Topologie/Sous-espace topologique

Topologie induite

Soient $X$ une espace topologique et $A$ une partie de cet ensemble.

Théorème et Définition — La collection ${\mathcal {A}}$ formée des intersections de $A$ avec un ouvert de $X$, est une topologie sur $A$ appelée topologie induite sur cette partie. On dit que $A$ est un sous-espace topologique de $X$ dès lors qu'elle est munie de la topologie induite.

Démonstration

1. Les ensembles $\varnothing$ et $A$ appartiennent à cette collection puisqu'on peut écrire $A=A\cap X$ et $\varnothing =A\cap \varnothing$ avec le vide et $X$ des ouverts de $X$.
2. Soient $U_{1}$ et $U_{2}$ deux éléments de ${\mathcal {A}}$. Montrons que leur intersection reste dans ${\mathcal {A}}$. Comme ils appartiennent tous deux à la collection, on peut trouver deux ouverts $O_{1}$ et $O_{2}$ pour lesquels $U_{1}=A\cap O_{2}$ et $U_{2}=A\cap O_{2}$.
   Puis en remarquant que $U_{1}\cap U_{2}=A\cap (O_{1}\cap O_{2})$ avec $O_{1}\cap O_{2}$ ouvert, il vient que l'intersection appartient à ${\mathcal {A}}$.
3. Soit $(U_{i})_{i\in I}$ une famille d'éléments de ${\mathcal {A}}$. Chacun des $U_{i}$ s'écrivant $A\cap O_{i}$ pour un certain $O_{i}$ ouvert de $X$, en constatant que $\bigcup _{i\in I}U_{i}=A\cap \bigcup _{i\in I}O_{i}$avec la réunion des $O_{i}$ ouverte, cela suffit pour conclure que la réunion de la famille $(U_{i})_{i\in I}$ est aussi un élément de ${\mathcal {A}}$.

Remarque Si $A$ est déjà une partie ouverte, alors les ouverts de sa topologie induite sont aussi des ouverts de la topologie sur $X$.