Recueil d'exercices de mécanique élémentaire/Système à deux états

Soit un système à deux états ( donc un espace vectoriel dont une base orthonormée est {|1> , |2>}. Un état quelconque est donc représenté par |psi(t)> = A1(t)|1> +A2(t)|2> .

On demande de trouver l'évolution de |psi(t)> sous l'action d'un hamiltonien H de trace nulle (ce qu'il est toujours possible de choisir, sans troubler la généralité , par choix d'origine des énergies).

Réponse

Niveau 1 : position du problème :

L'évolution est régie par le principe fondamental de la dynamique quantique :

$i\hbar \cdot {d \over dt}|\psi (t)>=H|\psi (t)>$

soit deux équations différentielles, linéaires à coefficients constants, couplées en A1(t) et A2(t), qu'il s'agit d'écrire et de résoudre connaissant (A1(0), A2(0)).On appellera le [determinant de H], réel négatif = $-(\hbar \Omega _{0})^{2}$.

Niveau 2 : résolution mathématique :

il est assez facile formellement d'écrire que :

$|\psi (t)>=U(t)|\psi (0)>=e^{-i{tH \over \hbar }}|\psi (0)>$

,

où U(t) est le traditionnel opérateur d'évolution.

et donc,{ puisque par le théorème de Cayley-Hamilton , $H^{2}=I\cdot (\hbar \Omega _{0})^{2}$}, le calcul de cet opérateur d'évoultion est simple :

$U(t)=I\cdot cos\Omega _{0}t-i(H/\hbar \Omega _{0})\cdot sin\Omega _{0}t$

Niveau 3 : pertinence :

1/.Si H est diagonal dans la base choisie , on trouve bien un état stationnaire :

$A1(t)=A1(0)\cdot e^{-i\Omega t}$

$A2(t)=A2(0)\cdot e^{+i\Omega t}$

2/. Si H n'est pas diagonal , il n'y a évidemment pas stationnarité : les deux équations sont couplées. Prenons le système initialement dans l'état |1> (A1(0) = 1), il va périodiquement se retrouver partiellement dans l'état |2> :

$A2(t)=-i(H_{12}/\hbar \Omega _{0})\cdot sin\Omega t$

3/. Si l'état initial est vecteur propre de H , évidemment l'état est stationnaire : on le vérifiera en partant de chacun des deux vecteurs propres de H , soit |I> et |II>.