Topologie/Espace métrique

Définition modifier

On appelle distance sur un ensemble   toute application   qui vérifie pour tous  

1.   (séparation)
2.   (symétrie)
3.   (inégalité triangulaire)

Muni d'une distance, l'ensemble   devient un espace métrique. Pour préciser la distance considérée, on dira s'il y a ambiguïté que   est un espace métrique.

Remarque Une distance est toujours positive, en effet la séparation donne  , avec l'inégalité triangulaire on a   puis avec la symétrie  , d'où  .

Topologie d'espace métrique modifier

On appelle boule ouverte centrée en   et de rayon   l'ensemble   des points qui sont situés à une distance inférieure à   du centre, c'est-à-dire l'ensemble  .

Il est facile de vérifier que l'ensemble des boules ouvertes forme une base de la topologie engendrée par celle-ci (cf. le théorème vu dans la section précédente). On dit que les boules forment une base d'ouverts de la topologie d'espace métrique sur  .
Ainsi, une partie   de   est ouverte si, et seulement si pour tout  , il existe   tel que  . En d'autre termes, en chaque point d'un ouvert on peut trouver une boule ouverte centrée en ce point et contenue dans l'ouvert.