Recueil d'exercices de mécanique élémentaire/Dynamique de Kepler

Lois de Kepler(1571-1630)

Soit à résoudre le problème dit mouvement keplérien :

[ de C.I.(conditions initiales) : ${\vec {OM_{o}}},{\vec {V_{o}}}$].

${\ddot {\vec {r}}}=-\mu {\vec {r}}/r^{3}$

énoncé : Mouvement keplerien

On demande de retrouver les 3 lois de Kepler (cours de Terminales S).

1°/. Montrer que le mouvement est plan, plan défini par les deux vecteurs C.I.(le cas singulier est provisoirement exclu) :

Réponse :

La Conservation du moment cinétique (massique) ${\vec {L}}={\vec {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}(t)$ donne la réponse.

En effet, le champ étant central, la dérivée du moment cinétique est nulle. Donc on aura :

${\vec {L}}={\vec {L_{0}}}=L_{0}\cdot {\vec {k}}={\vec {OM_{0}}}\wedge {\vec {V0}}$.

Donc le rayon vecteur reste dans LE plan perpendiculaire en O au moment cinétique.

2°/. Montrer que dans ce plan, la particule tourne toujours dans le sens direct, à la vitesse aréolaire constante :

Réponse:

Dans ce plan, deux fois la vitesse aréolaire est $r^{2}\cdot {\dot {\theta }}=L_{0}$

$r^{2}\cdot {\dot {\theta }}=L_{0}$

: Moment cinétique constant

Comme on montrera que r ne s'annule jamais, la vitesse angulaire reste toujours positive. Jamais la trajectoire ne peut "rebrousser chemin". D'autre part, si l'on sait mesurer la vitesse aréolaire, on a une HORLOGE NEWTONIENNE parfaite, que l'on peut comparer à toute autre horloge newtonienne. Cette deuxième loi (de Kepler) fût trouvée par un examen minutieux des données sur le mouvement de la planète Mars, recueillis par Tycho Brahé(1546-1601).

Remarque historique :

il fût un temps assez court(1949-1961) où les institutions internationales avaient choisi cette définition du TEMPS. La réalisation de cette horloge était : mesurer au mieux le mouvement quasi-keplerien de la Terre autour du Soleil (après correction de toutes les perturbations possibles :influence de la Lune , des autres planètes, corrections relativistes, etc.).

3°/. Le champ étant central, montrer que l'énergie mécanique massique h (on dit énergie hamiltonienne h en astronomie) est conservée :

Réponse :

En effet l'énergie potentielle (prise nulle à l'infini vaut) = $-{\mu \over r}$.

Donc, $h=h_{o}={v^{2} \over 2}-{\mu \over r}$ .

$h=h_{o}={v^{2} \over 2}-{\mu \over r}$

: Energie constante

Conclusion : le mouvement est parfaitement défini par les deux équations différentielles précédentes.

Mentalement, on doit penser ainsi : comme l'angle polaire est fonction monotone du temps newtonien , il fournit une "échelle de temps ". Ceci permet d'obtenir l'équation polaire de la trajectoire, via une équation-différentielle-de-Newton. N'importe quelle autre échelle de temps qui simplifierait le problème serait aussi bienvenue. On verra que L/r est aussi une "bonne échelle de temps".

4°/ Bien que le problème soit virtuellement terminé, il est classique de constater qu'il existe trois autres intégrales premières : Hermann(1713) , Bernoulli et Newton peu après, Laplace , Runge , Lenz , Hamilton, Maxwell, Pauli , beaucoup de noms prestigieux sont attachés à cette intégrale première appelée en astronomie : vecteur excentricité :

${\vec {e}}=-{\vec {u}}+{\vec {v}}\wedge {\vec {L}}/\mu$

: ${\vec {e}}={\vec {e_{o}}}$

Réponse :

la démonstration la plus simple est : dériver et constater la nullité !

Certains préfèrent réécrire l'équation différentielle avec la variable "échelle de temps $\theta (t)$" :

$L_{o}{d{\vec {v}} \over d\theta }=-\mu {\vec {u}}$

On obtient immédiatement le résultat par intégration : l'hodographe est un cercle! Prendre le produit vectoriel par le vecteur unitaire ${\vec {k}}$ est simplement conventionnel.

5°/. En déduire la première loi de Kepler: la trajectoire d'une planète est une ellipse dont le Soleil est un foyer :

Réponse:

Évidemment, une fois connu le vecteur excentricité, la réponse est banale :

Soit M , la position de la planète définie en coordonnées polaires d'axe dirigé selon le vecteur excentricité. Alors :

${\vec {e}}\cdot {\vec {r}}=e\cdot \ r\cdot cos{\theta }=-r+p$ , avec $p=L_{0}^{2}/\mu$

L'équation polaire est bien celle d'une ellipse de périgée P dirigé vers l'axe des x :

r = p/(1+e.cos$\theta$)

L'apogée A est à 180° , et r y vaut p/(1-e.cos$\theta$)

troisième loi de Kepler

6°/. la troisième loi de Kepler établit que pour une énergie donnée, la périodicité de la révolution ne dépend pas de l'excentricité e mais seulement du grand axe :

$\Omega ^{2}\cdot a^{3}=\mu$

: Troisième loi de Kepler

Le démontrer.

Réponse :

L'aire de l'ellipse est S = Pi.a.b et S/T = Lo/2. Elever au carré, puis éliminer b²/a = p = Lo²/$\mu$.

7°/ cet exercice se complète usuellement par l'équation du temps de Kepler :

Trouver r(t) et $\theta (t)$.

Réponse :

Il n'y a pas de formules très simples. On sait dire simplement ceci : soit l'équation de l'ellipse prise en son centre : x= a cos(u) et y = b sin(u) . L'angle u est appelé anomalie excentrique. La géométrie montre "aisément que :

$r(t)=a-c\cdot \cos {u}$ et $tan{\theta  \over 2}=tan{u \over 2}\cdot {\sqrt {1+e \over 1-e}}$

La vitesse aréolaire conduit à l'équation du temps :

$\omega t=u-e\cdot sinu$

: Equation du temps de Kepler

Compléments (culturels?) aux lois de Kepler

Il s'agit plus de formules utiles, techniquement utiles :

1/.le grand axe 2a ne dépend que de l'énergie et pas de Lo : 2a = $\mu \over -h_{o}$

2/.le paramètre p ne dépend que de Lo et pas de l'énergie  : p = Lo²/$\mu$.

Pour retrouver ces deux formules, il suffit de prendre le cas circulaire e=0.

3/.L’excentricité e/-e échange périgée et apogée , càd seulement le CHOIX des axes.

e²-1 = 2 Lo².$h_{o} \over \mu$

4/.Souvent e est petit (<0.1); Alors le tracé de l'ellipse ne se distingue pas d'un cercle ; Mais le foyer se voit très nettement à droite du centre C : CO = c = a.e .

D'autre part, on a approximativement la position au temps t de la planète en écrivant que le mouvement est angulairement uniforme autour de O' , deuxième foyer de l'ellipse (règle de l'équant de Ptolémée).

La règle suivante est utile (La Hire): à partir de O tracer un cercle de rayon a (le "déférent"), décrit à vitesse uniforme (point I). À partir du point I, construire l'épicycle elliptique décrit de manière rétrograde : IM tel que x= -ae cos $\omega t$ et y =2ae sin $\omega t$.

Ceci revient à dire en complexe: $z=ae^{i\omega t}-c+{c \over 2}[e^{2i\omega t}-1]$. C'est, aux notations près, les calculs de Kepler par rapport à ceux de Ptolémée : il fallait bien au moins l'excentricité de Mars pour déceler la différence. Regardez bien cela de près : vous y gagnerez en admiration de Brahé et de Kepler.

Variations temporelles, u = kepler(t,e)

5/. les vitesses :penser du/dt = a/r , c'est ce qui rend "l'échelle de temps u(t)" si pratique.

Rappelons d'autre part que l'hodographe est un cercle :

${\vec {OP}}=\omega ({\dot {x}}/\omega =-(a^{2}/b)sin\theta ;{\dot {y}}/\omega =(a^{2}/b)cos\theta +cste)$..

6/. les valeurs moyennes de r^k se calculent à partir de du/dt = a/r et r= a(1-e.cos u); par exemple <r> = a(1+e²/2)et <r²> = a²(1+3/2 e²)

7/. les valeurs moyennes de 1/r^n se calculent à partir de r = p/(1+e.cos$\theta$) et la cste des aires ; par exemple :théorème du viriel <1/r> = 1/a ; théorème de l'ensoleillement : <1/r²> = 1/ab = $\pi$/S ; etc.

8/. l'inversion de l'équation du temps : u = kepler(t, e) peut se faire de deux façons : par transformée de Fourier puisque c'est une fonction périodique, impaire. Legendre introduisit à cette occasion les fonctions de Bessel :

$e^{ix\cdot sinu}=\Sigma _{\infty }^{\infty }J_{n}(x)e^{iku}$

et trouva donc a/r (paire en t) = $1+2[J_{k}(ke)]\cdot cosk(\omega t)$ et puis u(t) par intégration. La définition des fonctions de Bessel rend "aisément compréhensible" que le même schéma , via une intégration par partie , donnera exp i(mu) à l'aide de $J_{k-m}(ke)\cdot e^{ik(\omega t)}$. Les logiciels de calcul formel donnent alors toute expression du type f(r,$\theta$), gràce à la fonction hypergéométrique. Ces expressions ne sont néanmoins pas très simples (pour les non-initiés ; mais un jour viendra... que la fonction hypergéométrique est un bel instrument !).

9/. L'autre façon , si e est petit , est de résoudre en développement de Taylor en e^n. La très belle formule de Lagrange(1770) , sur l'inversion des fonctions holomorphes (cf Whittaker, p133) s'écrit en posant $\omega t=M$ :

$u=M+{e \over 1!}sinM+etc+{e^{n} \over n!}D^{n-1}sin^{n}(M)+etc$, où D est l'opérateur dérivation.

La recherche du rayon de convergence de cette série a lancé Cauchy sur la prolifique voie des fonctions de la variable complexe. Ceci l'a conduit à la valeur de e suivante :

soit x tel que th x = 1/x , alors e = x/ch x = 0.662...

10/. Hélas donc pour les comètes ! des calculs plus spécialisés ont été faits par Brumberg. 10.bis/. Pourtant ne pas oublier que le cas de la chute libre est e=1 strict et donc z= a(1-cos u) et nt = u - sin u : on a donc le mouvement en paramétrique z(u) et t(u) et on peut même tout écrire comme : nt = f(z) = 2 Arcsin (sqrt(z/2a))-2 sqrt[(z/2a)(1-z/2a)]: oui !! clairement la singularité est nt ~ u^3/6 et z/a ~ u^2/2 (une vieille connaissance maintenant!)et à l'autre bout, devinez : z= 2a -1/2 g t² , n'est-ce pas joli ?

11/. hélas aussi! ce n'est point tant ces belles (?) formules qui servent si l'on doit fabriquer des éphémérides : on préfère un calcul RAPIDE de u(t)= kepler(t, e): trois cents ans de recherche n'ont toujours pas épuisé le sujet : "à vous de jouer et de trouver mieux" (cf COLWELL, déjà cité dans la WP). Ces recherches ne sont pas vanités : on sait remonter les éphémérides terrestres jusqu'au Néogène, ce qui a permis aux astronomes de fournir une échelle GÉOLOGIQUE très utile (échelle 2004), surprenante retombée d'un problème de cosmogonie où se sont succédé, après Aristarque, Ptolémée, Copernic, Kepler et NEWTON. La prochaine étape, si vous trouvez mieux, permettra avec des processeurs 128 bits de remonter au jurassique, soit il y a 65 Ma : les géologues sont demandeurs !

Exercices Kepler

1/. Le premier des exercices à faire est d'observer soigneusement une trajectoire de faible excentricité pour s'apercevoir à quel point il est difficile de la distinguer d'un cercle , MAIS que par contre il est très visible que le mouvement n'est pas uniforme , et que la règle de l'épicycle de la Hire donne une meilleure précision que la règle de Ptolémée. IL FAUT AVOIR FAIT SOI-MÊME CE DESSIN (prendre e = 0.1 par exemple et 2a = 20cm).

Réponse :

2/. le deuxième exercice fondamental est de comprendre ce que veut dire synodique : on prendra une planète fictive M , orbitant avec une période de 2ans , et une fictive V de période 0.5 an (on prendra toutes les excentricités égales à e=0.1). On tracera sur un logiciel graphique T(t), M(t) et V(t); puis à T(t) bloqué (référentiel synodique), le mouvement de M(t) et de V(t). On peut aussi "stroboscoper le mouvement de M et de V juste au moment où T repasse à son périgée : si on est rigoureusement à la résonance 1:2 ou 2:1 que voit-on (ne pas oublier e= 0.1)?

Réponse :

3/. Mercure a ceci de particulier que son excentricité est assez grande et que son pivotement fait qu'un jour dure deux ans (résonance dite 3:2). Montrer qu'il y a des mercuriens qui voient le soleil se lever, puis se coucher et se lever à nouveau . D'autres, à la longitude +Pi/2 ,voient 3 midis par jour.

Réponse :

4/. En fait, l'objet le plus perturbant du système solaire est Jupiter. À quelle orbite correspond la résonance 1:2 de la ceinture des astéroïdes ? Comment interprétez-vous la non-formation de planète à cet endroit? Pouvez-vous tracer d'autres orbites correspondant à des vides (les gaps de Kirkwood(1842?)). Montrer que Saturne n'est pas loin de la résonance 5/2.

5/. Moltchanov fût un des premiers à remarquer ce surnombre de "rationnels" dans le système solaire. Il y avait donc des résonances m:(m+1) et plus généralement m:(m+k) d'ordre e^k en excentricité. Compte-tenu du fait que tout irrationnel est "proche" d'un rationnel, montrer que cette dépendance en e^k "sauve" la remarque de Moltchanov. En dessinant la trajectoire (e = 0.1) d'un résonnant M de Jupiter intérieur, montrer que la distance MJ est périodique : de quelle période pour une résonance m:(m+k)?

Autres exercices en vrac

6/. Quand la Terre est à son périgée, on envoie depuis l'apogée un petit satellite S exactement sur la même trajectoire dans le même sens. On demande de tracer l'angle (OT,OS) , O étant le soleil, au cours du temps sur un an . Pouvez-vous en trouver le développement de Fourier?

Réponse :

7/. Dans l'exercice précédent, le satellite est lancé dans l'autre sens : où rencontre-t-il la Terre. En admettant le choc élastique (càd que le satellite ferait un demi-tour autour de la Terre), le satellite sortirait-il du système solaire ? Quelle serait sa trajectoire ?

Réponse :

8/. Problème de Gibbs : on donne 3 positions assez voisines d'une comète à trois temps donnés. Déterminer le mouvement de la comète.

Réponse :

9/. Problème de Lambert : on donne 2 positions assez voisines à deux dates : montrer que t2-t1 est lié à OP1, OP2 et la corde P1P2.

Réponse :

10/. Problème de Lagrange : Trois étoiles de masse m1,m2 et m3 tournent en restant à égales distances , formant un triangle équilatéral : période ?

Le problème de la stabilité de cette configuration est délicat. La stabilité linéarisée est donnée par la célèbre règle de Lagrange P < 27 M^2 où P = produit circulaire des masses et M = somme des masses. Dans le cas où une des masses est négligeable quel est le rapport-limite des deux autres ?

11/. O (soleil , J (Jupiter) et T (troyen) forment un triangle équilatéral (on néglige l'excentricité de Jupiter). On lance de Jupiter un petit satellite sur le même cercle mais dans le sens opposé : quand rencontrera-t-il T ? (termS)

12/. problème de Hohmann : Partir de la Terre et atteindre Mars (on néglige les excentricités): quelle sera la trajectoire de la navette N et sa période: montrer que si on veut décharger des paquets(des modules type mars-express) , il faudra soit les ralentir soit les accélérer.

13/. Mars ainsi que la Terre ont leurs excentricités qui varient au cours du temps. Que pourrait-il arriver si elles devenaient trop grandes et décrire un scénario possible ?

Autres exercices type balistique extérieure

On appelle balistique extérieure le lancement d'obus, mais de trajectoires elliptiques et non plus paraboliques , ce qui rend les exercices un peu plus difficiles (disons niveau Saint-Cyr).

1/. Montrer que si Vo est inférieur à la première vitesse cosmique (sqrt(gR), il existe la notion de courbe de sûreté qui cette fois est une ellipse : un point de cette ellipse est évidemment le point H situé à la verticale de la base B, d'altitude h : montrer que 1/h +1/R = 1/ho avec 2gho = Vo².(termS)

2/. Un peu plus dur : trouver qu'il est naturel que cette ellipse ait comme foyers B et le centre de la Terre O . La tracer. Montrer que bien sûr si h = R , Vo = sqrt(gR). Trouver la portée des obus en fonction de l'angle de tir. Montrer que là aussi, il y a deux types de trajectoires , la trajectoire dite tendue et la trajectoire type mortier.

3/. Il s'ensuit tous les problèmes cyrards que vous voudrez : cf la revue de Saint-Cyr.

4/. O, la base B et la cible C forment un triangle équilatéral. Trouver la vitesse minimale de tir. (En général au concours, on peut prendre BOC = theta donné (< Pi)).