Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Intermède : la symétrie

Le raisonnement par symétrie est toujours un supplément non négligeable. Il ne s'agira ici que de simples symétries élémentaires.

Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences

• Remarques en vrac
• La chute libre
• Le choc frontal
• La chute libre, avec vitesse initiale
• La chute ralentie sur plan incliné
• La chute ralentie sur plan incliné (suite)
• Diagramme horaire
• Plan de phase
• Intermède : la symétrie
• La chute avec résistance de l'air
• Devoir surveillé 1
• La Balistique extérieure
• Statique

• Les Principes avant 1687
• Principe Fondamental de la Dynamique
• Quelques exercices
• Mouvement de Hooke
• Mouvement de Kepler
• Mouvement dans un champ central
• Devoir surveillé 3

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• L'inertie à la rotation

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Annexes :

• La pression cinétique des fluides
• Résonances en astronomie
• Quelques exercices d'astronomie
• Le problème de Schwarzschild
• Le système solaire
• La gravimétrie
• L'information
• Le vide

Symétrie d'échelle (scaling)

Il a déjà été signalé précédemment que toute équation qui pouvait se réduire à une autre, par simple changement des lettres , était dite « identique », en un certain sens : il y avait isomorphisme. Soit un problème 2 rendu isomorphe avec un problème 1, déjà résolu : alors, une économie de pensée considérable est de ne pas tout refaire : soit on révise le raisonnement qui a permis de résoudre le problème 1, soit on « calque », on « transporte », on « transpose », on « conjugue » le problème 2 par la déclinaison de la même conjugaison : c'est un processus mental acquis, dès l'enfance, sous le nom de « conjugaison grammaticale » : dans les verbes du premier groupe, chanter « se conjugue » comme cuisiner.

La symétrie est une opération intellectuelle du même ordre, mais juste un plus élaborée.

Soit une équation du mouvement du type d²x/dt² = g(x) (équation dite de Newton) avec la primitive de g(x) de forme -k|x|ⁿ. Soit une solution dans le plan de phase correspondant à (Xo,Vo). On a déjà vu le cas n=1, qui était « l'horloge de Torricelli ». On avait vu que pour une énergie E, l'action était en E^3/2 et T(E) en E^1/2.

Très vite Newton, puis d'autres (cf Whittaker ou Appell) ont compris que ce résultat ne dépendait pas de l'équation différentielle, mais simplement de sa structure dimensionnelle ou scaling.

Aparté historique

Historiquement, le raisonnement par scaling (changement d'échelle) se perd dans la nuit des temps : un champ de blé de longueur et largeur 2 fois plus grande est 4 fois plus grand (il « suffit » de le couper en quatre) et pour les volumes, une pyramide « isomorphe » exigera 2³ fois plus de pierres, un tonneau contiendra 8 fois plus de grains. Néanmoins, la mathématique grecque se refuse ce type de raisonnement en géométrie pour des raisons très profondes, liées à « l'acte de démonstration ». Caveeing, Kahane, Chemla en France sont des grands spécialistes de ces questions historiques. Et par exemple, la démonstration dite « élégante » du théorème de Pythagore (a² = b² + c²) par scaling, faite en physique, n'en est pas une pour un grec.

Plus subtile est l'avancée de Galilée (bien qu'il y ait des précédents), dans les « deux nouvelles sciences » : en germe, l'analyse dimensionnelle y est.

Newton va abondamment l'utiliser : dès 1666 (et d'autres dont Huygens, avec lui sans doute) il sait que loi en 1/r² « concorde » avec 3ème loi de Kepler, que des ellipses de grand axe 2a se « transforment » en ellipses homothétiques parcourues dans des temps similaires d'un facteur a^3/2. Mais la loi de Kepler dit beaucoup plus : cela est vrai quelle que soit l'excentricité. Et là, pas de symétrie connue qui ramènerait le problème au précédent. Et pourquoi des ellipses ? Le cas du cercle est connu depuis Huygens et sa « force axifuge » (concrètement, cela veut dire que la courbure de la trajectoire entraîne une composante normale du vecteur dérivée du vecteur tangent T(s), soit dT(s)/ds = N(s). d(alpha)/ds = N(s)/R, avec R rayon de courbure). Passer du cercle à l'ellipse sera la GLOIRE expérimentale-semi-empirique de Kepler et la gloire mathématique de Newton (écrasant Hooke en particulier) et suscitera l'admiration de Halley. On connaît la suite : l'écriture des Principia , un « honneur de l'esprit humain ».

L'analyse dimensionnelle ou scaling

Étant donné un système d'équations , si changer les lettres (ET les UNITÉS des lettres) transforme ce système en un système connu, alors on peut (et on ne va pas s'en priver !) « translater », « traduire » les résultats.

C'est ce que dit Descartes dans son traité de géométrie analytique : l'analyse née de l'algèbre permet de rendre compte de la géométrie ; la symétrie algébrique de ce fait entre en action de même que les droites de symétrie en géométrie. Et depuis 1638, cela n'a plus jamais été pareil : un élan nouveau était donné aux mathématiques, et en particulier, via Galilée 1638 aussi, vers la Philosophie de la Nature, c'est-à-dire la description physique du mouvement : la Mécanique est née historiquement à cette date, même s'il faut encore 50 ans pour que Newton l'écrive dans un marbre très pur (1687).

Le scaling ne dit que cela : mais aucune confusion possible ; CELA N'A RIEN à VOIR avec un système d'unités internationales et RIEN à VOIR avec le S.I. Confondre analyse dimensionnelle et homogénéité-via-le-S.I. est une bévue simpliste qui gâche nombre d'élèves en France qui désirent être bacheliers. Les ravages engendrés par cette bévue pédagogique sont énormes. L'obligation de communication des résultats numériques en S.I. (qui, elle, est une vraie obligation, d'utilité publique, tout comme les normes ISO et autres certifications de traçabilité) N'A RIEN à VOIR avec l'opération de scaling décrite ici.

Les écrits de Whittaker ou d'Appell sont sans appel (sic !) :

c'est une FAUTE LOGIQUE de raisonnement que de faire intervenir une horloge à césium dans la mécanique rationnelle d'avant 1960, et donc d'après 1960 !

Si nous sommes aussi attachées à écrire ce wikibook, c'est ESSENTIELLEMENT pour dénoncer cette bévue pédagogique, qui a des racines historiques profondément ancrées dans le déchirement des années 1950-60 où les équations aux dimensions étaient enseignées de façon stupidement liées au MKSA et où le débat faisait rage entre partisans du CGS-es, du CGS-em, du Système de Gauss, du Système rationalisé : il fallait bien du courage à CASIMIR pour dominer ce concert de casseroles éculées : si nous retrouvons cet article, il sera publié : il est instructif que 50 ans après, nous n'ayons pas entendu cette mélodie cristalline émerger de la cacophonie ambiante ! Les Ordres de Grandeur Littéraux n'ont RIEN à VOIR avec le S.I., ni avec quelque système d'unité arbitraire extérieur aux équations de la physique : ils n'ont à voir qu'avec les LETTRES écrites dans les équations pour re-présenter à la Descartes, la Mécanique (ultérieurement l'électricité, etc.). Cela a été magnifiquement écrit en Géométrie par le célèbre Programme d'Erlangen de KLEIN. Il est tristounet de constater qu'aujourd'hui (2006), très peu d'enseignants de mécanique savent utiliser que $m{\vec {a}}={\vec {F}}$ est linéaire en F , avec m^-1 opérateur linéaire scalaire (cf leçon antérieure : géométrie affine et chute libre). Et surtout beaucoup confondent le S.I.-analyse dimensionnelle et l'analyse de scaling : les énoncés du baccalauréat en sont l'amer reflet : « On demande de vérifier que le résultat est correct du point de vue de l'homogénéité... etc. ».

Exercices

Exercice Beeckman-Descartes

Où l'on voit la différence entre un physicien (Beeckman) et un mathématicien (Descartes) : Beeckman préoccupé de démontrer, vers 1613, la loi de la chute des corps dans le vide sous la forme v = g.t (mais ne connaissant pas la notion de dérivée) fait appel à Descartes. De manière assez amusante, il lui suggère l'énoncé suivant : Si un mouvement accéléré est tel que v(2t) = 2v(t), trouver v(t) (avec v(0)=0). Descartes lui répond : je peux le faire avec v(2t) = k.v(t) et même vous donner v(x).

Sauriez-vous le refaire ? (ref Koyré p110 à physico-mathematica de Descartes & Beeckman)

Solution Beeckman-Descartes

Il est clair que si Descartes trouve une loi puissance v(t) = A.tⁿ, on aura v(x) = K x^1+1/n.

Si v(2t) = k.v(t), on aura v(t) = A . t^{Ln k/Ln 2}, ce que demandait B était tout simplement k= 2 donc v(t) = A.t puis v(x) = B sqrt(x). Au fond, en même temps que l'on cherchait du côté f(x+h)-f(x), on cherchait aussi du côté du « quantum calculus », [f(qx)-f(x)]/[q-1] (voir par exemple Kac & Cheung, 2002, (ISBN 0-387-95341-8).

Ce qu'il y a de remarquable dans la demande de Beeckman, c'est la formulation en fonction du temps v(2t)-v(t) = v(t). Dans sa lettre à Sarpi de 1604, Galilée se trompe car il écrit tout comme fonction de x, ce qui conduit à v(x) = kx et donc à l'exponentielle et l'impossibilité de démarrer de la vitesse nulle. Descartes tombera aussi dans ce piège (il faut le dire très usuel à l'époque). Il fallût bien 10 ans pour que ces choses s'éclaircissent. Mais entre temps (1609-1610), Galilée est happé par la lunette et l'astronomie. Il prendra donc un certain retard.

Le théorème du viriel

ébauche

Ce théorème est directement lié à la symétrie de scaling des lois-puissance s" = -k sⁿ

Symétrie de Corinne

Corinne fît remarquer que si t était changé en i.t = sqrt(-1).t dans 1/2 gt², alors il suffisait de changer g en -g pour retomber sur l'équation initiale. D'une manière générale d²x/dt² = g(x) ne change pas si on prend g(x) changé en -g(x). Inutile donc de refaire les raisonnements pour -g(x) !

Si par exemple la forme d'une corde est une chaînette sous l'action de son poids, alors la chaînette opposée tient sans culée de voûte. L'architecte catalan Gaudi s'en servira pour construire la Sagreda Familia à Barcelone.

Dans le cas de l'attraction de Newton, si la solution est « elliptique », elle deviendra « hyperbolique », si l'attraction est changée en répulsion (expérience de Rutherford,1911). Etc.

C'est tout ce qu'a dit Corinne : voilà un scaling bien inoffensif et qui n'a rien à voir avec les unités, sauf (peut-être ?) à dire que cela transforme un becquerel en un hertz !

Exercices

Exercice-chute avec résistance de l'air en v²

Soit à résoudre la chute sans vitesse initiale z" = g (1-v²/V²) ; [v(0)=0 ; z(0)=0] Beeckman (vers 1610) avait déjà compris que la vitesse limite serait V. On pose donc les unités naturelles de ce problème de cinématique : v' = v/V et t' = V/g .t, puis on supprime les prime pour simplifier : dv/dt = 1-v². D'où la solution : v = Arg tanh t ; soit en rétablissant les unités : v(t) = V .Arg tanh (gt/V). On peut en déduire z(t) par intégration , mais en général on préfère demander : trouver v(z). En particulier, trouver la vitesse V(H) à la hauteur H.

Puis, on demande : lancer la pierre vers le haut avec la vitesse Vo = V(H) : mouvement ? temps de montée ? altitude atteinte ?

Solution-chute avec résistance de l'air en v²

En f(z), on obtient : vdv/dz= 1-v², soit -Ln(1-v²)= 2z ; soit v² = 1 - exp(-2z) et avec les unités : v²/V² = 1 -exp(-z/h) avec h = V²/2g. On en tire v²(H) = V².(1-exp-H/h)

• Remarque : on peut en déduire une autre manière de réaliser le TP sur la chute, soit en réalisant la régression sur les paramètres V et V/g si l'on a une caméra, soit sur V et V²/2g si l'on a des photodiodes. Il est évident que cette manière de faire est plus adaptée à un bac+1.

2/. Bien sûr, c'est exactement ce que disait Corinne : z" = g(1+v²/V²) et avec les bonnes unités : dv/dt = 1+v² donc v(t)= V.Argtan (g(t-tau)/V) ; soit t-tau = V/g tan (v/V). On en tire le temps de montée : t =tau = V/g tan V(H)/V = V/g tan (Arg tanh g td/V), soit la solution de Corinne :

Arc tan g tm/V = Arg tanh g td/V d'où la réponse immédiate pour V très grand :

tm = td (1 +2/3 td² g²/V²).

En f(z), on aura vdv/dz = -(1+v²) ; donc Log(1+v²) = -2(z-d), soit 1+v²/V² = (1+Vo²/V²).exp(-z/h) : l'altitude de remontée, L, est donc L/h = Ln (1+Vo²/V²).

Au final la symétrie de Corinne donne donc :

exp-(H/h) + exp+(L/h) = 2, soit en développement limité : L = H - H²/h

L'ovale de Huygens

Soit un ovale de Huygens, c'est-à-dire, la courbe fermée formée de deux cycloïdes z = (+/-)a (1- cos phi) et x = a(phi- sin phi) ; quelques calculs classiques de Dettonville (1659) montrent que la longueur d'une demi-arche est 4a (soit pour l'ovale entier 16a).

Soit une perle pesante glissant le long de cette courbe verticale ; la masse n'intervenant pas (loi de Galilée(1564-1642)) on prendra m=1. La pesanteur est constante, égale à g.

On demande de tracer les orbites de phase (cf leçon plan de phase, OQ := (s ; ds/dt)) en fonction de l'énergie E, de trouver l'action S(E) et la période T(E) du mouvement périodique (Huygens(1659)).

On comparera avec l'exercice suivant (plus difficile !) : l'ovale est cette fois le cercle de rayon 4R.

Réponse : ovale de Huygens

ébauche

Il est remarquable que ce genre d'exercice se résolve seulement avec le principe de Torricelli : v² + 2g z(s) = Vo².

Il y a bien sûr une très forte analogie entre les deux mouvements, l'ovale et le cercle ; et les orbites de phase vont donc se ressembler beaucoup. Le cas circulaire (dit du pendule simple) est évidemment beaucoup plus difficile à résoudre, et on est redevable au génie inventif de Huygens d'avoir pensé aux travaux de géométrie de Roberval et Torricelli, [puis sans doute au concours proposé par Dettonville (1658-1659) ?], pour faire sa théorie du pendule cycloïdal, puis du pendule simple (1659).

Repérons rapidement le qualitatif de la description : l'ovale a quatre parties : l'arc AO [avec A(Pi.a ; -2a) et O(0;0)]. L'arc OB symétrique par rapport à x'Ox . Puis BO' et O'A symétriques par rapport à l'axe AB.

La symétrie géométrique rend compte du mouvement à droite de AB .

La symétrie de Corinne rend compte du mouvement selon BO', connaissant celui selon AO : un quart de l'ovale est donc à prendre en compte, l'arc AO.

Résolution

Pour avoir des notations symétriques-de-Corinne, prendre l'énergie potentielle nulle en z=0. Soit v² +2g z(s) = V²(O) = V²(O').

Le premier cas évident est celui de la révolution très rapide d'énergie E très grande (donc V²(O) très grande) :

La particule, sans restriction de généralité est décrite dans son mouvement à partir A, avec une vitesse V(A) = Vo. Elle met un temps T pour décrire cet arc.

Elle arrive en O avec la vitesse V(O) = sqrt(Vo²-2g(2a)) ; puis en B avec la vitesse V(B) = V'o = sqrt (Vo²-2g(4a)); elle met un temps T' pour décrire l' arc BO'.

Elle décrit le circuit complet de longueur 16a en 2(T+T').

Dans le cas de l'ovale, partant de A (avec s=0), quelques calculs très classiques de géométrie donnent :

z(s) = -2a +h(s) = -2a + s²/8a

Huygens attendait une telle courbe depuis sa bonne compréhension de l'énoncé du principe de Torricelli ; sa solution fût immédiate (pas mal de ratures quand même si l'on voit le fac-similé !) :

$V^{2}(s)+\omega ^{2}\cdot s^{2}=cste<=>{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+\omega ^{2}\cdot s=0etV(s=0)=V_{0}<=>s={\frac {V_{0})}{\omega }}\sin \omega t$

Enoncé : Equation de Torricelli(1608-1647)-Huygens(1659)

On a posé w² = g/4a.

La durée du trajet AO est donc :

T = 1/w .arcsin(4aw/V(A)) ;

par symétrie-de-Corinne, la durée du trajet BO' est donc :

T' = 1/w . argsinh (4aw/V(B))

posons E = V²(O)/4ga , alors V(A)= sqrt(4ga (E+1))

et donc on obtient pour période de révolution le long de la trajectoire AOBO'A :

$Periode={\sqrt {4a/g}}\cdot [2arccotan{\sqrt {E}}+2argcotanh{\sqrt {E}}]$

Remarquons que 2 argcotanh x = -Ln(1+x)+ Ln(|1-x|) :

il est alors clair que la séparatrice sera pour l'énergie V²(O) = 4ga , qui permet de parcourir l'arc AOB en un temps infini.

ET pour E = 1+eps , la particule tournoie tout le long de la trajectoire en un temps voisin de \sqrt(4a/g)[Pi/2 - Ln(eps)], ET pour E = 1-eps , la particule oscille mais la description temporelle de |V(t)| en module est la même. La période est donc la même ; elle diverge logarithmiquement !

SIMPLEMENT IL CONVIENT DE FAIRE ATTENTION : usuellement, en oscillation, la convention prise en 1882 a été de prendre comme période un ALLER-RETOUR. Pour pouvoir comparer, il faut alors prendre la durée de DEUX tournoiements. Ceci doit être dit explicitement, sinon, dans le cas plus difficile du pendule circulaire qui fera intervenir des fonctions elliptiques de Jacobi, on risque d'être perdu.

Enfin, chose remarquable, bien connue, si la particule n'a pas d'énergie pour atteindre le point O en partant de A [V²(A)< 2.g.2a], alors la période ne dépend pas de V(A) ! Les oscillations sont isochrones. La courbe T(E) depuis le fond du puits jusqu'au tournoiement à la période 16a/Vo peut donc être décrite totalement avec les fonctions élémentaires. On comparera avec profit cette courbe avec la même tracée pour le pendule circulaire. Le tracé des orbites dans le plan de phase sont de même très semblables.

40 ans encore plus tard (1699), cette cycloïde deviendra la brachistochrone, mais c'est encore une autre jolie histoire, entre Bernoulli et Gregory&Newton.

Un petit bout de théorie de la symétrie

Niveau plus élevé, ébauche :

Soit un groupe fini G à n éléments (e sera l'élément neutre).

Soit E, ev et f application de G dans e ; et <f(g)> = 1/n somme ( f(g)) sur tous les éléments de G.

<f1|f2> = 1/n somme f1(g).f2(g)*

Enfin, Eo est l'ensemble des rep-lin appli de G dans le corps des complexes, telles que : f(e)=1 et f(g1g2) = f(g1)f(g2). Eo est un anneau et un ev hermitien.

Montrer que <f(g)> = <f(g.go)>

soit T(g) appli de Eo dans Eo telle que T(g)f = f° $\tau$(g).

Trouver Eo quang G est le groupe de classes d'entiers modulo n.

Le problème sera plus tard de généraliser cette notion de rep-lin d'un groupe G , et d'arriver à la notion essentielle de rep-lin-irréductible.

Conclusion provisoire

Ces chapitres successifs forment à eux seuls un tout assez cohérent. Ils seront suivis par des exercices de statique, qui, eux, sont historiquement plus anciens : on y notera les contributions d'Archimède, puis des mécaniciens des machines simples du XVIème siècle : les Stevin et autres théoriciens d'une pratique issue des constructions de la Renaissance. Il y sera question du travail virtuel de ces forces.

Il restera à écrire L' ARTICLE FONDAMENTAL : ce sont ces mêmes forces de la statique qui vont être prises comme permettant l'échange de quantité de mouvement par unité de temps :

$\Delta {\vec {P_{1}}}:={\vec {F_{2/1}}}\cdot \Delta t=-\Delta {\vec {P_{2}}}$

Enoncé : Équation de Torricelli(1608-1647)-Newton(1687)

.

Il ne restera plus qu'à décrire les Principia et les Grandes Œuvres qui ont suivi. Mais l'essentiel aura été dit :

il n' y a pas de Principe Fondamental de la Dynamique ;

il y a une conservation de la quantité de mouvement d'un système isolé et « simple description EMPIRIQUE » de la loi de force qui permet d'écrire l'équation différentielle d'échange d'impulsion entre les deux sous-systèmes dont l'union est isolée : on connaîtra ainsi le taux temporel d'échange d'impulsion.

C'est ce à quoi se résume la Dynamique.

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