Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Kepler

Il s'agit du mouvement d'un point dans un champ central F(OM) = - GMm. OM/OM³, dit Newtonien. Kepler en a énoncé les 3 lois principales :

La planète P a pour trajectoire une ellipse dont le soleil O est un foyer.
Le rayon vecteur OP balaye des surfaces égales dans des temps égaux.
Le carré de la période T du mouvement est comme le cube du grand axe, 2a, de l'ellipse.

Mouvement de Hooke

Mouvement dans un champ central

La démonstration de ces faits revient à Newton (1684).

L'article mouvement keplerien de la Wiki a été beaucoup modifié. Nous en rapatrions l'essentiel.

Le mouvement est central

les conséquences immédiates sont :

Le moment cinétique L est une constante Lo.(On pose L = m.C)
Donc la trajectoire est plane, perpendiculaire en O à Lo
Dans ce plan , le mouvement tourne autour de O (toujours dans le même sens, choisi comme positif).
La loi des aires de Kepler est satisfaite : dS/dt = C/2 = 1/2 r².d $\theta$ /dt.
Comme C est non nul, thêta est une échelle de temps (non linéaire) mais souvent utilisée(cf Note).
L'hodographe et la trajectoire sont en correspondance directe : l'un donne l'autre. L'espace des phases sera donc bien R^2 x R^2 , mais de manière très simplifiée.

Note-annexe : historiquement,Ptolémée a utilisé theta' = MF'O = ~ t (+ O(t^3)), car cela suffisait pour les observations de l'époque : cela s'appelle la théorie de l'équant, elle sera vue en exercice.

Note 2 : on a excepté le cas L=0 comme physiquement irréalisable : on doit toujours pouvoir s'y ramener à la limite, et c'est un joli-exercice.

L'hodographe est un cercle ; donc la trajectoire est une ellipse

l'hodographe est un cercle :

Poser p = Co²/GM (on verra que c'est la longueur du semi-latus-rectum (on dit aussi "paramètre" de l'ellipse), et Vo = Co/p (qui est donc une vitesse, par ailleurs pseudo-scalaire). Alors, on trouve :

{\vec {V}}={\vec {V_{0}}}\wedge {\vec {u}}+{\vec {V_{1}}}

multiplier par vecteur(k).wedge et diviser par Vo ; on obtient :

la trajectoire est l'ellipse :

{\vec {e}}\cdot {\vec {r}}=r-p

Démonstration :

prendre comme échelle de temps theta(t) ; le Principe Fondamental de la Dynamique de Translation (PFDT) donne :

{\frac {d{\vec {V}}}{d\theta }}=-V_{0}\cdot {\vec {u}}

.

donc, par intégration sur la variable theta :

{\vec {V}}={\vec {V_{0}}}\wedge {\vec {u}}+{\vec {cste}}

.

soit :

{\vec {V}}={\vec {V_{0}}}\wedge {\vec {u}}+{\vec {V_{1}}}

.

Il y a évidemment beaucoup de manière de retrouver le vecteur constant "cste = V1" , en prenant deux valeurs de u opposées ; par exemple, l'apogée et le périgée donnent: V(A) = Vo + V1 et V(A') = Vo - V1 , d'où Vo et V1.

nota bene :Et Voilà ! C'est fini ! L'hodographe est bien un cercle ( de rayon Vo = Co/p) ! La trajectoire sera donc FERMEE ! On obtient donc cette caractéristique FONDAMENTALE du mouvement dès le début du raisonnement. Cette simple remarque a été faite en 1713, mais est passée relativement inaperçue. Il en est résulté des dizaines de re-découvertes ! Jusqu'en 2000, on peut voir des articles ( cf par exemple Butikov, etc.)signalant cette "trouvaille". On peut s'amuser à exploiter cet hodographe, sans doute comme l'a fait Hooke ( tentative dite des elliptoïdes ; rappelons que Hooke n'avait pas grande culture mathématique, mais il avait compris le principe de l'hodographe, puisque c'est cette méthode de l'hodographe qu'il utilise pour l'ellipse dite de Hooke).

Vecteur excentricité, ${\vec {e_{o}}}$ , constant

{\vec {e}}={\vec {u}}+{\vec {V/V_{0}}}\wedge {\vec {k}}

C'est l'extra-ordinaire intégrale première de Hermann(1713)- retrouvée par Laplace-Runge-Lenz,etc.! Il en sera question plus tard.

La démonstration est immédiate : multiplier l'équation de l'hodographe par vec(r)/Vo.wedge, et la réécrire .

donc la trajectoire est une ellipse :

Car en multipliant scalairement le vecteur-excentricité ${\vec {e}}$ par le rayon-vecteur, on obtient :

$e\cdot rcos\theta =r-p$ , soit :

r={\frac {p}{1-e\cos \theta }}

Ce qui est l'équation polaire d'une ellipse d'excentricité e , et de paramètre p , le vecteur-excentricité pointant vers l'apogée.La valeur de p ( demi-latus rectum := b^2/a := a(1-e^2)) est :

p={\frac {C_{o}^{2}}{(GM)}}

Évidemment, on peut prendre la convention, origine au périgée ; soit $r={\frac {p}{1+e\cos \theta }}$ ,

La conservation de l'énergie

si l'on introduit l'énergie potentielle -GMm/r , elle conduit à : 1/2 V² - (GM)/r = Eo/m = cste , d'où

Eo négative == - GMm/2a.

Exercice : montrer que 2a est le grand-axe de l'ellipse.

Donc dans le plan de la trajectoire, les deux quantités physiques Lo et Eo déterminent la forme de l'ellipse. Bien sûr OMo et Vo aussi.

moyens mnémotechniques par @d

il importe, dans les exercices, de ne pas toujours tout redémontrer, et de savoir retenir les formules encadrées : la méthode d'A.D., dite des d@hus, sert en ce genre de situation :

les seuls paramètres sont cinématiques : GM (constante de Gauss) , Eo/m (énergie massique), et Co (constante des aires). Donc, un de trop !

MAIS il suffit de retenir

p = @d[GM, Co] ( et pas de Eo) ; et de retrouver la constante par le cas particulier du cercle (donc constante = 1)
2a= @d[GM, Eo/m] ( et pas de Co) ; et de retrouver la constante par le cas particulier du cercle (donc constante = -1)

remarque de Hooke-Hamilton

Signalons à titre de curiosité ce raisonnement de Hooke, qui a peut-être des résurgences dans la pensée de Allais (Nobel économie quand même !) : Si l'on considère que le mouvement est plan central, de centre O , pourquoi ne pas dire que la force est centrale et proportionnelle à l'angle balayé par unité de temps, soit ${\dot {\theta }}$ , alors on retrouve tous les résultats antérieurs. Il est fort possible que ce soit par cette méthode que Hooke ait essayé de retrouver "la fameuse loi en 1/r²" , en appliquant sa méthode du second ordre : se donner la position initiale, puis la position voisine. Alors appliquer la loi et trouver la position ultérieure. Itérer. Il trouva par cette méthode des "elliptoides", ce que méprisa Newton. Plus fin, mais quel mérite en 1820? , Hamilton tirera de cette loi le fait que l'hodographe est un cercle, et tout le reste s'ensuit comme on l'a vu.

Ainsi les lois de Newton seraient simplement liées à un ${\dot {\theta }}$ . Cette méthode serait plus "économique". Par contre, elle induirait peut-être un malaise, si on l'interprète à la manière Allais, car alors l'interposition de la Lune entre Soleil et Terre pourrait modifier l'angle sous lequel le Soleil serait vu de la Terre, et ainsi modifier "G" : une telle manière de faire serait alors en contradiction avec l'astronomie des trois corps. Il faudrait aussi retrouver la gravimétrie et les "théorèmes remarquables de newton-gauss". Dans cette problématique, on serait alors entraînés fort loin...Cela est bien curieux et ne vaut que pour l'anecdote : il est sain d'avoir toujours des visions différentes ( mais si elles débouchent...sur quelque chose de tangible).

Mouvement sur la trajectoire

La loi des aires donne S/T = Pi.a.b/T = Co/2 , ce qui donne :

\omega ^{2}\cdot a^{3}=(GM)

: loi de Kepler(1628)

Partant du périhélie, et en introduisant l'angle dit anomalie excentrique E(t)(cf dessin), géométriquement :

$tan\theta /2=tanE/2\cdot {\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}$

$r=a(1-e\cdot \cos E)$ ;

On calcule géométriquement l'aire balayée depuis le passage au péricentre :

par affinité , S(t) = (b/a)[a²E/2 -ac. sinE /2] = ba(E-e.sinE)/2

Il s'ensuit :

\omega t=E-e\cdot \sin E

: Équation du temps de Kepler

La fonction réciproque donne E(t), et de là OM(t).

Fin du Cours

Il est évident que l'on a cherché ici la compaction maximum du cours.Des dizaines d'ouvrages reprennent ce problème. Pour nous, 2 ressortent du lot : Chandrasekhar si on aime la géométrie . Tisserand ou Winter si on veut plus exhaustif.Quelques exercices classiques suivent, pour "se faire la main".

Exercices

Il y a des dizaines d'exercices sur ce sujet, évidemment très important; soit de satellites artificiels, soit d'astronomie. Nous "essaierons" de les classer.

satellites de la Terre

exMersenne-Descartes-Laplace :

Mersenne posa à Descartes la question suivante : si on tire un boulet verticalement, est-il possible que le boulet ne redescende pas?

Soit h = Vo²/2g . Montrer que l'altitude H atteinte est : 1/H = 1/h-1/R . que se passe-t-il pour h > R .

Que penser du cas Vo<c et c²< 2gR (Laplace vers 1800).

Système d'unités : pour la Terre , nous éviterons GM remplacé par gR² avec profit. Du fait de La loi de Galilée, la masse du satellite m n'intervient jamais. On se retrouve donc avec un système d'unités adapté ( un d@hu) tronqué à la cinématique.

R étant l'unité de longueur, on prendra 2π.R = 40 000 km.
On conviendra de prendre g = 9,80 m/s².
La pulsation unitaire sera donc $w={\sqrt {\frac {g}{R}}}$ , dite pulsation de Schuler. Il lui correspond une période $T(R)=2\pi {\sqrt {\frac {R}{g}}}$ , dite période basse altitude (84,4 min).
La vitesse unitaire est $Vo=wR={\sqrt {gR}}$ = 1re vitesse cosmique = 8.2 km/s (vitesse d'un satellite basse altitude).
L'énergie massique du satellite est donc -1/2 .gR
Le pivotement sidéral de la Terre est 24h * (365.25/366.25) = 86164 s =17.0 To.En un jour les astronautes voient donc environ 18 fois le Soleil se lever.

En pratique, les satellites d'observation , type Spot orbitent à ~ 800 km d'altitude. Reprendre le système d'unités de ces satellites.

Légère erreur de trajectoire :

Au lieu de la bonne vitesse Vo de Spot, on donne une vitesse de bonne direction (i.e perpendiculaire au rayon) mais trop forte : V1 = Vo(1+eps). Trouver la trajectoire et la période.

- - - - -

Fenêtre de tir :

m ex que le précédent mais la bonne vitesse Vo est mal orientée dans le plan d'un angle A , petit. Trouver le périgée.

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Erreur radiale :

m ex que le précédent, mais il y a en sus de Vo , une erreur de vitesse radiale Vo.eps.

Lâcher-Chute libre :

On n' a pas attendu Newton (le 24 Nov 1679) pour réfléchir à la déviation vers l'Est (ou l'ouest!) d'une pierre lâchée de l'équateur; c'était la dispute favorite des Coperniciens et anti-Coperniciens. La vitesse due au pivotement est à l'équateur de 40 000 km/86164 s soit 464 m/s . Selon les anti-Coperniciens, une chute de 5m (environ 1s) eût placé le mobile vers l'Ouest de 464 m ! Galilée (mais il avait tort) disait que le corps tomberait toujours à la verticale. Koyré catalogue les différents types de solutions (chute des graves et mouvement de la Terre): l'imagination au pouvoir ! mais c'est Newton qui donna la solution.

Soit h << R , retrouver le résultat de Newton.

Si h est assez grand, la déviation vers l'est sera si grande que la pierre sera satellite.

Si h = altitude géostationnaire = H , la pierre ne tombe plus !

Si h est encore plus grand , la pierre est à son périgée : elle remonte, périodiquement.

Si h > (R+H) .2^(1/3) - R , qu'arrive-t-il ?

Balistique : voir la WP ( ellipse de sûreté )

revoir la leçon sur la chute libre avec violence (avec vitesse initiale dit-on aujourd'hui). Dès que l'on veut une certaine précision (théorique) , il faut tenir compte de ce que la Terre est sphérique et donc prendre comme trajectoire de l'obus une ellipse lancé d'une base B avec une vitesse Vo faisant l'angle A avec la verticale. Soit u = Vo/sqrt(gR).

1/. Relation u et A pour que l'obus tombe à l'antipode.

2/. Déterminer la portée 2R.Beta , via tan B = f(u, tan A).

3/. Pour B donné, combien y a-t-il de trajectoires possibles ? et quelle est la portée maximale.

(Indication : soit H le point d'altitude maximale (pour A=0 !). La trajectoire a pour deuxième foyer un point situé sur le cercle [centre B ; rayon BH]).

Corrigé des exercices

Mersenne-Descartes :

Appliquer le théorème de l’Énergie cinétique : -gR²/r +1/2 V² = constante , ce qui conduit au résultat. Descartes évidemment ne savait rien de tout cela ; mais il se doutait "intuitivement" que si g(z) décroissait alors il y aurait possiblement une "vitesse de libération".

De même , Laplace , très heuristiquement , remarqua que si aucun corps ne pouvait dépasser la vitesse-limite c , alors si c² < 2gR , l'astre serait un trou noir !

Enfin, l'expérience a été tentée ( plus pour tester la relativité galiléenne et/ou la déviation vers l'Est(cf exo plus loin)): bien sûr on n'a jamais retrouvé le boulet! )

Système d'unités Spot :

Ro = 40 000/2Pi +800 = 7166 km. To via Kepler est : 84.4 (7166/6366)^3/2 = 100 min. Tout le reste s'en déduit (attention , c'est la pulsation qui a été choisie unitaire).

Légère erreur de trajectoire :

Si eps = sqrt(2) -1 , la trajectoire est parabolique et le satellite part à l'infini.

Sinon , Mo est le périgée: a-c = Ro. D'autre part, E1/m = 1/2 V1² - gR²/Ro ; donc on obtient le grand axe , puis l'apogée en A1 : OA1 = Ro.(V1²/2Vo²-V1²) (On retrouve le cas V1 = Vo.sqrt(2)).

Si eps est petit : l'énergie massique a peu varié : dE/m = mVo².eps . Puis dE/Eo = - da/Ro = -2/3 . dT/To . Donc OA1 = 4Ro.eps et l'excentricité est e = 2eps ; enfin dT = To.3eps

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Fenêtre de tir :

Cette fois, l’Énergie massique n'a pas changé, donc le grand axe vaut 2Ro . Comme OMo = Ro , c'est l'extrémité du petit axe. donc k/\OMo donne la direction du grand axe. La projection de Mo sur celui-ci donne le centre de l'ellipse : l'excentricité vaut donc e = sin A ; d'où le périgée OP1 = Ro(1-sinA) : on ne peut se tromper que de 100 km :cela donne une fenêtre sin A = 100/7166 rad = 0.8°. Assez large , car les pointeurs donnent la seconde d'arc.

- - - - -

Erreur radiale :

Si eps = 1 , la trajectoire est parabolique !

Cette fois, le moment cinétique Lo est le bon ; donc le paramètre p est le bon . Donc OMo est perpendiculaire au grand axe , dont la direction est connue. Il est facile de calculer le vecteur excentricité qui donne en module eps. On en déduit a = Ro/(1-eps²) (on retrouve eps = 1 comme limite).

Lâcher-Chute libre :

le Cours donne D = déviation vers l' Est de 2/3.wt.h .

Démontrons-le , façon Newton : la trajectoire est une ellipse , mais où r varie sensiblement comme R+h-1/2gt². La conservation du moment cinétique donne :

d $\theta$ /dt = [(R+h)/R+h-z)]² .w = w (1+ 2z/R), soit une déviation w.R. int(2z/R) = 1/3 w.gt².t = 2/3 wt.h

Si h= H , c'est l'exercice classique du géostationnaire :

R+H = R .17^(2/3) = 6.6 R = 42 000 km

Si h < H , il existe des trajectoires elliptiques dont Mo est l'apogée : la plus petite aura pour périgée OP = R , donc un grand axe 2a = 2R+H , d'où l'énergie massique . En posant r = Rx , on trouve x^4 + x^3 = 1/2 (289) , soit x = 4.67 et donc h = 3.67 R.

Si h > H , la pierre remonte ! résultat curieux qui aurait sans doute amusé Mersenne, et elle part à l'Ouest (si l'on ose dire).

enfin si h > H. 2^(1/3)= 8.36 R, alors E > 0 , donc trajectoire hyperbolique (limite : parabolique).

Balistique : V= 8.2km/s := sqrt(gR) a signé le début de la Guerre Froide. mais déjà les canons longue portée obligeaient à prendre une trajectoire elliptique et non parabolique : 111.111 km c'est déjà 1° à l'équateur!

1/. Si l'obus arrive à l'antipode B' , OB = OB' = paramètre p = Lo²/m²gR² = R soit u.sinA = 1 . (évidemment trajectoire avec A< 45° : il faut une apogée!)

2/. La portée s'évalue en calculant la direction du vecteur-excentricité 1 + i.Lo.Vo.exp(iA)/mgR² = [1-u²sin²A] +i[u²sinAcosA]=> tanB = 1/2 u².sin2A / (1-u²sin²A).

Pertinence : on retrouve Torricelli pour u <<1 ; et le §1.

3/. Pour B donné , équation en tan A :

tan²A (1-u²) - tan A (u²/tanB) + 1 = 0 d'où deux angles B1 et B2 tels que tan(B1+B2) = (tanB1+tanB2)/(1-tanB1.tanB2) = S/(1-P) = -1/tanB, donc A1+A2 = Pi/2+ B : il existe une trajectoire tendue et une plongeante. Portée maximale : tan B = u²/2(1-u²) [pertinent avec u=1 ]

Géométriquement, tout ceci est relatif à la courbe de sûreté qui est l'ellipse de foyers T et B et d'apogée BH (rappel 1/H = 1/h -1/R , exercice sur l’énergie potentielle). En effet , toutes les trajectoires Tr(A) ont m énergie , donc m grand axe , soit TH+HB . Le lieu du deuxième foyer est donc le cercle [centre B, rayon BH]: pour une portée donnée (donc angle B donné , il y a deux solutions : à l'intersection de la droite d'apogée avec ce cercle ; soient F1 et F2 : alors la vitesse initiale étant bissectrice de TBF , les deux vitesses sont telles que A1+A2 = Pi/2+ B. La racine double est lorsque sinB = H/R ( = u²/(2-u²)).

L'ellipse de sûreté est donc telle que MT+MB = HO+HB, et dans ce cas, BM est corde focale [les raisonnements sont calqués sur ceux de Torricelli].

Exercices d'astronomie

Étoiles doubles

Montrer que dans le cas d'une étoile double, la troisième loi de Kepler s'écrit assez naturellement : w² . a³ = G (m1+m2)

Que penser des planètes du soleil ?

Réponse :

Le problème à deux corps donne la réponse : (masse-réduite).w² a = G.m1.m2/a². Ainsi , on obtient une formule symétrique en m1 et m2 , ce qui est pertinent.

Dans le cas des planètes du Soleil , la plus grosse, Jupiter, n'apporte qu'une petite correction m2<< M(Soleil) , ce qui justifie la loi de Kepler. Pour les calculs précis, on fait les corrections, étant entendu que le barycentre du système solaire est quasiment en mouvement uniforme (pour plus de corrections, par exemple pour la ceinture de Kuiper ou le nuage de Oort, il faut envisager la "marée galactique").

Conjonction Mars -Terre

La distance T-Soleil = 1UA ,période 1an, excentricité e(T); mars-Soleil = d UA,période k ans, excentricité e(M). Montrer que TM: = OD ne peut varier que dans une couronne >d1 et <d2. Le point D est-il dense dans la couronne? Si k était rationnel := p/q quel serait le mouvement de D.

Réponse :

Consulter exercices de l'IMCCE.

équant de Ptolémée

Soit une planète, disons Mars, de trajectoire elliptique d'excentricité e ( = 0.093). On prend comme échelle de temps l'angle polaire compté à partir du deuxième Foyer F', où "il n'y a rien!". Est-ce mieux ou moins bien que de compter theta(t) comme temps "uniforme" ?

Réponse :

Historiquement, cet exercice a beaucoup d'importance : on ne distingue pas un cercle d'une ellipse dès que e<0.1. Donc Ptolémée croyait que la trajectoire était circulaire. MAIS il avait bien vu que theta(t) n'était pas uniforme ; par contre theta ' (t) l'était à la précision des mesures de l'époque. C'est ce que l'on demande de prouver.

Rapatriement provisoire de la WP:historique de démonstrations

Ici est placé tout le travail de recherche historique qui n'intéresse pas forcément tout le monde : il y eût moult "démonstrations" du cours précédent.

Newton (1684)

1/. la première, celle de Newton en novembre 1684, est géométrique, le temps étant évalué par l'aire balayée (2ème loi de Kepler) : l'analyse en est faite dans l'Exégèse des Principia.

Hermann (1710)

2/. la plus simple (1710 & 1713) est celle de Jakob Hermann (1678-1733), élève de Jacques Bernoulli (1654-1705) : il écrit à Jean Bernoulli (1667-1748) : on remarque que l'hodographe est un cercle (notion de vecteur excentricité) : en calculant le produit scalaire e.r, on trouve l'ellipse et son péricentre. L'analyse est faite dans Invariant de Runge Lenz.

Laplace la reprendra dans son traité de « Mécanique Céleste ».

Que cela est vite dit dans notre langage moderne ! En réalité, la démonstration géométrique est la remarque classique sur le rôle des podaires dans le cas de champs centraux. Danjon remarque (avec Hamilton) que l'anti-podaire de l'inverse d'un cercle est une conique : cela était enseigné encore au baccalauréat des années 60 (Cf. LEBOSSÉ & EMERY, cours de mathématiques élémentaires).

Quant à Hermann, c'est un tour de force :

Il possède trois intégrales premières en coordonnées cartésiennes tirées de ${\ddot {x}}=-gR^{2}\cdot x\cdot r^{-3}$ et idem en y.

$C:=x{\dot {y}}-y{\dot {x}}$
$E_{x}:={\frac {x}{r}}-{\frac {C}{gR^{2}}}\cdot {\dot {y}}$
$E_{y}:={\frac {y}{r}}-{\frac {C}{gR^{2}}}\cdot {\dot {x}}$

Éliminer la vitesse : on trouve $x\cdot E_{x}+y\cdot E_{y}=r-p$ : c'est une ellipse (Cf.discussion conique, Kepler). Mais comment a-t-il trouvé les deux intégrales premières du vecteur excentricité ? par un raisonnement analytico-géométrique horriblement compliqué ! On sait aujourd'hui le faire par la théorie de la représentation linéaire des groupes (Moser et SO(4) :1968)

Transmutation de la force par Newton

3/. la plus surprenante est celle de la Transmutation de la force (Newton, retrouvé par Goursat (1889)): ce théorème est EXTRAORDINAIRE et apprécié des afficionados des Principia.

Keill (1708)

4/. la classique : Newton-Keill (en 1708) - Bernoulli (1719)

"Classique", elle est bien "chencitournée".

Le problème est plan, si la force est centrale. Le plan de phase est donc ( $x,y,{\dot {x}},{\dot {y}}$ ). Les deux équations du PFD (principe fondamental de la dynamique) sont :

${\ddot {x}}=-\Omega ^{2}\cdot x$

et la même en y.[Évidemment $\Omega$ dépend de r!]. Cette notation est évidemment très réminiscente de celle de Hooke. Mais elle n'a rien à voir, sinon que la symétrie est centrale.

Choisir trois fonctions invariantes par rotation :

$I:=1\cdot (x^{2}+y^{2})=r^{2}$ , strictement positif,
$J:=1\cdot (x{\dot {x}}+y{\dot {y}})$ , de sorte que ${\dot {I}}=2J(=2r{\dot {r}})$ ,
$\ K:={v^{2}}/{2}$ , énergie cinétique.

Remarquer cette particularité : r² est choisie comme variable, et non r. Et comme J est non-nulle, I va jouer le rôle d'une échelle de temps au moins sur une demi-période, du périgée à l'apogée.

Démontrer que le problème se réduit au système différentiel (S) :

${\dot {I}}=2J$
$2{\dot {J}}=K-I\Omega ^{2}(I)/2$ (th du viriel !)
${\dot {K}}=-J\Omega ^{2}(I)$ (loi de Newton!)

- - - Keill utilise alors l'échelle de temps I ; le système se réduit à :

$4{\frac {d(J^{2})}{dI}}=2K-I\Omega ^{2}$
${\frac {dK}{dI}}=-\Omega ^{2}/2$

En éliminant Omega² (et quelle que soit sa valeur ! donc c'est vrai pour toute force centrale!)

$K={\frac {J^{2}}{2I}}+{\frac {C_{o}^{2}}{2I}}$ .

C'est un vrai tour de force : au début du XVIII^ème , on vient de réécrire :

$2KI=v^{2}\cdot r^{2}=[{\vec {r}}\cdot {\vec {v}}]^{2}+[{\vec {r}}\wedge {\vec {v}}]^{2}=[{\vec {r}}\cdot {\vec {v}}]^{2}+C_{o}^{2}$

Emmy Noether connaissait-elle cette démonstration due à l'invariance par rotation ?

- - -

Puis, l'invariance temporelle donne la conservation de l'énergie :

$1.\cdot H=K+V(I)$ , où V(I) est l'énergie potentielle relative à la force centrale (= $-{\frac {1}{2}}\int \Omega ^{2}dI)$

- - -

Ces deux ensembles de surfaces feuillettent l'espace (I,J,K) et leur intersection donne l'orbite du mouvement dans cet espace.

Éliminer K conduit à travailler dans le demi-plan ( $I,2J={\dot {I}}$ ), c'est à dire dans un plan de phase presque usuel (on joue avec r² plutôt qu'avec r) :

$H={\frac {J^{2}}{2I}}+{\frac {C_{o}^{2}}{2I}}+V(I)$ ,

ce qui est l'équation de Leibniz(1689), mais en notation I = r². (Remarquer que tout résulte de cette circonstance (non évidente du temps où les vecteurs n'existaient pas) :

$x{\dot {x}}+y{\dot {y}}=r{\dot {r}}$ )

et pour finir, comme d'habitude, dt = dI/2J donne le mouvement sur cette orbite de phase et la primitive de 2J(I) donne l'action S(I) du problème.

Évidemment, actuellement, nous repasserions immédiatement en coordonnées (r et r').

Il n'empêche que voilà décrite la solution incroyable de Keill qui témoigne d'une virtuosité tombée dans l'oubli de l'Histoire.

Note d'histoire:

cette équation ayant été écrite par Lagrange sous cette forme, le H ne saurait signifier « valeur de l'Hamiltonien » ! Peut-être faut-il y voir un hommage à Huygens (?), premier à utiliser la généralisation du théorème de l'énergie cinétique de Torricelli ? peut-être est-ce une simple notation fortuite...

La suite est très classique et correspond à différents paramétrages dans le cas de Kepler :

L'équation de Leibniz se réécrit dans ce cas :

$H\cdot 8r^{2}-4C_{o}^{2}+8(GM)\cdot r=4J^{2}$

qui est une conique en J et r, ellipse si H est négatif de grand axe $2a=-{\frac {(GM)}{H}}$ :

Il est usuel alors de paramétrer via l' »anomalie excentrique » :

$r=a\cdot (1-e\cos {\phi })$ ,

et « miraculeusement » :

$\omega \cdot dt={\frac {r}{a}}\cdot d\phi$ ,

qui s'intègre en donnant la fameuse équation de Kepler. En contrepartie l'équation en theta est légèrement plus compliquée à intégrer (primitive de ${\frac {1}{r}}$ ) d'où :

$tan{\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot tan{\frac {\phi }{2}}$ .

Note de détail: certains préfèrent la notation i = I/2 , et/ou j = J/2.

Clairaut (1741)

5/. la méthode de Clairaut (1741), reprise par Binet consiste à écrire l'équation de Leibniz à l'aide de u := 1/r :

${\dot {r}}^{2}=2H+2gR^{2}\cdot u-C^{2}\cdot u^{2}$

et cette fois le paramétrage adéquat est :

$u:=1+e\cdot \cos \alpha$ et ${\dot {r}}:=e\cdot \sin \alpha$

ce qui conduit au « miraculeux » $d\theta =d\alpha$ ! la trajectoire est donc une ellipse. Mais la deuxième intégration conduit à $dt=kd\alpha \cdot 1/u^{2}$ plus difficile à intégrer (mais tout à fait faisable !)

Lagrange (1778)

6/. la méthode de Lagrange est originale (1778) et n'utilise que la linéarité de F = m.a !

Partant de l'équation radiale de Leibniz(1689) :

${\ddot {r}}=C^{2}u^{3}-e^{2}u^{2}$

il pose comme nouvelle variable z = C²-r et trouve :

${\ddot {z}}=-(GM)\cdot z\cdot u^{3}$ ,

identique aux deux équations de départ en x & y !! donc il obtient : z (:= C²-r) & x & y linéairement liés, ce qui est la définition d'une ellipse (Cf. conique, discussion). CQFD

Laplace (1798)

7/. Laplace, sans citer Lagrange, calcule, en force brutale, sans aucune intégrale première, l'équation en I = x² + y² du troisième ordre issue du système de Keill : d'où il tire

${\frac {d^{3}I}{dt^{3}}}=-{\frac {\dot {I}}{I^{3/2}}}$

(comme quoi , le jerk ne date pas d'hier!)

Laplace en tire cette fois quatre équations linéaires identiques : d/dt(r^3.Z") = - Z', avec Z = r, x, y, constante. D'où r = a x + by + c.constante : c'est une conique !

Il reste à trouver une interprétation physique à ce calcul!

Hamilton (1846) et autres

8/. Soit une ellipse ; le foyer F et sa polaire, la directrice (D). Soit P le point courant de l'ellipse et PH sa projection sur la polaire. Le théorème de Newton-Hamilton donne immédiatement la force centrale F ~ r/PH^3 soit ~ 1/r².e³.

9/. Hamilton démontre aussi que pour toute mouvement sur une ellipse de paramètre Po, on obtient |a/\v|.Po = C^3/r^3. Donc si le mouvement est central de foyer F, |a/\v| = a.C/r d'où a ~ 1/r².

10/. Hamilton est aussi le promoteur du renouveau de la méthode de l'hodographe circulaire que Feynman reprendra à son compte dans ses « lectures on Physics »

11/ Hamilton va inspirer le Théorème de Siacci et puis Minkovski qui donnera beaucoup de propriétés des ovales : ceci donne encore une autre démonstration.

Goursat et régularisation dite de Levi-Civita

12/. Goursat (1889), Bohlin(1911), AKN {Arnold & Kozlov, Neishtadt} reprennent la méthode z-> sqrt(z) = U (complexe) et le changement d'échelle de temps (dit de Levi-Civita ou de Sundman) dt/dT = 4 |z| : quelques lignes de calcul donnent via le théorème de l'énergie cinétique :

|dU/dT|² = 8 GM + 8 E |U|² ; soit par dérivation ${d^{2}U \over dT^{2}}+(-8E)\cdot U=0$ , avec E négatif.

Donc U décrit une ellipse de Hooke et z =sqrt(U) l'ellipse de Kepler.

On aura reconnu en T(t), l'anomalie excentrique. Ce n'est donc qu'une des méthodes précédentes : mais cette méthode a des prolongements plus importants (Cf. théorème de Bertrand). Voir aussi plus bas.

régularisation

cette transformation du problème de Kepler en problème de Hooke est assez stupéfiante. Saari(p141) s'y attarde un peu plus qu'Arnold (Barrow,H,H,Newton) ; peut-être est-ce justifié ; voici :

Le problème de régularisation se pose s'il y a collision , c'est à dire , C très voisin de zéro. Saari dit : la collision entraîne un changement brutal de 2Pi . Afin de garder la particule sur la droite sans singularité , il "suffit de penser" à garder l'arc -moitié ; soit de changer de jauge (de fonction inconnue): $\ U={\sqrt {z}}$ et de variable (transmutation d'échelle de temps) dT = dt/r(t)(ATTENTION au facteur 4!)

La conservation de l'énergie s'écrit 2|U'|²-1 = Eo.r

et l'équation du mouvement : ${\ddot {z}}=-z/r^{3}$ devient :

$r{\frac {d^{2}z}{dT^{2}}}-{\frac {dr}{dT}}\cdot {\frac {dz}{dT}}+z=0$ ,

équation LINÉAIRE sans le r^3 ! Elle conduit à :

U" -U/r [2|U'|²-1] =0

soit ${\frac {d^{2}U}{dT^{2}}}+(-Eo/2)\cdot U=0$ (équation de Hooke).

Le gros avantage de cette solution est qu'elle est stable-numérique : les solutions restent sur la même iso-énergie.

Kustaanheimo(1924-1997) et Stiefel(1909-1978)

en 1964, ils utilisèrent les quaternions pour transformer le problème de Kepler dans R^3 en celui de Hooke dans R^3, via R^4! (congrès d'Oberwolfach): ils leur a suffi de prendre la quatrième coordonnées x4 = cste : alors le quaternion U se déplaçait sur la sphère; ceci mit en exergue la symétrie SO(4) et mieux SO(4,2) qui correspondait à la version spinorielle du problème de Kepler (liée à la solution en coordonnées paraboliques) et mettait en avant le vecteur excentricité. Immédiatement, le traitement des perturbations fût amélioré (Stiefel et Scheifel,1971), mais aussi la quantification (methode dite de Pauli (SO(4)), et surtout la quantification lagrangienne SO(4,2),avec ses orbitales "paraboliques" de Kleinert (1967-1998)(cf Kleinert 2006).

Saari donne des raisons topologiques à l'obstruction du passage de R^2 à R^3 et la nécessité de passer à R^4 (les quaternions): la relation U^2 = z , ne pouvait se régulariser sur la sphère à cause du célèbre théorème du hérisson de Brouwer-Poincaré. Mais si on ne peut "peigner" S2 , on peut peigner S3 (et même S7:octonions), ce qui avec les trois vecteurs tangents donne la fameuse matrice 4-4 de la transformation K-S : rappelons que le maître de Stiefel était Hopf lui-même qui dressa la carte de S3 vers S2 : il n'y a pas de hasard, posséder une bonne formation, cela sert! (cf Oliver(2004)).

Voilà donc 12 démonstrations assez mal connues. En existe-t’il d'autres, de cette époque ?

Bien sûr, ont été exclues ici toutes les méthodes de mécanique lagrangienne et hamiltonienne, en particulier celle de Max Born (cf plus bas).

Équation du temps, de Kepler : résolution

Dans le mouvement keplerien, l'équation du temps, de Kepler relie l'anomalie moyenne M = nt à l'anomalie excentrique E par l'équation

M=E-e\cdot \sin E

où e est l'excentricité de la planète.

Résoudre cette équation, c'est trouver E(e,M) :

comme série de Fourier puisque c'est une fonction périodique impaire de M
comme série de puissance de e, si e < eo := 0.6627..., rayon de convergence de la série.
comme une valeur numérique avec un nombre de chiffres (d), pour un temps de calcul tc(d) optimisé.

Série de Fourier

C'est Lagrange qui trouve l'expression, bien que le nom J_n(x) soit associé au nom de Bessel.

E-M = fonction impaire périodique de M :

E-M=e\cdot sinE=2\cdot \Sigma _{n=1}{\frac {J_{n}(ne)}{n}}\sin(nM)

Démonstration :

On rappelle la définition de Jn(z) :

J_{n}(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(nx-zsinx)dx

et le développement classique de 1/[1-e.cosE] -1 , fonction paire périodique de moyenne nulle vaut:

$\Sigma a_{n}\cdot cos(nM)$ avec $\ a_{n}=2J_{n}(ne)$

car $\pi a_{n}=\int _{0}^{2\pi }cos(nM)/(1-ecosE)\cdot dM=\int _{0}^{2\pi }cos(n[x-esinx])dx$

On reconnaît (a/r)-1 = 2 $\Sigma _{n=1}J_{n}(ne)\cdot \cos(nM)$

Série entière de l'excentricité

C'est encore Lagrange qui trouve la solution en inventant pour l'occasion son théorème d'inversion des fonctions holomorphes ; et Laplace donnera le rayon de convergence : mais Cauchy, pas content du tout, fonde la théorie des séries analytiques pour résoudre ce problème épineux, qui verra son aboutissement avec les travaux de Puiseux.

E-M=\Sigma _{n=1}{e^{n} \over n!}\cdot a_{n}(M)

avec $\ a_{n}(M)=D^{n-1}(\sin ^{n}M)$ et D := opérateur dérivée.

C'est l'application du théorème d'inversion de Lagrange.

Le rayon de convergence de la série est : eo = 0.6627434193

note historique

indiqué par Laplace (1823) et démontré par Cauchy et Puiseux : eo = max (x/chx) ; soit eo = 1/sh(xo) avec 1/xo = th(xo);démonstration in Wintner, sur l'analyticité de la série.

Cas des comètes : $e>\ e_{o}$

Le premier à se confronter au problème est Horrocks, puis surtout Halley (1705), pour les calculs sur sa comète d'excentricité e = 0,9673.

Il faut modifier légèrement la solution de Barker (e = 1). Et Bessel(1805) résout ce cas, mais pour e > 0.997

Gauss (1809) s'illustra en donnant une belle solution pour 0,2 < e < 0,95

Autant dire que le voisinage de (0,95 ; 0,98) est fertile en problèmes, en cas d'itération !

Calcul numérique

Les calculs via les intégrateur symplectiques exigent de rester toujours en butée du nombre de digits, dans le moindre coût de calcul.
Depuis 300 ans, on cherche la « meilleure » méthode. Elle reste à trouver !

Bien sûr, cela dépend beaucoup du doublet (M,e), M compris entre 0 et Pi et de e, surtout quand e est voisin de 1.

Nijenhuis (1991) adopte la méthode de Mikkola (1987) qui est la méthode de Newton d'ordre 4, en choisissant « adéquatement » le germe Eo en fonction du doublet (M,e).

Il est clair que dans les calculs numériques, le volume de calculs est essentiel, autant que le nombre de décimales, vu l'instabilité du système solaire évaluée à un coefficient de Liapunov de 10^(t/5Myr). On se heurte à une muraille exponentielle : difficile d'aller plus loin que 25 Myr, même avec un traitement 128 bits.

Ce sont ces calculs (astronomiques... mais informatisés) qui tournent sur les machines de l'IMCCE-Paris. Le calcul de l'ensoleillement terrestre à la latitude 65°Nord, I(65,t) est calculé et on essaie d'en déduire la corrélation avec le climat passé : l'échelle géologique jusqu'au Néogène (25M ans) en est déduite(échelle géologique Gradstein 2004). Prochaine étape prévue : les 65 M ans.

Histoire des sciences

Avant Kepler, l'équation est déjà étudiée ! bien sûr, pas pour le même problème, mais pour la même équation :

c'est le problème de la réduction des coordonnées locales aux cordonnées géocentriques : il faut réduire la correction de parallaxe. Habash al Hasib s'y est déjà attaqué.

Avant 1700, il y a déjà beaucoup de tentatives : Kepler naturellement, Curtz (1626), Niele, Bouillau (1645, 1657), Seth Ward (1653), Paganus (1657), Horrebow (1717), Cassini (1669), Newton (1665?), Wren (1658), Wallis (1659),... De toutes, celle de Jeremiah Horrocks (1638) est de plus grande beauté. Cf le Colwell, déjà cité.

compléments

En 1770, Lagrange trouve les deux séries, mais le changement des termes dans les séries le laisse perplexe. 1821 : Cauchy enfin ! Sitôt après, 1824, Bessel (1784-1846)fera une étude extensive de "ses" fonctions , déjà apparues en 1703 dans une lettre de jean Bernouilli à Leibniz. Daniel Bernouilli fait la théorie du mode propre de la corde suspendue et introduit Jo(x); Euler généralisant a besoin des In(x) , les bessel-modifiées.

Les calculs de développements approchés donnent :
E-M = e.sin M[1-e^2/8 +1/192 e^4]+(e²/2). sin(2M)[1-e^2/3 +e^4/24] +e^3.sin (3M)[3/8 -27 e²/128] +e^4/3 .sin(4M)[1-4e²/5] + 125 e^5/384 . sin (5M) + 27 e^6/80 .sin (6M) +O(e^7) (p202 Battin)

OM/a = 1 - e cos wt +e²/2(1- cos(2wt)) + 3/8e³[cos(wt)-cos(3wt)] + 1/3e⁴[cos(2wt)-cos(4wt)]+ O(e⁵)

angle POM = θ(t) = wt +2e sin(wt) +5/2 e² sin(2wt) + e³[13/12sin(3wt) -1/4 sin (wt)] +e⁴ [103/96 sin (4wt) -11/24 sin(2wt)] + O(e⁵).

La solution d'Horrocks(1638) fût :Translater Delphine du déférent de (-2c,0) en D' et prendre E = angle (CP,CD')où C est le centre du déférent

On montre que E(Horrocks) = M + e/1sin M +e²/2 sin 2M +e³/3 sin3M +... et E(H) -E = 1/6 .e³sin³M ; pas si mal!

La méthode la plus simple est évidemment "regula falsi" (interpolation linéaire inverse ou méthode dite de l'artilleur):

la fonction étant croissante , on "tire" trop bas avec x0 (F(x) est négatif), trop haut avec x1 (F(x) est positif) : alors la racine est entre les deux et on prend la corde.

On peut montrer que E-M satisfait l'équation cartésienne de Newton : en effet c'est e sin E et donc proportionnelle à y(E)

(Gudermann(1798-1852)): le cas des orbites hyperboliques se traite par Corinne et donc le Gudermannien :

x = a ch u et y = b sh u ; r = a(1-e ch u)

On pose 1/cos g = ch u et tg g = sh u

soit g = gudermannien (u) = gd(u) = 2 arctg(exp u) -Pi/2.

Sundman (1873-1949)introduisit en 1912 le temps régularisant :

Voir aussi

mouvement keplerien
intégrateur symplectique
Jeremiah Horrocks, cf discussion.
Colwell (1993) : solving Kepler's equation over three centuries, ed Willmann-Bell, (ISBN 0-943396-40-9)
Brinkley (1803) : trans roy irish ac, 7,321-356.

Après Lagrange, jusqu'à Born-Sommerfeld

Les transformations hamiltoniennes du problème de Kepler et SO(4)

En attente , les perturbations , pour faire de mon mieux

les perturbations du mvt de Kepler sont parmi les plus "dures" car il y a la dégénérescence banale de SO(3), mais aussi la dégénéréscence de SO(4) pour les états liés : du coup il faut comprendre la structure de la sphère S3 dont on sait qu'elle se retourne comme un gant ou peut se transformer en une foliation torique de Hopf, etc. Comment la perturbation agit sur chacun de ces aspects est encore à inventorier, même si on en connaît pas mal sur le sujet, en particulier gràce aux travaux de Poincaré, KAM, Mather, etc. Il est vrai que le niveau est plus élevé ici, puisqu'il s'agit de problèmes le plus souvent non intégrables.

à la manière directe : Danjon-Pollard-Duriez

la perturbation F est installée au temps t=0 , avec OMo et Vo donnés , càd Lo,Eo et eo données et passage au périgée donné.On appellera ko la direction de Lo, et uo = OMo/ro, et ${\vec {u_{\theta _{o}}}}$ pour compléter le trièdre, dont le vecteur-rotation instantanée sera ${\vec {\Omega _{o}}}$ ( v signifiera donc vecteur-vitesse). Sept équations sont bien compréhensibles :

${\dot {\vec {L}}}={\vec {OM}}\wedge {\vec {F}}$ (théorème du moment cinétique)
${\dot {E}}={\vec {v}}\cdot {\vec {F}}$ (théorème de l'énerie cinétique)
${\dot {\vec {e}}}={\vec {F}}\wedge {\vec {C}}+{\vec {v}}\wedge {\vec {C}}$ (théorème du moment"excentricité")

Moins évidente est la variation de l'anomalie moyenne :

$\omega \cdot a^{2}\cdot {\dot {M}}+{\vec {\Omega }}\cdot {\vec {C}}=-2E-2{\vec {OM}}\cdot {\vec {F}}$ que l'on "extrait" du viriel en force.

Il en résulte les équations de Gauss.

équations de Gauss

le quintuplet [a,e,i, $\Omega ,\omega$ ]s'en déduit projeté sur le reférentiel initial et final :

$C\cdot {\dot {a}}=2a^{2}\cdot {\vec {F}}({\vec {u_{\theta }}}+e{\vec {u_{\theta _{o}}}})$
$C\cdot {\dot {e}}=r(e+cos\theta ){\vec {F}}\cdot {\vec {u_{\theta }}}+p\cdot {\vec {F}}\cdot {\vec {u_{\theta _{o}}}}$
$C\cdot ({\dot {\omega }}+cos(i)\cdot {\dot {\Omega }})=rsin\theta \cdot {\vec {F}}{\vec {u_{\theta }}}-p\cdot {\vec {F}}\cdot {\vec {u_{o}}}$ et
$C\cdot (sin(i)\cdot {\dot {\Omega }})=r\cdot sin(\omega +\theta )\cdot ({\vec {F}}\cdot {\vec {k}})$
$C\cdot {\dot {i}}=rcos(\omega +\theta )\cdot ({\vec {F}}\cdot {\vec {k}})$ et bien sûr C varie comme :
${\dot {C}}=r\cdot {\vec {F}}{\vec {u_{\theta }}}$

Et il reste encore dM/dt à écrire ! Comme de plus il faut projeter l perturbation sur la base initiale et la base finale , l'interprétation est sévère.

heureusement, la perturbation dérive souvent d'un potentiel : cela simplifie l'écriture et la compréhension de ces 6 équations, sur lesquelles il faut se pencher qq temps pour les assimiler.

pertinence des équations de Gauss

demandée ici, pour "souffler un peu" : le cours est construit ainsi ! ne rien faire que l'on ne puisse refaire ou retenir ! Pour retenir, il faut manipuler et croiser les équations jusqu'à ce que cela devienne "machinal" et au fond "intuitif" . Donc la question posée est : en quoi les 6 équations précédentes vous semblent-elles pertinentes ?

pertinence des équations de Gauss ; dissertation en 3heures

d'adord et toujours l'homogénéité ! ensuite prendre des cas particuliers "évidents", etc.

Perturbation de Kepler : effet Stark classique

Si à la force newtonienne vient se rajouter une petite force F, la trajectoire va être légèrement perturbée. Néanmoins si F est parallèle au vecteur excentricité, la symétrie ne sera pas entièrement détruite. Il convient de prendre les bonnes coordonnées pour traiter ce problème. Comme on sait traiter le mouvement keplerien en système de coordonnées paraboliques, il faut évidemment en profiter.

Mais si F devient trop grand, il apparaît clairement que l'atome va pouvoir s'ioniser plus facilement.

En mécanique quantique cela sera encore plus évident via l'effet tunnel, conduisant à l'ionisation Stark, fragilisant surtout les atome de Rydberg.

Mouvement d'Euler à 2 centres d'attraction

Euler a vite compris que la composante du vecteur excentricité permettait d'intégrer le problème à 2 soleils fixes et une planète. Cela s'opère grâce à un système de coordonnées bifocales.

Vinti s'est fait le promoteur de cette méthode : ébauche

Mouvement si Terre-galette (Béletskii)

Beletskii a fait remarquer que le problème d'Euler pouvait s'appliquer à un Soleil légèrement allongé de forme cigare. Par prolongation analytique, avec des masses « imaginaires », il a proposé une interprétation simple du mouvement d'un satellite terrestre sous l'action perturbante du bourrelet (le terme J2(P2(cos(theta)/r³) dans le potentiel gravitationnel. On retrouve les effets décrits dans satellite artificiel.

Perturbation de Kepler par planète proche : Terre & Lune

Ce problème est ardu : Newton disait que cela lui donnait mal à la tête.

Il a fallu attendre Clairaut (1741) pour avoir une première théorie de la Lune.

Aujourd'hui avec les miroirs posés sur la Lune (Apollo et Lunakhod), on peut comparer la théorie analytique à celle numérique. La précision théorique des LLR (laser lunar range: tir laser vers la Lune) est de quelques centimètres. La théorie analytique comprend plusieurs milliers de termes, mais donne aussi une précision de quelques mètres. à compléter (séminaire Laskar du 09/03/06).

Perturbation de Kepler par planète lointaine : Terre & Jupiter

Là, le problème est plus facile . L'essentiel de la méthode consiste en une méthode variable rapide- variable lente, due à Legendre, puis Gauss. à compléter.

Perturbation de Kepler et symétries

Bien sûr, chaque fois qu'un système possède une symétrie continue, le théorème de Noether donne une intégrale première, ce qui permet d'éliminer une variable de l'espace des phases.

Comment s'opère cette réduction ?

Le livre de Cordani, celui de Marsden & Ratiu expliquent cette réduction.

Enfin, le problème garde toujours sa symétrie symplectique : il faudra expliquer comment fonctionnent les intégrateur symplectique (Laskar & Robutel, Celestial Mechanics, 2001,80, 39-62).

Applications

Elles sont innombrables :

les principales historiquement sont celles de l'astronomie, et prosaïquement des éphémérides solaire et lunaire de notre calendrier des postes.
les plus utiles sont celles des satellites artificiels.
le modèle de Rutherford-Bohr de l'atome s'appuie sur cette théorie.

Perturbations du mouvement de Kepler

C'est évidemment essentiel.

Pour les satellites artificiels, il faut tenir compte de la forme non sphérique de la Terre , ET de toutes les autres petites perturbations ( pression de radiation du Soleil sur les panneaux solaires, action de gravité différentielle de la Lune et du Soleil, etc.

Pour l'astronome , il y a essentiellement deux problèmes :

la perturbation du mouvement Terre-Lune dû au Soleil
la perturbation de Saturne par Jupiter.

À l'heure actuelle, les programmes de calculs peuvent envisager de traiter (sur un temps pas "trop grand") le mouvement de l'ensemble des planètes. On sait depuis peu que Pluton n'est pas une vraie planète. Ceci dit, le mouvement des planètes sur des échelles de qq 10^6 années commence à être sensible aux conditions initiales (la Terre est un cas particulier car la Lune vient stabiliser son inclinaison et son excentricité).

Pour le programme Galileo (le GPS européen), la précision sur le positionnement de la constellation de satellites artificiels est assez impressionnante(inférieure au centimètre).

insert provisoire:atome d'hydrogène

Cet article suit l'article atome d'hydrogène.

La résolution de l'équation de Schrödinger, écrite en coordonnées polaires, se découple des variables ( $\theta ,\phi$ ) et conduit à une équation à une dimension en r, appelée équation radiale de Leibniz-Schrödinger, puisque ce n'est jamais que la célèbre équation de Leibniz de 1685 traduite en mécanique quantique.

Mais l'équation de Schrödinger (1926) peut se résoudre autrement comme Pauli l'a montré en 1925 !

Équation radiale

L'équation radiale 1D de Leibniz-Schrödinger s'écrit pour r>0:

-{\hbar ^{2} \over 2m}S^{''}+({\hbar ^{2}l(l+1) \over 2r^{2}}-{e^{2} \over r})S(r)=E\cdot S(r)

avec E valeur propre négative ,

et S(r) s'annulant "vite" à l'infini, et S(0) =0 :il s'agit donc d'un problème aux limites dit de Sturm (par opposition à un problème aux conditions initiales, dit de Cauchy); de plus $\int _{0}^{\infty }S^{2}(r)dr=1$ .

[On reconnaît dans ${\hbar ^{2}l(l+1) \over 2mr^{2}}$ la barrière centrifuge de Leibniz (l entier positif) (l=0 correspond à L =0 ; le problème classique n'a pas de correspondant simple en mécanique quantique, encore que ...)].

Comment arrive-t-on à cette équation radiale de Leibniz-Schrödinger ?

Il SUFFIT de chercher la fonction d'onde $\Psi (x,y,z,t)$ en coordonnées sphériques sous la forme :

$\Psi ={S(r) \over r}\cdot Y_{l,m}(\theta ,\phi )e^{-i{Et \over \hbar }}$ ,

où les Y(l,m) sont les fonctions harmoniques sphériques. On appelle ce procédé courant dans les équations aux dérivées partielles, la séparation des variables. Souvent, on appelle R(r) := S(r)/r , la partie radiale de la fonction d'onde.

Note importante annexe :

Harmoniques sphériques

Il n'y a rien de mystérieux (et surtout rien à voir avec la MÉCANIQUE quantique) dans ce qui semble être un tour de passe-passe. L'étude en électrostatique classique de l'opérateur Laplacien conduit à ces mêmes fonction Y(l,m) , appelées harmoniques sphériques, qui sont des fonctions usuelles dès que la symétrie sphérique entre en jeu. L'entier relatif m ne peut prendre que 2l+1 valeurs, de m = -l à m = +l , l étant un entier positif.

Ce sont ces harmoniques sphériques qui "quantifient" le problème sphérique par les deux nombres quantiques l et m (comme il est usuel dans tout problème de Sturm, dit "aux limites", des équations différentielles), ces deux entiers l et m qui auront tant d'importance dans l'étude de l'atome à N électrons et donc de la Classification périodique.

Pour rester en continuité de lecture(sinon voir l'article Harmonique sphérique), est expliqué ici juste le minimum pour comprendre comment elles interviennent à ce niveau modeste (l=0,1,2,3):les (2l+1)polynômes $r^{l}Y_{l,m}$ forment une base sur l'ensemble des polynômes homogènes P(x,y,z) de degré l, harmoniques(c’est-à-dire dont le laplacien est nul)
l=0 : $Y_{0,0}={1 \over sqrt(4\pi )}$ : c'est bien un polynôme de degré zéro, normé sur la sphère unité puisque son carré vaut 1/4Pi.

Dorénavant, nous n'indiquerons plus ce facteur dit de normalisation.

l=1 :3 fonctions

$rY_{1,0}=rcos\vartheta =z$ ;

$rY_{1,1}+rY_{1,-1}=2rsin\vartheta cos\varphi =2x$ ;

$rY_{1,1}-rY_{1,-1}=2irsin\vartheta sin\varphi =2iy$ ;

soit la base {x,y,z} dite orbitales $p_{x}$ , $p_{y}$ , $p_{z}$

l=2: cinq fonctions

$r^{2}Y_{2,0}=r^{2}(3cos^{2}\vartheta -1)=2z^{2}-x^{2}-y^{2}$ ;

$r^{2}Y_{1,1}+r^{2}Y_{2,-1}=2r^{2}sin\vartheta cos\vartheta cos\varphi =2xz$ ; et avec moins , 2i yz ;

$r^{2}Y_{2,2}-r^{2}Y_{2,-2}=2ir^{2}sin^{2}\vartheta sin2\varphi =4ixy$ ;

$r^{2}Y_{2,2}+r^{2}Y_{2,-2}=2ir^{2}sin^{2}\vartheta cos2\varphi =4(x^{2}-y^{2})$ ;

Soit la base {3z^2-r^2, xz, zy, yx, x^2-y^2) dont chaque fonction est de laplacien nul.

l=3: 7 fonctions

soit la base { z(5z^2-3r^2), x(5z^2-3r^2), y(5z^2-3r^2),zxy,z(x^2-y^2),x(x^2-y^2), y(x^2-y^2)}dont chaque fonction est de laplacien nul.

l quelconque : on trouve une base de (2l+1) polynômes réels, mais bien sûr toute combinaison linéaire complexe reste dans ce sous-espace vectoriel sur le corps des complexes.

Pourquoi (2l+1)?

la raison en est aisée :effectuons le décompte : il y a (l+1)(l+2)/2 polynômes homogènes de 3 variables (c'est le nombre de manières d'avoir avec un triplet d'entiers{m,n,p]avec la relation m+n+p = l). Quand on calcule le laplacien on tombe sur l'espace des polynômes homogènes de degré (l-2),de dimension (l-1)l/2 ,pour l >1 ce qui donne pour l'annulation du Laplacien autant de conditions. Donc il ne reste, pour les polynômes homogènes harmoniques qu'un sous-ev de dimension (l²+3l+2 -l²+l)/2 = 2l+1.

Théorème: ${P_{l}(x,y,z) \over r^{l+1}}$ est fonction propre du laplacien avec la valeur propre -l(l+1):

C'est ce théorème qui est sans arrêt utilisé pour la théorie de l'atome d'hydrogène.

En chimie ,on représente souvent les fonctions 1/r^(l+1) . Pl comme les harmoniques sphériques des orbitales l ; parfois on prend leur carré; etc.

Dans l'atome à N électrons pour N< 119, l< 5 : donc cela suffit au physicien de l'atome, qui leur a donné des noms et des représentations mnémotechniques diverses. Ne pas oublier que l'on peut combiner à volonté ces fonctions, pour former ce que les chimistes appellent des orbitales hybridées du sous espace propre du niveau d'énergie En( en particulier les fameuses orbitales paraboliques de Kleinert).

Multiplicité (2l+1)

Le nombre quantique l est appelé nombre quantique azimutal (on voit qu'il joue, par son terme l(l+1), le même rôle que le carré du moment cinétique, L², en mécanique classique). Évidemment l'équation radiale a ramené le mouvement à UNE seule dimension, la variable radiale, avec la fonction S(r) qui doit s'annuler en r=0 (n'oublions pas c'est S(r)/r qui intervient ) et qui doit être de carré sommable sur l'intervalle r>0 . On aura donc des valeurs propres de cette équation linéaire, dépendant donc de l , $E_{k,l}$ , mais pas de m (on dit que la multiplicité de la valeur propre est : 2l+1 ; en physique & chimie on dit : il y a dégénérescence du multiplet égale à 2l+1).

Le nombre quantique m s'appelle nombre quantique magnétique, car sous l'effet d'un champ magnétique (effet Zeeman) l'énergie dépend alors de la valeur de m, et l'on voit une multiplicité de niveaux d'énergie, d'où la dénomination .

Enfin le nombre k , entier positif, s'appelle nombre quantique radial et donne le nombre de nœuds (k pour knots !) de S(r) pour r > 0 .

Comme la spectroscopie est née un siècle avant la mécanique quantique, la tradition est restée d'appeler le nombre quantique azimutal l par des lettres latines :

l= 1 -> s ; l=2-> p ; l=3 -> d ; l=4 -> f et ensuite g, h .

Résultat final

Au final, on trouve une énergie E(l,m,k) indépendante de m, soit E(l,k), mais, de façon incroyable (sauf pour Pauli), ne dépendant que de la somme l+k-1 = n , qui doit être un entier positif, et appelé nombre quantique principal.

C'est la fameuse équation déjà trouvée par Bohr en 1913:

E_{n}={E_{1} \over n^{2}}=-{me^{4} \over 2n^{2}\hbar ^{2}}

Il y a ce qu'on appelait une dégénérescence accidentelle, avant l'introduction par Pauli en mécanique quantique du vecteur invariant de Runge Lenz.

La multiplicité, g, du niveau d'énergie En est donc :

pour l variant de 0 à n-1 et

pour m variant de -l à +l

$g=\Sigma _{0}^{n-1}(2l+1)=n^{2}$ .

Et, compte-tenu du spin (1/2) de l'électron ,g vaut le double , soit 2.n²

Ce qui donne simplement : couche K, g=2 ; L, g=8 ; M, g=18 ; O, g= 32 ; P, g = 50 ; Q, g=72 ; R, g = 98 ; S, g= 128.

Inutile d'aller plus loin pour décrire la classification périodique, la configuration de l'élément Z= 119 est celle d'un alcalin :

$(1s^{2})(2s^{2})(2p^{6})(3s^{2})(3p^{6})(4s^{2})(3d^{10})(4p^{6})$ soit Kr(Z=36) puis,

$(5s^{2})(4d^{10})(5p^{6})(6s^{2})(4f^{14})(5d^{10})(6p^{6})$ Rn(Z=86) , puis

$(7s^{2})(5f^{14})(6d^{10})(7p^{6})$ Uuo(Z=118),

puis 8s.

Sur les 64 orbitales de la couche S, n= 8 , on n'a besoin de connaître que l'orbitale (8s): ce calcul requiert impérativement la mécanique quantique relativiste , car les électrons (1s²) de la première couche sont soumis à des vitesses non négligeables devant c .

De même, la configuration de l'élément Z= 121 est Uuo,(8s²,5g), la sous-couche 5g pouvant contenir jusqu'à 2*9 =18 électrons.

- -

Ce faisant, on obtiendra ainsi tous les niveaux d'énergie des éléments ET des séries isoélectroniques, ce qui permettra de décrire certains traits de la classification périodique.

Pour en revenir à l'atome d'hydrogène, il ne reste plus qu'à introduire le vecteur invariant de Runge Lenz quantique pour comprendre que la dégénérescence dite "accidentelle" ne l'est pas : il y a bien une symétrie de plus que la simple symétrie centrale dans le cas de ce modèle de Rutherford quantique (cf théorème de Bertrand).

Auparavant, on va finir le raisonnement de Schrödinger (1926) ; puis on reviendra sur celui, plus subtil, de Pauli (1925).

Équation radiale-réduite et Polynômes de Laguerre

Si l'on revient à l'équation radiale de Leibniz-Schrödinger, on peut démontrer que pour r voisin de zéro, S(r) varie comme r^(l+1) , et que pour r très grand, S" + 2E S = 0 . Il est courant de poser 2E = -1/n² et donc S(r) varie comme exp (- r/n) à l'infini : n pour l'instant n'est qu'un réel!

Alors le dernier changement de fonction inconnue est logiquement l'essai suivant qui se révèle fructueux : S(r) = r^(l+1).exp(-r/n).g(r) ; mais on s'aperçoit qu'en changeant la variable r en s : = 2r/n l'équation s'arrange mieux :

L'équation radiale-réduite devient :

s f"(s) + (2l+2-s) f'(s) + (n-l-1) f(s) = 0 , avec g(r) = f(2r/n) = f(s)

Les matheux et Schrödinger ont reconnu cette équation immédiatement (?) : elle conduit à la fonction hypergéométrique dégénérée de Kummer, qui conduit aux polynômes de Laguerre, ssi n-l-1 est un entier positif : donc n est un entier positif et l = 0, 1 , 2 , .. ,n-1 . Et le nombre k est simplement k = n+l-1.

Pour le cas l= n-1 (les états de Rydberg (cf. atome de Rydberg), elle devient r .g " + (2n-r) g' = 0 satisfaite par g = cste (en effet S(r) ne doit avoir aucun nœud quand le nombre quantique radial k est nul !).
Ici, on fera les calculs "à la main" pour les faibles valeurs de n .Mais sinon, les aficionados des équations différentielles chercheront un développement de f(s) en série entière qui se STOPPE en un polynôme P(s): cela marche, c'est le raisonnement typiquement utilisé avec l'équation hypergéométrique !

Infeld-Hull et la "factorisation"

dans RevModPhys 23,1951,21-68 , on constate que la méthode des opérateurs d'échelle était bien connue à l'époque (cf aussi Durand, CRAS1950,230,273):

L'idée est classique :

soit A = 1/2 -a/r -d/dr et B = 1/2 - b/r +d/dr en unités "bien choisies".

A et B sont opérateurs sur les fonctions de carrés sommables sur [0, infty[.

Ils sont opérateurs conjugués pour a = b .

et l'équation de Leibniz-S s'écrit :

A(l+1)B(l+1) Snl = (n-l-1)Snl/r

En multipliant par Snl et en sommant il apparaît immédiatement que n-1> l ; et B S = 0 pour l = n-1 d'où la valeur de S "circulaire" : S(r) = r^n .exp (-r/2)

Qq calculs permettent de trouver que

S(n+1, l) = r A(n) S(n,l) S(n-1,l) = rB(n) S(n,l) .1/[(n-1-l)n+l)]

et toutes sortes de relations sur les polynômes de Laguerre.

Noter aussi que l'équation du second ordre peut s'écrire , comme assez souvent : K(n,l) S(n, l-1) = A S(n,l) K(n,l) S(n,l) = B S(n, l-1) (Durand p 449)

Les relations de Pasternak permettant de calculer <r^k > =((n, l,k)) s'en déduisent :

k+1)<r^k> -2n(2k+1)<r^(k-1)> +[(2l+1)²-k²]<r^(k-2)> = 0

exemples classiques
(n,l,3) = n²/8[ 35 n^4 -35 n² -30 n²(l+2)(l-1)-3(l+2)(l+1)l(l-1)]
(n,l,4) = n^4/8[63 n^4 -35n²(2l²+2l-3)+5l(l+1)(3l²+3l -10) +12]
(n,l,-1) = viriel = 1/n²
(n,l,-2) = force = 1/n^3(l+1/2)
(n,l,-3) = force de barrière et LS = 1/n^3(l+1/2)l(l+1)
(n,l,-4) = ion-dipôle => cf Kondratiev = [3n²-l(l+1)]/2n^5(l-1/2)l(l+1)(l+1/2)(l+3/2)
noter l=0 pour -3 et -4 ! il faudra être prudent avec les électrons s !
(n,l,2) = n²(5n²+1-3l(l+1))/2
(n,l,1) = 3n²-l(l+1)]/2

Certaines se trouvent dans atome d'hydrogène

Invariant de Runge Lenz, quantique

Champ coulombien

Le cas de la force coulombienne (cf. mouvement keplerien ; le puits de potentiel a déjà été étudié en mécanique classique) est TRÈS PARTICULIER car il montre que n DOIT être un entier positif, indépendant de l , alors que les fonctions propres g(n,l,r) dépendent bien de deux indices n et l :

les valeurs propres de l'énergie ne dépendent pas séparément de n et de l , mais seulement de n , entier positif, qui de ce fait est appelé nombre quantique principal de couche (avec n= 1 -> couche K , n=2 -> couche L ,..).

Ce fait, très exceptionnel pour l'énergie, ne sera plus vrai pour un potentiel V(r) quelconque, même voisin de -e²/r. Il convient donc de ne pas trop s'y attacher, sauf si l'on veut s'expliquer cette dégénérescence (anciennement appelée dégénérescence accidentelle), via le raisonnement de Pauli.

vecteur excentricité quantique

Le vecteur excentricité (cf. mouvement keplerien et invariant de Runge Lenz)vaut :

{\vec {e}}={\vec {V}}\wedge {\vec {L}}/(GMm)-{\vec {r}}/r

Il existe aussi en mécanique quantique, en tant qu'opérateur observable. Il vaut en unités convenables (unités atomiques)

{\hat {\vec {e}}}=[{\hat {\vec {p}}}\wedge {\hat {\vec {L}}}-{\hat {\vec {L}}}\wedge {\hat {\vec {p}}}]/2-{\hat {\vec {r}}}/r

Or rappelons qu'en termes d'opérateur: p^L +L^p = 2i.p. $\hbar$

ce qui rend légèrement différent le vecteur quantique , subtilité de l'algèbre non commutative !

propriétés de la Q-excentricité

Toujours en faisant les calculs d'opérateurs,

on retrouve e.L = 0 , L.e = 0 , e.H = H.e (donc e est bon nombre quantique , et donc dans un sous-ev de la valeur propre de H , e sera stable).

e^{2}-1=-(H/E_{o})\cdot [L^{2}/\hbar ^{2}+1]

Là encore un terme (+1) vient subrepticement se glisser dans les calculs (on a pris Eo = -13.6eV):

Et [e^2,Lz]=0

Mais alors ,dans l'ECOC [H, L², Lz], e² est un bon nombre quantique, et sa valeur est, dans le niveau n :

e² = 1 -1/n² -l(l+1)/n²

et par conséquent l ne peut dépasser n-1 ;

Mais on n'attendait pas cette bizarre formule !

Boost et Q-excentricité

Et maintenant, la RÉVÉLATION pour tous ceux qui ont fait de la relativité restreinte :

Multiplions le vecteur excentricité par \hbar pour lui donner l'unité d'un moment cinétique et par n par pure commodité dans les calculs.

Nous appellerons ce vecteur ${\hat {\vec {E}}}$ ,le vecteur excentricité-boost , qui est un vecteur polaire et non axial.

E commute avec L² , mais pas avec Lz ; et E² est un bon nombre quantique dans l'ECOC [H,L²,Lz], mais pas E !

MAIS, dans le sous-ev de la couche n ,

$[F_{\lambda \mu },F_{\mu \nu }]=F_{\lambda \nu }$

où le tenseur antisymétrique 4-4, F est : (0,E) en première ligne et la matrice 3-3 antisymétrique correspondant à L^ .

VOILA ! l'atome d'hydrogène est invariant par SO(4) [ évidemment pour les états d'énergie positive, par SO(3,1) c'est à dire le groupe de Lorentz ! d'où l'idée de la notation excentricité-boost ! ]: cela était connu de Pauli , de Fock , de Bargmann , etc. Mais à l'époque, peu connaissaient aussi bien que Pauli la relativité restreinte !

Pour démontrer ces relations, il vaut mieux avoir qq notions d'algèbre de Lie (et des formules de trigonométrie correspondantes), car sinon cela peut être un peu long (11 pages dans le X ; et une page dans le Y : X et Y par courtoisie).

opérateurs S et D, valeurs propres de H

Il "suffit" maintenant de se rendre compte que [H, Lz, Ez] forme un ECOC ( ce qui correspond en mécanique classique aux coordonnées paraboliques et à la vision spinorielle :

soit 2S = L + E et 2D = L- E ; Alors S² - D² = 0

S et D sont deux moments cinétiques de carrés égaux : s(s+1) et :

[S^{2}+D^{2}+\hbar ^{2}]{\hat {H}}=E_{o}\cdot \hbar ^{2}

C'EST FINI : H a pour valeurs propres : E_o/n² avec 4s(s+1) +1 = n²

soit n = s+s+1 , donc de dégénérescence : n² (faire ce petit calcul !).

Voici comment depuis 1926, on eût pu enseigner l'atome d'hydrogène de Pauli (Nobel en 1945 après Heisenberg, Schrödinger et Dirac en 1933).

Pourquoi cela ne s'est-il pas produit ? Vraisemblablement parce que les orbitales paraboliques étaient moins utiles que les orbitales- harmoniques sphériques qui privilégiaient donc l'ecoc [H,L²,Lz].

Compléments sur SO(6)et SO(4,2)

vacances closes après avoir vendu mes merguez, je fais le point sur SO(6). Cf Oliver.

SO(6) comporte $C_{6}^{2}$ = 15 générateurs de rotation. (P. Kustaanheimo and E. Stiefel, J. Reine Angew. Math. 218, 204 (1965). ) la transformation K-S amène l'eq de Schrodinger sous une forme simple :

multiplions tout par r : $-1/2r\Delta +1=E\cdot r$ et opérons le changement de variables ; il vient :

$[L_{56}+L_{46}-2E\cdot (L_{56}-L_{46})-1]|\psi >=0$

En utilisant le "tilt" usuel A , tel que -2E = exp2A et les relations de commutation avec L(45) , l'équation se réécrit :

$[e^{iAL_{45}}L_{56}e^{-iAL_{45}}-e^{-A}]|\psi >=0$

La solution est immédiate :

les vecteurs propres de L(56) sont $\ |\phi _{n}>$ de valeur propres n= 1,2,3,... et donc A = - ln n et on en tire

$\ E_{n}=-1/2n^{2}$ ,

puis en opérant la transformation réciproque de K-S , on retrouve les états propres paraboliques $\ |n_{1},n_{2},m>$ , puis via les symboles 3j-de-Wigner , les états sphériques $\ |n,l,m>$ (Kleinert p 964):

Que tout cela paraît naïvement facile! Néanmoins rappelons que Feynman avait calé sur ce problème et que le déblocage de situation s'effectua de 1967 à 1998.

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Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences