Recueil d'exercices de mécanique élémentaire/Transports et logistique

En fait, je ne sais pas très bien où classer ce type d'exercices intéressants que sont la cinématique avec contraintes. Voici déjà les deux plus célèbres :

deux célèbres

1. Loup, chèvre et chou :

Le batelier doit traverser la rivière(largeur L) avec un élément, sans dégât. Comment faire?

Réponse :

traverser avec la chèvre de A en B, y laisser la chèvre et revenir à vide en A ; Y prendre le Loup, l'amener en B ramener la chèvre , emporter le chou, revenir à vide et finir en ramenant la chèvre : total : 6 L

1. Routes entre 4 villes :

Un carré de 4 villes : joindre au coût minimal A, B, C et D.

Réponse :

ce n'est évidemment pas les deux diagonales ! soit la médiane verticale IJ du carré : y placer deux points K et L tels que angle AKB = 120° , idem pour CLD ; c'est la solution.

Remarquer que la symétrie du carré est brisée : oui, mais pas l'ensemble de deux solutions : il y a en effet l'autre, avec KL horizontal (ou faire tourner la figure de 90°).

Réfléchir maintenant à l' optique pour bien comprendre pourquoi l'indice n=2 intervient et donc cet angle de 2*60° .

En voici d'autres :

1. l'âne et la rivière : l'âne est en A sur la bissectrice de l'angle de sommet O dont les deux côtés sont des rivières. L"âne doit porter un fardeau en B (b >a): quel chemin prendre sachant qu'il doit se désaltérer?
2. l'abeille et le miel : A ( abeille est sur le bord externe du verre conique. G (goutte de miel est en G à l'intérieur du verre. Chemin suivi?
3. le problème de Fermat : E(lle) se noie en mer . L(ui) le voit et va la sauver : quel chemin suit-il s'il court trois fois plus vite qu'il nage ?
4. les trois pays A, B, C égaux sur une sphère découpent 2 méridiens. Alain veut rejoindre Claude. Quel chemin va-t-il suivre si sa vitesse dans B est infty ?
5. les empereurs ennemis : placer N points sur une sphère de manière que les capitales soient les plus éloignées.
6. la bande de papier de La Hire : Soit une ligne de papier AB de longueur L , astreinte à rester sut Ox et Oy, et un point fixe Mo de la ligne : trouver le mouvement de M trace de Mo sur le plan:réponse : ellipse dite du jardinier dans un autre contexte : cf Lebossé et Hemery.
7. pb de la Hire inverse :Passer de l'axe Ox à l'axe Oy via le point M(xo,yo) par la longueur rectiligne minimale L (xo,yo):A.N. calculer L pour (3,4) et pour (27,64).réponse : cette longueur est la somme de yo/sin A +xo/cos A minimale pour -yo cosA/sin^2A + xo sin A/ cos^A donc ssi tan^3 A = yo/xo == tan B : on en déduit Ao : L = ao [sin B/ sin Ao +cos B/cos Ao]soit en repassant en cartésiennes : L = (x + y)^(3/2) avec x= xo^(2/3) idem y.AN 2ème cas : L =9*5 + 16*5 = 5^3 = 125 cm < 2* sqrt(xo^2+yo^2) = ~139 cm. Cf le cône +/-z = L(x,y) sur Maxima ou Scilab.
8. etc.