Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices

Nous noterons ici quelques exercices (classiques ?) , de niveau très variable. Ils se ramènent presque tous à des équations différentielles que l'on doit (?) connaître.

PFD

Mouvement de Hooke

Exercices de cinématique

Lièvre et Tortue

Cet exercice fait très vite comprendre la différence entre diagramme horaire et diagramme de phase :

Le lièvre L ne fait d'abord que 100 m en une heure. Il s'aperçoit alors de son retard sur dame Tortue T qui trotte à 200 m/h. Deux cas : il double sa vitesse toutes les heures ; ou il double sa vitesse tous les hectomètres ultérieurs. Où et quand croise-t-il dame Tortue ?

Réponse :

1er cas : en gros sa vitesse est exponentielle du temps ; donc x(t) aussi. 2e cas : sa vitesse est exp kx ! il arrive à l'infini en un temps fini!

plus précisément :

1/. Tracer x(t) : 1 h -> 100 m ; 2 h -> 100 + 200 = 300 m et T à 400 m ; 3 h -> 100 + 200 + 400 = 700 m et T à 600 m : donc croisement entre 2 h et 3 h :

x(t) = 200 t = 300 + 400 (t - 2) solution : t = 2,5 h et x = 500 m.

2/. Tracer t(x) : 100 m -> 1 h ; 200 m -> 1 + 1/2 h ; 300 m ->1 + 1/2 + 1/4 h ; l'infini en 2 h ! donc t < 2 h : à 300 m, T a 50 m d'avance, qu'elle perd en 5 min : solution : t = 60 + 30 + 15 + 5 = 1 h 50 min et x = 366,7 m (référence : entendu sur F-musique).

L'âne et la rivière

la rivière (R) est droite : y = kx (disons k = 1/2). L'âne Aliboron à t = 0 en x = a (disons 2 km) doit porter son bât au douar D (x = b ; disons 10 km), mais doit se désaltérer une fois à la rivière (t compté négligeable). Date d'arrivée ? (vitesse V : disons 4 km/h)

Réponse :

Prendre le symétrique de D par rapport à (R), soit D' : date d'arrivée = AD'/V (A.N. : sqrt[ (6-2)² + (8-0)²)/4 ] = sqrt(5) = 2.23 h ) (référence : cours d'optique X , ou tout cours sur Fermat et chemin minimal).

Vent et avion

3 villes A, B, C forment un triangle équilatéral de côté a. Un vent de vitesse V souffle. Un avion volant ordinairement à la vitesse u met le temps T pour joindre AB , mais 3/2.T pour joindre BC et 3/2.T pour regagner A : déterminer V en fonction de a/T = v

Plus dur ? AB en T1 , BC en T2 et CA en T3 : déterminer V

Réponse :

Soit A(0;0) B(a;0) : la symétrie du problème indique que V = + V.i . Composer alors les vitesses et trouver V(A->B) par Al-Kashi : u + V = v . De même V(B->C) = V(C->B) = sqrt[u²+ V² - uV sqrt(3)] = 2/3.v , soit uV = v.5/9.(2-sqrt(3)) : somme et produit donnent u et V (u>V).

Plus dur ? Oui, c'est vrai . D'un point O quelconque tracer a/T1. AB/a = OH1 ; de même OH2 et OH3 . Tracer I centre du cercle circonscrit au triangle H1H2H3 : la vitesse du vent est OI. On pourra recalculer la vitesse précédente pour contrôle. (référence : Metcherskii et ESG)

Un Problème de Laplace

L'énoncé est très simple ; la solution est dure ; la réponse très difficile.

Dans le plan , tois vecteurs tournants V1 = A1.expi(w1t) , V2 et V3 . Et A1, A2 et A3 peuvent former un triangle, et les 3 pulsations sont incommensurables (w1.k1 +w2.k2 +w3.k3 = 0 , K : = (k1,k2,k3) sur Z^3 donne K = 0).

Soit S le vecteur somme d'argument theta(t) : trouver lim [theta(t)/t ] pour t grand.

Réponse :

classique.Bohl , Weyl , Arnold, ...

Solution : moyenne des wi pondérées par les angles du triangle (évidemment divisés par Pi). Pour s'en convaincre, prendre suffisamment de cas particuliers , et les traiter avec un logiciel (Scilab par exemple).

la réponse est vraiment plus difficile à cause du mot incommensurable !

Hooke et ses elliptoïdes

je ne sais si cela est vrai ; il faut que je vérifie encore ; voici :

Hooke est réputé avoir trouvé la solution de l'ellipse de Hooke pour le mouvement de rappel selon la force-de-Hooke. On sait par ailleurs la célèbre querelle qui l'opposa à Newton pour essayer de savoir si le mouvement des planètes correspondait à une attraction en 1/d^2. Il est sûr que cette loi en 1/d^2 avait déjà été proposée. Ce qui est en cause est : Hooke l'avait-il "démontré" ? Il est probable qu'il a utilisé la même méthode graphique que celle qu'il avait utilisée antérieurement. Il a parlé d'elliptoïdes ! On sait que Newton a rageusement détruit pas mal de papiers de Hooke, dès qu'il le remplaça à la Royal Society. On "doit" à Hooke de le réhabiliter, face au grand-Newton. C'est l'objet de ce petit exercice ( à développer).

Soit un phare O et un mouvement autour de ce phare O, tel que la vitesse V du point M soit constante Vo et perpendiculaire à la direction du vecteur ${\vec {OM}}$ .

On montre aisément que le mouvement est circulaire uniforme autour de O.

Maintenant voici "l'astuce" :

imaginer qu'un courant descendant ( selon -Oy) croisse doucement de 0 pour se stabiliser à la valeur V1 ( inférieure à Vo, disons égale à e.Vo): montrer que la trajectoire se décale progressivement vers la droite , et qu'elle reste ELLIPTIQUE. Cela est très joli à voir en animation sous Maple. Qui plus est, montrer que ce mouvement correspond à une accélération en 1/d² où d = OM.

Peut-on trouver qualitativement les symétries de ce mouvement :

${\vec {V}}(M)={\vec {V_{0}}}\wedge {\vec {u}}(M)+{\vec {V_{1}}}$ ,

avec vec{Vo} = k . Vo perpendiculaire au plan.

Exercices de dynamique , très classiques

Résonance cyclotron

Dans le plan xOy , une charge q de masse m est soumise au champ magnétique Bo. k et au champ électrique Eo(i . cos (wt) + j . son(wt) ) et à une résistance fluide -m/tau .V . On appellera Wo = -q/m Bo la pulsation cyclotron . Trouver le régime stationnaire .Discuter la puissance absorbée.

Réponse :

classique

Larmor

Dans le plan xOy une charge q de masse m est soumise au champ magnétique Bo k. Ayant la vitesse Vo.i (à t=0, x=0;y=0), trouver son mouvement.

On examine maintenant ce mouvement dans le référentiel R' qui tourne aotour de l'axe (O, k) à la vitesse angulaire de Larmor = -1/2 . q/m. Bo. k . Dans ce référentiel montrer que le mouvement est perçu comme rectiligne en appliquant les formules du PFD dans R'. Retrouver alors la question 1 , géométriquement.

Réponse :

classique.

monopôle magnétique et Stormer

Trouver le mouvement de (q, m) régit par m a = q V/\B , avec B = OM/ OM^3 .Bo.ro². Il s'agit du problème des aurores polaires; historiquement Stormer a trouvé l'intégrale première qui " débloque la solution" (penser au vecteur excentricité pour Kepler qui avait eu le même effet. La réponse "moderne" est liée à une "symétrie cachée"; cf par exemple CORDANI).

Réponse :

classique

Conclusion

Évidemment le problème est : où s'arrêter ? dans ce répertoire quasiment sans fin.

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