Topologie/Adhérence, intérieur...

On se place dans tout ce qui suit sur un espace topologique $X$ quelconque.

Notion de voisinage

Une partie $V$ de $X$ est un voisinage d'un point $x\in X$ s'il existe un ouvert $O$ tel que $x\in O\subseteq V$. Autrement dit, un voisinage d'un point est une partie de l'espace topologie qui contient un ouvert contenant ce point.

Une caractérisation intéressante des ouverts est la suivante : pour qu'une partie soit ouverte il faut, et il suffit que ce soit un voisinage de chacun de ses points.

Démonstration

L'implication directe est évidente, il suffit de prendre le même ouvert. Réciproquement, supposons qu'une partie $O$ de $X$ soit voisinage de chacun de ses points. Alors pour chaque point $x$ de $O$ il existe au moins un ouvert contenant ce point et contenu dans $O$. Notamment pour éviter l'utilisation de l'axiome du choix, on va noter $O_{x}$ la réunion de tels ouverts (cette réunion existe puisqu'il y a de tels ouverts, au moins un...). Étant une réunion d'ouverts, la partie $O_{x}$ est ouverte. On définit ainsi une famille $(O_{x})_{x\in O}$ d'ouverts et il est facile de vérifier que $O=\bigcup _{x\in O}O_{x}$

Il s'en suit inévitablement que la partie $O$ est ouverte, en tant que réunion arbitraire d'ouverts.

En pratique, cette caractérisation des ouverts sert très souvent pour montrer qu'une partie est ouverte (notamment en présence d'une base d'ouverts), voire même rendre des propriétés topologiques beaucoup plus évidentes...

Les voisinages vérifient des propriétés plutôt remarquables, les voici (leurs démonstrations sont assez directes et ne sont pas très difficiles) :

1. un voisinage d'un point n'est jamais vide
2. l'ensemble $X$ est un voisinage de n'importe lequel de ses points
3. si $V$ est un voisinage d'un point $x$, contenu dans une partie $V'$ de $X$, alors cette partie $V'$ est aussi un voisinage de $x$
4. si $V$ et $V'$ sont deux voisinages d'un même point $x$, il en est alors de même pour leur intersection $V\cap V'$
5. si $V$ est voisinage d'un point $x$, il existe un voisinage $V'$ de ce point tel que $V$ soit voisinage de n'importe lequel des points de $V'$

En fait, l'ensemble des voisinages d'un point forme ce qu'on appelle un filtre (notion que nous n'aborderons pas) sur $X$...

Intérieur

Un point $x$ de $X$ est dit intérieur à une partie $A$ quand cette partie est un voisinage de ce point. On appelle intérieur de $A$ l'ensemble des points qui lui sont intérieur, on le note $A^{\circ }$ ou $\mathrm {Int} (A)$.

Propriété caractéristique — L'intérieur d'une partie est le plus grand ouvert contenu dans cette partie.

Démonstration

Montrons que l'intérieur d'une partie $A$ est un ouvert, pour cela utilisons la caractérisation par les voisinages. Soit $x$ un point dans l'intérieur de $A$.La partie $A$ est alors voisinage de ce point, on peut ensuite exhiber un ouvert $O$ pour lequel $x\in O\subseteq A$. Un tel ouvert est nécessairement inclus dans l'intérieur de $A$. Supposons par l'absurde que ce ne soit pas le cas, il y a alors un point $a\in O$ tel que $a\not \in A^{\circ }$, mais alors $A$ est voisinage du point $a$, donc $a\in A^{\circ }$ ce qui est absurde. Ainsi, $x\in O\subseteq A^{\circ }$ et l'intérieur de la partie $A$ est un ouvert.

Montrons que c'est plus grand inclus dans $A$ (au sens de l'inclusion). Soit $O$ un ouvert inclus dans $A$, on a nécessairement $O\subseteq A^{\circ }$ car si ça n'était pas le cas on aurait un $x\in O$ qui n'appartient pas à $A^{\circ }$. Mais $A$ étant un voisinage de ce point, cela ne peut pas arriver.

Voici quelques propriétés des intérieurs faciles à établir :

1. une partie contient toujours son intérieur
2. une partie est ouverte si, et seulement si elle est égale à son intérieur
3. si on a $A\subseteq B$, l'intérieur préserve la croissance au sens où $A^{\circ }\subseteq B^{\circ }$
4. l'intérieur d'une intersection finie de parties est l'intersection des intérieurs, c-à-d $(A\cap B)^{\circ }=A^{\circ }\cap B^{\circ }$
5. d'une manière générale, l'intérieur d'une intersection est incluse dans l'intersection des intérieurs
6. l'union d'intérieurs est incluse dans l'intérieur de l'union

Adhérence

Un point $x$ de $X$ est dit adhérent à une partie $A$ quand tout voisinage de ce point rencontre $A$, c-à-d pour tout voisinage $V$ de $x$, on a $A\cap V\neq \varnothing$. On appelle adhérence de $A$ l'ensemble des points qui lui sont adhérent, elle est notée ${\overline {A}}$ ou $\mathrm {Adh} (A)$.

Propriété caractéristique — L'adhérence d'une partie est le plus petit fermé contenant dans cette partie.

Démonstration

Commençons par montrer que l'adhérence est un fermé contenant $A$. Il est clair que $A$ est incluse dans son adhérence. Soit $x$ un point dans le complémentaire de l'adhérence de $A$. Il existe alors un voisinage $V$ de $x$ qui ne rencontre jamais $A$, soit $A\cap V=\varnothing$.
On peut ensuite trouver un ouvert $O$ tel que $x\in O\subseteq V$ et un tel ouvert ne peut qu'être dans le complémentaire de l'adhérence, puisque s'il existait un $a\in O$ qui appartient à $\mathrm {Adh} (A)$, on aurait $A\cap O\neq \varnothing$. Mais alors $V$ rencontre $A$, ce qui contredit l'hypothèse de départ.
Ainsi on a trouvé pour chaque point $x$ dans le complémentaire de l'adhérence de $A$, un ouvert $O$ qui satisfait $x\in O\subseteq \mathrm {Adh} (A)^{c}$. Ce qui fait de $\mathrm {Adh} (A)^{c}$ un ouvert, et par conséquent l'adhérence $\mathrm {Adh} (A)$ de $A$ est fermée.

Par ailleurs, c'est le plus petit contenant $A$, puisque si $F$ est un fermé contenant $A$. Prenons $x\in \mathrm {Adh} (A)$, il est impossible pour ce point d'appartenir à $F^{c}$, puisque si $x\in F^{c}$, $F^{c}$ étant ouvert, il est voisinage de ce point adhérent à $A$, donc $F^{c}\cap A\neq \varnothing$ ce qui est impossible compte tenu de l'inclusion $F^{c}\subseteq A^{c}$. Il en résulte alors que $\mathrm {Adh} (A)\subseteq F$, ce qui en fait le plus petit fermé contenant $A$.

Propriétés des adhérences :

1. une partie est toujours contenue dans son adhérence
2. une partie est fermée si, et seulement si elle est égale à son adhérence
3. si on a $A\subseteq B$, alors l'adhérence conserve la croissance avec ${\overline {A}}\subseteq {\overline {B}}$
4. l'adhérence d'une union finie de parties est l'union des adhérences, c-à-d ${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$
5. une union d'adhérences est contenue dans l'adhérence de l'union, l'inclusion pouvant être stricte
6. l'adhérence d'une intersection est incluse dans l'intersection des adhérences

On peut lier les concepts d'adhérence et d'intérieur à travers la propriété suivante :

1. Le complémentaire de l'intérieur est l'adhérence du complémentaire

Point d'accumulation et point isolé

On appelle point d'accumulation d'une partie $A$ tout point $x$ de $X$ qui est adhérent à $A\setminus \{x\}$. On appelle ensemble dérivé de $A$ l'ensemble noté $A'$, des points d'accumulation de $A$. On peut montrer que ${\overline {A}}=A\cup A'$...
Un point sera dit isolé dans $A$ s'il appartient à cette partie sans y être un point d'accumulation.

Bord d'une partie

On appelle bord (ou frontière) d'une partie $A$ l'ensemble $\partial A={\overline {A}}\setminus A^{\circ }$ (l'adhérence privée de l'intérieur). Avec les propriétés de l'adhérence, on peut aussi écrire $\partial A={\overline {A}}\cap {\overline {X\setminus A}}$.

Propriétés du bord :

1. le bord d'une partie est un fermé
2. le bord d'une partie est égal à celui de son complémentaire
3. l'adhérence d'un ensemble correspond à cet ensemble adjoint de sa frontière, c-à-d ${\overline {A}}=A\cup \partial A$
4. l'intérieur d'un ensemble est cet ensemble privé de sa frontière, c-à-d $A^{\circ }=A\setminus \partial A$
5. l'intérieur du bord d'un ouvert (ou d'un fermé par passage au complémentaire) est vide
6. le bord du bord d'une partie est inclus dans le bord de cette partie, c-à-d $\partial \partial A\subseteq \partial A$ (on a égalité si, et seulement si $\mathrm {Int} (\partial A)=\varnothing$)