Recueil d'exercices de mécanique élémentaire/Cinématique

On considère qu'ont été vues les 6 premières leçons du cours Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences.Ces exercices ont été posés à des élèves Bac ou bac+1 (mais certains pouvaient être de très brilliants élèves).

fontaine de Carpeaux

• 1/. jet d'eau extérieur :

Un jet d'eau est incliné à 45° et envoie l'eau sous l'azimut A = wt. On réduit régulièrement (linéairement) la vitesse du jet à zéro en deux tours : dessiner la trace au sol des gouttes.

• 2/. jet d'eau de Carpeaux(1827-1875):

note historique : la fontaine de Carpeaux se trouve au jardin de l'Observatoire, Paris 6ème. Douze dauphins sont disposés en cercle et la pression est injectée cycliquement, de façon symétrique. Montrer que la vasque d'eau semble présenter une rotation, (superbe d'ailleurs).

• Comparer à l'exercice suivant : l'orifice d'un jet d'eau décrit un parcours circulaire de rayon R à la vitesse angulaire w. À l'instant t=0 , le jet atteint le centre O du cercle ; on réduit alors la vitesse du jet à zéro en deux tours : dessiner la trace au sol des gouttes.

Réponse :

• 1/. La portée d'un jet est (cf la leçon chute libre) : Vo²(to)/g = r et l'angle est theta = 4Pi (to/T). Ce qui donne la trajectoire en coordonnées polaires. Le mot "régulièrement" est à prendre ici au sens de "doucement",sans à-coups. On voit donc que l'on peut dessiner la courbe en polaire que l'on veut, ce qui est bien normal puisque définir une portée, c'est bien définir un "pointeur", une marque qui "inscrit".
• 2/. L’exercice est sensiblement le même : en réglant la pression P(to), on règle la portée et par conséquent r = R-r(to), et theta(to) donne la trajectoire en paramétrique. Par ailleurs si l'on considère les nappes des 12 jets d'eau, leur mouvement est tout à fait celui d'une robe de taffetas qui ondule.

(suite)Cet exercice est un peu plus "amusant" , car il y a un petit problème de "temps-retardé". En effet, au moment où l'eau tombe, le jet a tourné. Par ailleurs, il faut réfléchir au fait que la vitesse transverse du jet intervient, mais que la vitesse d'éjection est variable ( la direction de départ des lancers n'est donc pas invariante dans la rotation. (Et il y a même un joli effet-Doppler! ).

Freinage et code de la route

Cet exercice fait partie du code de la route.

Quelle est votre distance d'arrêt d en fonction de la vitesse V de la voiture?

Réponse : entre le moment où vous réalisez qu'il faut freiner et le freinage il s'écoule un laps de temps Tr , dit temps de réaction, compter 0.25s. Ensuite , vous n'y pouvez plus rien : le freinage maximum des pneus sur un sol honnête est K.g avec K = ~ 0.6.

Il n'y a plus qu'à écrire :

d= V.Tr + V^2/(2K.g)

A.N. en ville à 20m/s (vous êtes en infraction!): d = 38.5m : vous avez écrasé votre piéton ! sur route à 40m/s (vous êtes en infraction!) : d = 143m : vous êtes dans le "décor". De nuit, en état d'ébriété ou d'extasie, Tr peut monter à plus d'une seconde : il faut ne pas conduire.

Ayrton Senna

Ayrton Senna (1960-1994), un des plus brillants pilotes de formule 1 est mort sur son siège, apparemment intact: sa voiture a heurté de face un pilier de sécurité à 288 km/h. On évalue à 1 seconde la durée du choc. Trouver la décélération. Décrire ce qu'a révélé l'autopsie de la boîte crânienne.

Réponse : la décélération s'est produite à 80m/s², soit "8g". L'autopsie a révélé que la cervelle avait débordé dans les orbites oculaires.

théorème de Kant (ou de Galilée ?)

• 1/ énoncé de Kant : soient des perles pesantes glissant sans frottement sur 178 fils d'inclinaison de 1 en 1° . Trouver la belle figure formée par ces 178 perles au cours du temps.

• 2/ Une jeune informaticienne décide de représenter le mouvement descendant d'une perle sur un fil d'inclinaison alpha de 0 à 2s par pas de 0.2s. Ayant fait son programme, elle décide d'y ajouter une boucle représentant 178 cas (angle de degré en degré). Quelle surprise l'attend en regardant la figure obtenue ?

(note : moi , j'appelais cela le théorème des cordes ( de Galilée ou de Stevin): on m'a répondu que c'était de Kant, alors je me tiens coi).

Réponse: en 2009, je suis persuadé que Galilée connaît très bien ce problème. Je ne sais pas encore si Simon.Stevin le maîtrise. Donc Kant...c'est bien plus tard ! Pour l'inclinaison alpha , la valeur de g est g.sin(alpha) et donc tous les points sont sur le cercle : r(alpha) = (1/2)gT² . sin(alpha), dont le diamètre D(T) = 1/2.gT² s'accroît quadratiquemet.

A cette occasion, Galilée observe que le point le plus à "droite' ( celui dont l'abscisse x est la plus élevée) est bien sûr à alpha= 45°: c'est la "brachistochrone" de toutes les lignes droites !

l'ascenseur de mine.

• 1/ Un ascenseur d'un puits de mine descend d'une hauteur H = 100m ; pour éviter l'inconfort des passagers, on s'interdit une accélération de module supérieure à k.g (k ~ 0.1)et une vitesse supérieure à 10m/s

Quel est le temps minimal de descente. Discuter ce que veut dire "inconfort".

• 2/ Un ascenseur d'un puits monte en accélérant au début de a= ao donnée , va ensuite à V =cste sur la longueur H =100m donnée ,et freine avec - ao. Trouver le temps minimal et quelle doit être la durée de chaque phase?

(note: assez curieusement le deuxième exercice est en moyenne moins bien réussi , alors que je le pensais de difficulté semblable. Réf : Cabannes)

(note pense-bête : ne pas oublier le merveilleux paradoxe de Gamow sur le temps d'attente d'un ascenseur; exercice bcp plus difficile).

Réponse :

Poids-lourd et pétrolier

• 1/. Un poids-lourd à 20m/s voit un obstacle et freine sur 300m en 10 secondes. Accident. La boîte noire indique une défaillance ; en admettant un jerk constant, expliquer ce qui a pu se passer.

• 2/. Un pétrolier à 36km/h se trouve pris à 2km de la côte (représentée par y= 0)dans un courant de flot de 2km/h et décide de virer (son rayon de virage maximal à cette vitesse est de 10 km . Y aura-t’il marée noire ?

(note : la définition du jerk ( dérivée troisième) est donnée , et la notion de rayon de virage est explicitée)

Réponse :

• 1/. La distance de freinage de 300m est considérable! Elle s'effectue en 10s , soit à décélération moyenne de 0.6 g ( en prenant g = 10 m/s/s ). Cela correspondrait à une vitesse initiale égale à 0.6 g .to = 60m/s soit 216 km/h . Ce qui est loin d'être le cas.

Il est plus probable que les freins ont lâché, c'est à dire en fait que la décélération initiale a décru. L'énoncé déclare que x(t) = Vo.t + 1/2.go.t² + 1/6 jo.t³, et les trois données permettent de trouver les trois constantes : avec Vo= 20m/s , il reste 300 = 200 + 1/2 go.(100) +1/6 jo.(1000) et puis V(10)=0 = 20 + go.(1O) +1/2 jo.(100) ; soit après quelques calculs go= -6 m/s² et jo = 2,4 m/s³. C'est "comme si" la décélération avait varié comme a(t) = -(6-2.4 t). Remarque : il est clair que l'on peut modifier à volonté ce genre de loi horaire x(t) en faisant un développement en série.

• 2/. Le pétrolier a une vitesse de Vo= 20 m/s.

Cycliste en côte ou par vent contraire

On néglige pour un cycliste la résistance au roulement devant la résistance de l'air en - Cx .rho . S. V^2 = -k V^2. La puissance du cycliste (masse m = 70kg) étant constante Po (disons 400W) et sa vitesse en plat étant Vo(12m/s), trouver sa vitesse en côte (de sin alpha = 0.003). Même question en descente.

Réponse : Po = k Vo^3 d'où k .

Puis Po = k V^3 + mgV sin$\alpha$ = k V^3 + P1.(V/Vo) Soit l'équation cubique en V/Vo(:= x) :

x^3 +(P1/Po)x =1

Une valeur raisonnable si P1/Po est petit est 1-P1/3Po.

Évidemment en descente : 1+P1/3Po.

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• Voici une modification de cet exercice, le 24 juil 2010, à l'occasion de l'étape contre la montre du Tour de France cycliste :

Un cycliste effectue un parcours de 50 km en une heure. Combien de temps mettra-t-il pour effectuer le parcours s'il existe un vent contraire ? Quel vent devrait annuler la course si on admet qu'une différence de x = 60 secondes est préjudiciable.

araignée relativiste

Une araignée A va sur un fil à la vitesse Vo . Le fil est en fait élastique et sa longueur est Lo + ct Quel est le mouvement de l'araignée ? en particulier si elle essaie de rentrer à la maison.

Réponse :

Un exercice réputé difficile : la rotation de la somme de 3 vecteurs tournants

Soit un vecteur tournant dans le plan :

OM = { a cos(wt) ; a sin (wt)} Trouver le nombre de tours que fait M autour de l'origine quand t augmente.

On rajoute le vecteur MP = {b cos (vt) , b sin(vt)} avec b< a

Même question avec le point P.

On rajoute le vecteur PQ = {c cos(ut) , c sin(ut)} avec c<b<a mais b+c > a

Même question pour le point Q : pour aider , on donne la réponse :

Quand t devient très grand , ce nombre est la moyenne pondérée de w, v et u par les angles A, B, C du triangle de côté a,b,c.

Essayer déjà des cas limites pour vous convaincre de la véracité du résultat . Ensuite à vous de jouer ! certains exercices de cinématique sont redoutables!

Accélération dans tout système de coordonnées

En coordonnées cartésiennes , les composantes sont x", y" et z". Mais on peut montrer que les projections de l'accélération dans tout système de coordonnées {u, v, w} sont données sur les trois axes unitaires par:

$a_{u}=[{d \over dt}({\partial T \over \partial {\dot {u}}})-{\partial T \over \partial u}]$

où T désigne V²/2 fonction de u,v,w et de leurs dérivées temporelles.

Appliquez cette formule à tous les systèmes de coordonnées que vous connaissez.

Un exercice très important: l’accélération due à la Lune

On reverra cet exercice aussi dans théorie de la marée (plus loin). La Lune est à d= 60 rayons terrestres et sa masse est 1/80 la masse terrestre. Evaluer l'accélération k .g produite sur un point P juste sous la Lune? puis juste à l'antipode P' : k'.g .

Mais en fait la théorie de Newton est que la Lune attire aussi le centre T de la Terre : ko . g .

Et nous ne subissons que la différence , puisque nous sommes dans "l'ascenseur Terre" : en déduire que l'eau monte en P ET en P'.

Solution :

• k = 1/80 . 1/(59)^2
• k' = 1/80 . 1/(61)^2
• ko = 1/80 . 1/(60)^2

donc en réalité P est attiré par g.1/80 .(2/60^3). P' est attiré vers le "extérieur" par environ la même accélération : il y a donc bien deux marées par 24h50mn. (l'action de la Lune a été écrêtée d'un facteur 2R/d ~ 1/30 , heureusement car sinon nous aurions des marées 30 fois plus grandes! [ Note historique : Galilée qui prétendait avoir compris les marées(1618) n'avait pas bien saisi cet aspect. Il fallût attendre Newton (1687)]