Algèbre/Théorie élémentaire des ensembles

Ensembles

Définitions : ensemble et élément

Les objets mathématiques sont nommés éléments. Un ensemble est une collection ou un groupement d'éléments.
Soit $E$ un ensemble, quand $a$ est un élément de $E$, nous disons que $a$ est dans $E$ ou que $a$ appartient à $E$ et nous écrivons $a\in E$, ce qui se lit « $a$ appartient à $E$ ». Quant au contraire $a$ n'est pas élément de $E$, nous disons que $a$ n'appartient pas à $E$ et nous écrivons $a\not \in E$, ce qui se lit « $a$ n'appartient pas à $E$ ».

Définition/Notation : ensemble vide

Un ensemble est dit vide s'il n'a aucun élément et nous notons l'ensemble vide $\varnothing$.

Remarque : retenons qu'une chose est un ensemble, si nous pouvons dire si un objet quelconque est ou n'est pas élément de cette chose; concernant l'ensemble vide nous pouvons dire qu' aucun objet n'est élément de cette chose.

Exemples d'ensembles

1. Les entiers naturels $0,1,2,3,...$ forment un ensemble qui se note $\mathbb {N}$.
2. Les entiers relatifs $...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...$ forment un ensemble qui se note $\mathbb {Z}$.
3. Les nombres rationnels (de la forme $p/q$ où $p\in \mathbb {Z}$ et $q\in \mathbb {N} ^{*}$) forment un ensemble noté $\mathbb {Q}$.
4. Les points du plan forment un ensemble.

Définition d'un ensemble en extension et en compréhension

Un ensemble peut être défini en extension, c'est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades, ou en compréhension c'est-à-dire par une propriété caractérisant ses éléments.

La manière la plus simple de décrire un ensemble « fini » est de lister ses éléments entre accolades. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple {1,2} représente l'ensemble dont les éléments sont 1 et 2.

• L' ordre des éléments ne revêt aucune importance; par exemple, {1,2} = {2,1}.
• La répétition d' éléments entre les accolades ne modifie pas l'ensemble; par exemple, {1,2,2} = {1,1,1,2} = {1,2}.

Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d'éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l'ensemble des entiers naturels se définit par : $\mathbb {N}$={0, 1, 2, 3, ...}. Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l'écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l'ensemble {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21} s'écrit plus simplement {1, 3, 5,..., 21}. Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation {entiers pairs} désigne l'ensemble de tous les entiers relatifs multiples de 2. Il est aussi possible de définir un ensemble par une proposition logique P qui dépend de x. L'ensemble est alors constitué de tous les objets x pour lesquels la condition P est vraie. Cet ensemble se note {x / P(x)}. Par exemple, {x/x est un nombre réel} désigne l'ensemble des nombre réels $\mathbb {R}$. Cette notation est appelée « notation de définition d'un ensemble en compréhension ». Quelques variantes de notations de définition d'un ensemble en compréhension sont :

• {x ∈ A / P(x)} désigne l'ensemble des x qui sont déjà éléments de A tels que la condition P soit vérifiée pour ces x. Par exemple, si $\mathbb {N}$ est l'ensemble des entiers, alors {x ∈ $\mathbb {N}$ / x est un entier pair} est l'ensemble de tous les entiers pairs.
• {F(x) / x ∈ A} désigne l'ensemble de tous les objets obtenus en mettant les éléments de l'ensemble A dans la formule F. Par exemple, {2x / x ∈ $\mathbb {N}$} est encore l'ensemble de tous les entiers pairs.
• {F(x) / P(x)} est la forme la plus générale de la définition en compréhension. Par exemple, { propriétaire de x / x est un chien} est l'ensemble de tous les propriétaires de chiens.

Définition : Égalité de deux ensembles

Deux ensembles $E$ et $F$ sont dits égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments et nous écrivons $E=F$. Nous avons

$\forall x,(x\in E\Leftrightarrow x\in F)$

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Sous-ensemble, partie d'un ensemble

Inclusion

Définition

Soient $E$ et $F$ deux ensembles quelconques. Nous disons que $E$ est inclus dans $F$ ou que $E$ est un sous-ensemble de $F$ ou encore que $E$ est une partie de $F$ si tout élément de $E$ est un élément de $F$. Nous écrivons $E\subset F$.
Soit : $(E\subset F)\Leftrightarrow (\forall x\in E,x\in F)$

Exemple : $\mathbb {R} \subset \mathbb {C}$.

Notation

Nous notons ${\mathcal {P}}(E)$, l'ensemble des parties de l'ensemble $E$.

Propositions

1. $(\forall E,\forall F,\left((E\subset F)\land (F\subset G)\right))\Rightarrow (E\subset G)$.
2. $(\forall E,\forall F,\left((E\subset F)\land (F\subset E\right)))\Leftrightarrow (E=F)$.

Démonstrations :

1. Soient $E$,$F$ et $G$ trois ensembles.

Supposons $E\subset F$ et $F\subset G$

Soit $x\in E$, on a $x\in F$ (car $E\subset F$)

De même comme $x\in F$ et $F\subset G$ on a $x\in G$

Donc si $x\in E$ alors $x\in G$ d'où $E\subset G$

2. Soient $E$ et $F$ deux ensembles. L'énoncé $\left((E\subset F)\land (F\subset E\right))$ équivaut à dire que pour tout $x$ on a $x\in E\Leftrightarrow x\in F$. Finalement la propriété annoncée est une reformulation de l'axiome d'extensionalité.

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Opérations sur les ensembles

Intersection

Définition :

Nous appelons intersection de deux ensembles quelconques E et F, l'ensemble des x qui appartiennent à la fois à E et F. Cet ensemble se note $E\cap F$, et nous avons

$E\cap F=\{x/(x\in E)\land (x\in F)\}$.

$E\cap F$ se lit « E inter F ».

Exemple :

Si A={2,3,5,9} et B={0,2,3}, alors leur intersection, est l'ensemble {2,3}.

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques. E et F sont dits disjoints, lorsque leur intersection est vide, c'est-à-dire

$E\cap F=\emptyset$

Remarque :

Il ne faut surtout pas confondre distincts avec disjoints. Deux ensembles disjoints n'ont pas d'élément en commun, alors que deux ensembles distincts peuvent en avoir. Pour que deux ensembles soient distincts il faut et il suffit qu'il existe un élément appartenant à l'un mais pas à l'autre.

Réunion

Définition :

Nous appelons réunion de deux ensembles E et F l'ensemble des x qui appartiennent à E ou à F (éventuellement les deux). Cet ensemble se note $E\cup F$ et nous avons

$E\cup F=\{x/(x\in E)\lor (x\in F)\}$.

$E\cup F$ se lit « E union F ».

Exemple :

Si A={2,3,5,7} et B={0,2,3}, alors leur réunion est l'ensemble {0,2,3,5,7}.

Différence

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques. Nous appelons différence de E et F, l'ensemble des x qui appartiennent à E mais pas à F. Cet ensemble se note $E\backslash F$ et nous avons

$E\backslash F=\{x/(x\in E)\land (x\notin F)\}$.

$E\backslash F$ se lit « E différence F ».

Différence symétrique

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques. Nous appelons différence symétrique de E et F, l'ensemble des x qui appartiennent à E ou à F mais pas au deux à la fois. Cet ensemble se note $E\Delta F$ et nous avons

$E\Delta F=\{x/\left((x\in E)\land (x\notin F)\right)\lor \left((x\in F)\land (x\notin E)\right)\}=(E\cup F)\backslash (E\cap F)$.

$E\Delta F$ se lit « E delta F ».

Complémentaire

Définition :

Soient E un ensemble quelconque et A une partie quelconque de E. Nous appelons complémentaire de A par rapport à E (ou de A dans E) ou encore différence de E et de A, l'ensemble des x qui appartiennent à E mais pas à A. Cet ensemble se note $\complement _{E}A$ ou $E\backslash A$ ou ${\overline {A}}$.

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Propriétés des opérations élémentaires

Propositions :

• L'intersection et la réunion sont idempotentes :
  $\forall A,A\cap A=A$
  $\forall A,A\cup A=A$
• L'intersection et la réunion sont commutatives :
  $\forall A,\forall B,A\cap B=B\cap A$
  $\forall A,\forall B,A\cup B=B\cup A$
• L'intersection et la réunion sont associatives :
  $\forall A,\forall B,\forall C,(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
  $\forall A,\forall B,\forall C,(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$
• L'intersection est distributive par rapport à la réunion :
  $\forall A,\forall B,\forall C,A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
• La réunion est distributive par rapport à l'intersection :
  $\forall A,\forall B,\forall C,A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$.

Demonstrations :

• Soit A un ensemble. $A\cap A=\{x/((x\in A)\,et\,(x\in A))\}=\{x/(x\in A)\}=A$

De même pour la réunion

• Soient A et B deux ensembles.

$A\cap B=\{x/((x\in A)\,et\,(x\in B))\}$

$=\{x/((x\in B)\,et\,(x\in A))\}=B\cap A$

De même pour la réunion

• Soient A, B, C trois ensembles

$A\cap B=\{x/(x\in A)\,et\,(x\in B)\}$

$(A\cap B)\cap C=\{x/((x\in A)\,et\,(x\in B))\,et\,(x\in C)\}$

$=\{x/(x\in A)\,et\,((x\in B)\,et\,(x\in C))\}$

$=A\cap (B\cap C)$

De même pour la réunion

Propositions :

Soit E un ensemble quelconque.

• Double passage au complémentaire :
  $\forall A\in {\mathcal {P}}(E),\complement _{E}\left(\complement _{E}A\right)=A$.
• Lois de Morgan :
  Le complémentaire d'une réunion est l'intersection des complémentaires, et le complémentaire d'une intersection est la réunion des complémentaires, c'est-à-dire
  $\forall A\in {\mathcal {P}}(E),\forall B\in {\mathcal {P}}(E),\complement _{E}\left(A\cap B\right)=\left(\complement _{E}A\right)\cup \left(\complement _{E}B\right)$
  $\forall A\in {\mathcal {P}}(E),\forall B\in {\mathcal {P}}(E),\complement _{E}\left(A\cup B\right)=\left(\complement _{E}A\right)\cap \left(\complement _{E}B\right)$
• $\forall A\in {\mathcal {P}}(E),\forall B\in {\mathcal {P}}(E),A\cap B=\emptyset \Leftrightarrow A\subset \complement _{E}B$
• $\forall A\in {\mathcal {P}}(E),\forall B\in {\mathcal {P}}(E),A\cup B=E\Leftrightarrow \complement _{E}B\subset A$
• $\forall A\in {\mathcal {P}}(E),\forall B\in {\mathcal {P}}(E),A\subset B\Leftrightarrow \complement _{E}B\subset \complement _{E}A$.

Propriétés de la différence symétrique

Propositions :

Soit E un ensemble quelconque.

• Commutativité de la différence symétrique :
  $\forall A\in {\mathcal {P}}(E),\forall B\in {\mathcal {P}}(E),A\Delta B=B\Delta A$.
• $\forall A\in {\mathcal {P}}(E),A\Delta A=\emptyset ,A\Delta E=\complement _{E}A$.
• $\emptyset$ est élément neutre:
  $\forall A\in {\mathcal {P}}(E),A\Delta \emptyset =A$.
• Associativité de la différence symétrique :
  $\forall A\in {\mathcal {P}}(E),\forall B\in {\mathcal {P}}(E),\forall C\in {\mathcal {P}}(E),(A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C)$.
• Distributivité de $\cap$ par rapport à $\Delta$
  $\forall A\in {\mathcal {P}}(E),\forall B\in {\mathcal {P}}(E),\forall C\in {\mathcal {P}}(E),A\cap (B\Delta C)=(A\cap B)\Delta (A\cap C)$.

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Produit d'ensembles

Définitions :

• Soient x et y deux objets. Nous appelons couple (x, y) la suite d'objets dont le premier élément est x et le second y.
• Soient X et Y deux ensembles quelconque. Nous appelons produit cartésien ou produit de X et de Y l'ensemble des couples (x, y) tels que x appartient à X et y appartient à Y. Cet ensemble se note $X\times Y$.

Formellement, le couple $(x,y)$ peut être défini ainsi : si $x$ et $y$ sont deux objets, alors $(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$. Cette définition assure en particulier que $(a,b)=(c,d)\Leftrightarrow (a=c\,\land \,b=d)$.

Remarque :

Attention $(x,y)\neq (y,x)$ en général. Il ne faut surtout pas confondre un couple avec une paire $\left\{x,y\right\}$ pour laquelle nous avons $\left\{x,y\right\}=\left\{y,x\right\}$.

Définitions :

• Soient x₁, x₂, ..., x_n n objets. Nous appelons n-uplet (x₁, x₂, ..., x_n) la suite d'objets dont le premier élément est x₁, le deuxième x₂, ..., et le dernier élément x_n. Ces éléments sont appelés composantes.
• Soient E₁, E₂, ..., E_n n ensembles quelconques. Nous appelons produit cartésien ou produit de E₁ par ... par E_n, l'ensemble des n-uplets (x₁, x₂, ..., x_n) tels que x₁ appartient à E₁, ..., x_n appartient à E_n. Cet ensemble se note $E_{1}\times E_{2}\times \ldots \times E_{n}$.
• Si E₁= E₂=...= E_n sont égaux à un même ensemble E, nous notons Eⁿ plutôt que $E\times E\times \ldots \times E$.

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