Algèbre/Théorie élémentaire des ensembles

Ensembles

modifier

Définitions : ensemble et élément

modifier

Les objets mathématiques sont nommés éléments. Un ensemble est une collection ou un groupement d'éléments.
Soit   un ensemble, quand   est un élément de  , nous disons que   est dans   ou que   appartient à   et nous écrivons  , ce qui se lit «   appartient à   ». Quant au contraire   n'est pas élément de  , nous disons que   n'appartient pas à   et nous écrivons  , ce qui se lit «   n'appartient pas à   ».

Définition/Notation : ensemble vide

modifier

Un ensemble est dit vide s'il n'a aucun élément et nous notons l'ensemble vide  .

Remarque : retenons qu'une chose est un ensemble, si nous pouvons dire si un objet quelconque est ou n'est pas élément de cette chose; concernant l'ensemble vide nous pouvons dire qu' aucun objet n'est élément de cette chose.

Exemples d'ensembles

modifier
  1. Les entiers naturels   forment un ensemble qui se note  .
  2. Les entiers relatifs   forment un ensemble qui se note  .
  3. Les nombres rationnels (de la forme    et  ) forment un ensemble noté  .
  4. Les points du plan forment un ensemble.

Définition d'un ensemble en extension et en compréhension

modifier

Un ensemble peut être défini en extension, c'est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades, ou en compréhension c'est-à-dire par une propriété caractérisant ses éléments.

La manière la plus simple de décrire un ensemble « fini » est de lister ses éléments entre accolades. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple {1,2} représente l'ensemble dont les éléments sont 1 et 2.

  • L' ordre des éléments ne revêt aucune importance; par exemple, {1,2} = {2,1}.
  • La répétition d' éléments entre les accolades ne modifie pas l'ensemble; par exemple, {1,2,2} = {1,1,1,2} = {1,2}.

Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d'éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l'ensemble des entiers naturels se définit par :  ={0, 1, 2, 3, ...}. Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l'écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l'ensemble {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21} s'écrit plus simplement {1, 3, 5,..., 21}. Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation {entiers pairs} désigne l'ensemble de tous les entiers relatifs multiples de 2. Il est aussi possible de définir un ensemble par une proposition logique P qui dépend de x. L'ensemble est alors constitué de tous les objets x pour lesquels la condition P est vraie. Cet ensemble se note {x / P(x)}. Par exemple, {x/x est un nombre réel} désigne l'ensemble des nombre réels  . Cette notation est appelée « notation de définition d'un ensemble en compréhension ». Quelques variantes de notations de définition d'un ensemble en compréhension sont :

  • {xA / P(x)} désigne l'ensemble des x qui sont déjà éléments de A tels que la condition P soit vérifiée pour ces x. Par exemple, si   est l'ensemble des entiers, alors {x  / x est un entier pair} est l'ensemble de tous les entiers pairs.
  • {F(x) / xA} désigne l'ensemble de tous les objets obtenus en mettant les éléments de l'ensemble A dans la formule F. Par exemple, {2x / x } est encore l'ensemble de tous les entiers pairs.
  • {F(x) / P(x)} est la forme la plus générale de la définition en compréhension. Par exemple, { propriétaire de x / x est un chien} est l'ensemble de tous les propriétaires de chiens.

Définition : Égalité de deux ensembles

modifier

Deux ensembles   et   sont dits égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments et nous écrivons  . Nous avons

 

retour à l'algèbre

Sous-ensemble, partie d'un ensemble

modifier

Inclusion

modifier

Définition

Soient   et   deux ensembles quelconques. Nous disons que   est inclus dans   ou que   est un sous-ensemble de   ou encore que   est une partie de   si tout élément de   est un élément de  . Nous écrivons  .
Soit :  

Exemple :  .

Notation

Nous notons  , l'ensemble des parties de l'ensemble  .

Propositions

  1.  .
  2.  .


Démonstrations :
1. Soient  ,  et   trois ensembles.
Supposons   et  
Soit  , on a   (car  )
De même comme   et   on a  
Donc si   alors   d'où  
2. Soient   et   deux ensembles. L'énoncé   équivaut à dire que pour tout   on a  . Finalement la propriété annoncée est une reformulation de l'axiome d'extensionalité.


retour à l'algèbre

Opérations sur les ensembles

modifier

Intersection

modifier

Définition :

Nous appelons intersection de deux ensembles quelconques E et F, l'ensemble des x qui appartiennent à la fois à E et F. Cet ensemble se note  , et nous avons

 .

  se lit « E inter F ».

Exemple :

Si A={2,3,5,9} et B={0,2,3}, alors leur intersection, est l'ensemble {2,3}.

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques. E et F sont dits disjoints, lorsque leur intersection est vide, c'est-à-dire

 

Remarque :

Il ne faut surtout pas confondre distincts avec disjoints. Deux ensembles disjoints n'ont pas d'élément en commun, alors que deux ensembles distincts peuvent en avoir. Pour que deux ensembles soient distincts il faut et il suffit qu'il existe un élément appartenant à l'un mais pas à l'autre.

Réunion

modifier

Définition :

Nous appelons réunion de deux ensembles E et F l'ensemble des x qui appartiennent à E ou à F (éventuellement les deux). Cet ensemble se note   et nous avons

 .

  se lit « E union F ».

Exemple :

Si A={2,3,5,7} et B={0,2,3}, alors leur réunion est l'ensemble {0,2,3,5,7}.

Différence

modifier

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques. Nous appelons différence de E et F, l'ensemble des x qui appartiennent à E mais pas à F. Cet ensemble se note   et nous avons

 .

  se lit « E différence F ».

Différence symétrique

modifier

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques. Nous appelons différence symétrique de E et F, l'ensemble des x qui appartiennent à E ou à F mais pas au deux à la fois. Cet ensemble se note   et nous avons

 .

  se lit « E delta F ».

Complémentaire

modifier

Définition :

Soient E un ensemble quelconque et A une partie quelconque de E. Nous appelons complémentaire de A par rapport à E (ou de A dans E) ou encore différence de E et de A, l'ensemble des x qui appartiennent à E mais pas à A. Cet ensemble se note   ou   ou  .


retour à l'algèbre

Propriétés des opérations élémentaires

modifier

Propositions :

  • L'intersection et la réunion sont idempotentes :
     
     
  • L'intersection et la réunion sont commutatives :
     
     
  • L'intersection et la réunion sont associatives :
     
     
  • L'intersection est distributive par rapport à la réunion :
     
  • La réunion est distributive par rapport à l'intersection :
     .

Demonstrations :

  • Soit A un ensemble.  
De même pour la réunion
  • Soient A et B deux ensembles.
 
 
De même pour la réunion
  • Soient A, B, C trois ensembles
 
 
 
 
De même pour la réunion

Propositions :

Soit E un ensemble quelconque.

  • Double passage au complémentaire :
     .
  • Lois de Morgan :
    Le complémentaire d'une réunion est l'intersection des complémentaires, et le complémentaire d'une intersection est la réunion des complémentaires, c'est-à-dire
     
     
  •  
  •  
  •  .

Propriétés de la différence symétrique

modifier

Propositions :

Soit E un ensemble quelconque.

  • Commutativité de la différence symétrique :
     .
  •  .
  •   est élément neutre:
     .
  • Associativité de la différence symétrique :
     .
  • Distributivité de   par rapport à  
     .


retour à l'algèbre

Produit d'ensembles

modifier

Définitions :

  • Soient x et y deux objets. Nous appelons couple (x, y) la suite d'objets dont le premier élément est x et le second y.
  • Soient X et Y deux ensembles quelconque. Nous appelons produit cartésien ou produit de X et de Y l'ensemble des couples (x, y) tels que x appartient à X et y appartient à Y. Cet ensemble se note  .

Formellement, le couple   peut être défini ainsi : si   et   sont deux objets, alors  . Cette définition assure en particulier que  .

Remarque :

Attention   en général. Il ne faut surtout pas confondre un couple avec une paire   pour laquelle nous avons  .

Définitions :

  • Soient x1, x2, ..., xn n objets. Nous appelons n-uplet (x1, x2, ..., xn) la suite d'objets dont le premier élément est x1, le deuxième x2, ..., et le dernier élément xn. Ces éléments sont appelés composantes.
  • Soient E1, E2, ..., En n ensembles quelconques. Nous appelons produit cartésien ou produit de E1 par ... par En, l'ensemble des n-uplets (x1, x2, ..., xn) tels que x1 appartient à E1, ..., xn appartient à En. Cet ensemble se note  .
  • Si E1= E2=...= En sont égaux à un même ensemble E, nous notons En plutôt que  .


retour à l'algèbre