Topologie

Introduction

La topologie est une branche des mathématiques où l'on approfondit la notion de distance, de continuité, de limite, bien que cet aspect géométrique ne soit pas évident au premier abord pour l'étudiant novice. La topologie permet aussi de faire de l'analyse dans des espaces plus abstraits que $\mathbb {R}$ comme des espaces fonctionnels. Il est remarquable de noter qu'aucune connaissance préalable n'est nécessaire à l'apprentissage de ce pan des mathématiques modernes, hormis la théorie des ensembles. Pour un tour d'horizon général de ce sujet, on pourra se reporter à l'article de Wikipédia.

Il serait bon, avant de s'attaquer à la topologie, d'être familiarisé avec certaines notions :

• Analyse réelle
  • Fonctions continues
  • Suites et séries, convergence, divergence.
• Théorie des ensembles
  • Opérations sur les ensembles : union, intersection, passage au complémentaire, loi de Morgan.
  • Relations d'ordre : ensembles ordonnés, relation d'équivalence.
  • Cardinalité : finitude, dénombrabilité et indénombrabilité.
  • Lemme de Zorn et axiome

Notions de topologie générale

Un peu de théorie des ensembles

• Chapitre 1 Aperçu de la théorie des ensembles

Topologie générale

• Chapitre 2.1 Espace topologique
• Chapitre 2.2 Sous-espace topologique
• Chapitre 2.3 Bases d'ouverts
• Chapitre 2.4 Espace métrique
• Chapitre 2.5 Ordre
• Chapitre 2.6 Suites
• Chapitre 2.7 Adhérence, intérieur...
• Chapitre 2.8 Continuité et homéomorphismes

Propriétés topologiques

• Chapitre 2.9 Axiomes de séparation
• Chapitre 3.2 Connexité
• Chapitre 3.3 Connexité par arc
• Chapitre 3.4 Compacité
• Chapitre 3.5 Dénombrabilité

Constructions

• Chapitre 4.1 Espaces produit
• Chapitre 4.2 Espaces quotient

Topologie algébrique

• Chapter 5.1 Groupe libre et représentation d'un groupe
• Chapter 5.2 Le groupe fondamental

Voir aussi

Liens externes

• Cours de classes préparatoires centré sur les espaces vectoriels normés
• Topologie pour la licence
• Topologie algébrique (en anglais)