Topologie/Espace topologique

Définition d'un espace topologique

Une topologie sur un ensemble $X$ est une collection ${\mathcal {O}}$ de parties de $X$ — appelés les ouverts — vérifiant les propriétés suivantes :

1. l'ensemble vide et $X$ sont des ouverts
2. l'intersection de deux ouverts est un ouvert
3. la réunion d'une famille quelconque d'ouverts est ouverte

Muni d'une topologie, l'ensemble $X$ devient un espace topologique. On appellera fermé toute partie de $X$ dont le complémentaire est ouvert.

Remarque : On peut toujours munir un ensemble d'une topologie. On peut considérer la topologie grossière $\{\varnothing ,X\}$, ou encore la topologie discrète qui est simplement l'ensemble de toutes les parties de $X$.

Une topologie ${\mathcal {O}}$ est dite plus fine qu'une deuxième ${\mathcal {O}}'$, si ${\mathcal {O}}'$ est incluse dans ${\mathcal {O}}$. La relation être plus fine que est une relation d'ordre (partiel) sur l'ensemble des topologies d'un ensemble.

Propriétés des ouverts et des fermés

Soit $X$ un espace topologique.

Les parties ouvertes vérifient :

1. l'ensemble vide et $X$ sont des ouverts
2. une intersection finie d'ouverts est un ouvert
3. la réunion d'une famille quelconque d'ouverts est ouverte

Il s'agit essentiellement de la définition, à l'exception du deuxième point, qui se montre aisément par récurrence.

Par passage au complémentaire, les parties fermées vérifient les propriétés suivantes :

1. l'ensemble vide et $X$ sont des parties fermées
2. une réunion finie de fermés est encore un fermé
3. l'intersection d'une famille quelconque de fermés est fermée

Attention le fait de ne pas être ouvert ne signifie pas être fermé, par exemple l'ensemble vide et $X$ sont à la fois ouverts et fermés !