Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le problème de Schwarzschild

Personnellement, aucun intérêt.

mais camouflet : oui , mais vous ne savez pas traiter le 43"/siècle de l'avance du périhélie! Certes! Voici la solution :

Notations

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soit E un évènement (x, y, z, t) de R^4 , muni d'une métrique riemannienne , de sorte que à une géodésique corresponde un mouvement d'une particule-test dans le champ central d'une masse M . La correction à apporter à la métrique de la relativité restreinte [ ds² = c² dt² - dx²- dy²-dz²] est : ds² = [c²-2 GM/r]dt² - dr²(correction) +r² dtheta²], avec correction := 1/(1-2GM/c²r).

(on a supposé pour simplifier la trajectoire plane , et pris les coordonnées polaires).

Dans ces conditions, le problème s'écrit dans les variables de Clairaut-Binet :

[du/d(theta)]² + u² - (2GM/K) u = E -correction , avec correction : = 2GM/c² .u^3

Résolution

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A part la correction, on reconnaît le problème usuel , et la résolution conduit donc à l'ellipse de Kepler usuelle.

La correction introduit donc un polynôme du 3ème degré ; donc la solution s'exprime à l'aide des fonctions elliptiques de Jacobi.

ce qui conduit à la solution de Schwarzschild.

Cas de Mercure

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Dans ce cas , périhélie et aphélie sont de distances voisines , soit u = A et u = P .

Donc l'équation s'écrit :

[du/d(theta)]² = 2GM/c²(u-A)(P-u)(C-u) avec 1/(2GM/c²) = A+P + C , donc C très grand (le rayon de Schwarzschild du Soleil 2GM/c² = Ro étant très petit).

On est donc ramené au problème usuel d'une "équation dite de Newton" (cf leçon sur diagramme des espaces).

De l'aphélie au périhélie, la trajectoire tourne autour de O d'un angle qui n'est pas Pi , mais très légèrement différent :

 

Dans le crochet, remplaçons approximativement u par (A+P)/2 ; et il vient la correction :

theta : = Pi /sqrt[1- 3/2(A+P)Ro] soit une AVANCE du périhélie qui est la formule usuelle donnée en pâture aux braves gens :

6Pi . (v²/c²)/(1-e²)

elle donne bien 43"/siècle dans le cas de Mercure (a = 0.38709 UA; e= 0.20562). Et on peut même faire le calcul pour la Terre (prendre v = 30km/s et e = 0.01674) et se trouver fort savant.

Conclusion

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Einstein a bricolé qq ch dans ce goût. Bien sûr, ce sont ces mêmes équations qui interviennent dans la théorie des trous noirs. Mais on n'apprend pas la relativité générale comme cela!