Recueil d'exercices de mécanique élémentaire/Quelques exercices d'électrostatique

Recueil d'exercices de mécanique élémentaire
Quelques exercices d'électrostatique
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Moment octupolaire d'un cube

Soit un cube de Na+ etCl- de côté 2a : montrer que loin du cube le potentiel (à 1/ 4Pi epsilon près) s'écrit : V(x,y,z) = 120 xyz a^3/ r^7 .

Solution 1 : choisir dans les orbitales f celles qui ont la symétrie du cube : cela donne tout de suite le résultat xyz/ r^7 : il reste à trouver le facteur 120 a^3 . On peut alors développer les 8 termes +(ou-) q/AiM selon la formule usuelle de Legendre : il ne restera que les huit termes :

${5 \over 2}({\vec {OA_{i}}}\cdot {\vec {OM}})^{3}$

soit f(z) = +(x+y+z)^3 - (-x +y+z)^3 + (-x-y +z)^3 - (x-y+z)^3 et -f(-z) donc un polynôme du 3eme degré impair en z , mais aussi en x et en y , donc 48 xyz (fois 5/2) =120xyz

Solution 2 : considérer la formule générale de la distribution dipolaire V(D') = E(D).translation. On part du dipôle 2a ${\vec {}}I$ , on translate selon J de 2a , puis selon K de 2a . On n'aura donc besoin que de la composante J du champ du dipole soit :E_y = 2a 3xy/r^5 d'où le potentiel du quadrupôle : V =2a.E_y = 2a .2a 3xy/r^5 ; on n'a besoin que de la composante K du champ correspondant, soit 2a.2a 3.5 xyz/r^7 d'où le potentiel final : (2a)^3 . 3.5 . xyz/r^7.(solution très élégante de Melba Philips).

Constante de Madelung

Il existe un superbe article de Tissier dans la RMS. D'autre part, la lecture du Crandall et des nombres-period de Kontsevich-Zagier a RADICALEMENT fait évoluer la donne (2010). Ici, on se contente des méthodes classiques.

Calculer la constante de Madelung de la chaîne linéaire d'une mole de NaCl :

Solution : L'énergie est donc du type (en négligeant les effets de bords) 1/2 sigma (qiVi) = 1/2 2N (qo Vo) = - Ne^2/a. 2 .(1-1/2 +1/3 -1/4 +) = -Ne^2/(2a) . 4 Ln2 (Attention : certains prennent la période du cristal , soit 2a , et d'autres la distance Na---Cl = a).

Calculer la constante de Madelung du cristal cubique de NaCl : -Ne^2/a .(1.7476)

Solution : cette fois le décompte est moins simple : le potentiel Vo au centre sera : on compte les carrés des distances de plus en plus grandes et les ions

1 (1,0,0) : +6 (n'existe pas pour la boîte cubique)
2 (1,1,0) : -12 (idem)
3 (1,1,1) : +8
4 (2,0,0) : -6 (idem)
5 (2,1,0) : +24 (idem)
6 (2,1,1) : -24
7 : 0 (regarder pourquoi)
8 (2,2,0) : -12
9 (2,2,1) : +24 et (3,0,0) : +6 (dégénérescence , qui n'existe pas pour la particule dans la boîte cubique)
10 (3,1,0): -24(idem)
11 (3,1,1): +24
12 (2,2,2): -8

Vo = -e^2/a [ 6/1 -12/sqrt(2) +8/sqrt(3) -6/2 +24/sqrt(5) -24/sqrt(6)-12/2sqrt(2) + ...]: désespéré.

d'où

la méthode d'Evjen

(comptage par cellule "neutre"): -1.212 ; puis -1.751 ; c'est plus encourageant. les trois résultats importants sont :

CsCl = -1.76271
NaCl = -1.7476
ZnS = -1.6381

la méthode d'Ewald

Beaucoup plus sophistiquée :l'idée fondamentale est de remplacer chaque charge ponctuelle par une gaussienne, et de considérer que le potentiel d'une gaussienne est q/r .erf(r/sqrt(2 $\sigma$ )qui a le bon comportement à longue distance et donc prendra bien en compte la sommation (si on sait la faire) aux grandes distances (donc la lenteur de la sommation aura disparu). Et bien sûr comme erf(x) + erfc(x) = 1 , on prendra soin du comportement à courte distance par le calcul avec les erfc(x).

Tout ceci exige une bonne connaissance des transformées de Fourier et de la relation de fermeture des ondes planes. Moyennant quoi (cf exo d'électrostatique correspondant), le calcul (reférence par exemple Grosso & Parravicini)donne une sommation sur les cations et sur les anions avec erfc :

V1(0) = $\Sigma _{ca}{e^{2} \over {|{\vec {a}}+{\vec {t}}_{i}|}}erfc({{|{\vec {a}}+{\vec {t}}_{i}|} \over {\sqrt {(}}2)\sigma })-\Sigma _{{\vec {t}}_{i}nonnul}{e^{2} \over |t_{i}|}erfc({|t_{i}| \over {\sqrt {(}}2)\sigma })$

et une autre sommation sur les longues distances , mais qu'on transforme astucieusement via la formule de Poisson en une sommation sur le réseau réciproque (donc sur de courts nombres d'ondes) :

V2(0) = ${-2e^{2} \over {\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}$ + ${4\pi e^{2} \over \Omega }$ $\Sigma _{{\vec {k_{i}}}nonnul}(1-e^{-i{\vec {k}}_{i}{\vec {a}}}){1 \over k_{i}^{2}}e^{-k_{i}^{2}\cdot \sigma ^{2}/2}$ .

Un bon exercice est de vérifier le premier exercice (celui de la ligne : 2 Ln2): bien du plaisir !

Électrostatique de la charge d'Ewald

Pour mieux comprendre l'exercice précédent, une petite mise en jambe est nécessaire : Se rappeler au moins la formule fondamentale du cours sur les gaussiennes :

$<e^{ikx}>=<coskx>=e^{-k^{2} \over 2}$

Exercice : montrer qu'une charge à l'origine , gaussienne ( de largeur $\sigma$

) a pour potentiel $V(r)=q/r\cdot erf(r/{\sqrt {2\sigma ^{2}}})$ , puis vérifier le théorème de Gauss et les théorèmes sur l'énergie.

Exercice : prendre un atome d'Ewald : charge +q à l'origine et électron en orbitale gaussienne :

comparer attentivement avec l'atome 1s . Pourquoi la méthode des orbitales gaussiennes a-t-elle eu un succès aussi immense?