\displaystyle \Delta \theta =\int _{A}^{P}du\cdot {1 \over {\sqrt {(}}u-A)(P-u)[1-(A+P+u)R_{0}]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44942476b434eb89d36170ae32f4c9ca10c54630)
Dans le crochet, remplaçons approximativement u par (A+P)/2 ; et il vient la correction :
theta : = Pi /sqrt[1- 3/2(A+P)Ro] soit une AVANCE du périhélie qui est la formule usuelle donnée en pâture aux braves gens :
6Pi . (v²/c²)/(1-e²)
elle donne bien 43"/siècle dans le cas de Mercure (a = 0.38709 UA; e= 0.20562). Et on peut même faire le calcul pour la Terre (prendre v = 30km/s et e = 0.01674) et se trouver fort savant.
Conclusion
modifierEinstein a bricolé qq ch dans ce goût. Bien sûr, ce sont ces mêmes équations qui interviennent dans la théorie des trous noirs. Mais on n'apprend pas la relativité générale comme cela!