Électricité/Le régime sinusoïdal

Le courant sinusoïdal est de loin celui qui est le plus utilisé à l'heure actuel. C’est notamment celui qui est utilisé pour alimenter nos appareils électriques : toutes les prises de courant d'une maison fournissent un courant alternatif sinusoïdal dont l'amplitude est de 230 Volts (enfin presque, nous verrons cela plus tard). Un courant sinusoïdal est représenté par une fonction de la forme :

• $A$ est l'amplitude maximale du courant.
• $f$ est la fréquence du signal, à savoir l'inverse de sa période $T$.
• $\omega$ est la pulsation, à savoir le produit $2\cdot \pi \cdot f$.
• $\phi$ est la phase, à savoir un décalage vers la gauche ou la droite de la courbe sinusoïdale.

Électricité

La physique de l’électricité

• Les grandeurs électriques : intensité, tension, puissance
• Le passage du courant dans un solide : la résistance

Les circuits électriques

• Les dipôles : générateurs et récepteurs
• Les circuits électriques
• Les lois des circuits électriques

Le régime continu et les circuits résistifs/linéaires

• Les résistors
• Les générateurs : piles, batteries et autres
• Les associations de résistors
• Les circuits linéaires et leurs lois
• Les quadripôles linéaires

Le régime transitoire : bobines et condensateurs

• Le condensateur
• La bobine
• Bobines et condensateurs en série/parallèle
• Les circuits RL, RC, LC et RLC

Le régime alternatif

• Le continu et l'alternatif
• Le régime sinusoïdal
• L'impédance : l'équivalent sinusoïdal de la résistance
• Les quadripôles en régime sinusoïdal
• Le transformateur monophasé
• Les redresseurs

Annexes

• Notions de sécurité électrique

Illustration d'une grandeur sinusoïdale.

$A(t)=A\cdot \sin {(2\pi f\cdot t+\phi )}=A\cdot \sin {(\omega \cdot t+\phi )}$

Signal sinusoïdal, avec l'amplitude A et la période T.

Signal sinusoïdal d'amplitude A, de période T et de phase $\phi$.

Les amplitudes maximales, moyennes et efficaces

Comme tout signal périodique, un signal sinusoïdal a une amplitude maximale, une amplitude crête-crête, une amplitude moyenne, une valeur efficace, etc... Le courant qui circule dans les prises électriques en France possède les propriétés suivantes :

• fréquence de 50 Hz ;
• tension efficace de 230 Volts ;
• tension maximale de 320 Volts ;
• tension crête-crête de 640 Volts.

Amplitudes d'un signal sinusoïdal.

Amplitudes de la tension du secteur.

Pour un signal sinusoïdal "pur", la valeur moyenne est nulle : le courant passe autant de temps dans le positif que dans le négatif, avec une symétrie parfaite des courbes négatives et positives. Sa valeur efficace est égale à :

$A_{eff}={\frac {A_{max}}{\sqrt {2}}}$

Démonstration

Pour démontrer ce résultat, nous devons partir de la définition de la tension efficace : $U_{eff}^{2}={\frac {1}{T}}\cdot \int _{0}^{T}U(t)^{2}\cdot dt$ $U_{eff}^{2}={\frac {1}{T}}\cdot \int _{0}^{T}U_{max}^{2}\cdot \sin {(\omega t)}^{2}\cdot dt$ $U_{eff}^{2}={\frac {1}{T}}\cdot \int _{0}^{T}U_{max}^{2}\cdot \sin {\left({\frac {2\pi }{T}}\cdot t\right)}^{2}\cdot dt$ $U_{eff}^{2}={\frac {1}{T}}\cdot U_{max}^{2}\cdot \int _{0}^{T}\sin {\left({\frac {2\pi }{T}}\cdot t\right)}^{2}\cdot dt$ On effectue alors un changement de variable en remplaçant le temps par un angle dans le calcul du sinus. $U_{eff}^{2}={\frac {1}{2\pi }}\cdot U_{\mathrm {max} }^{2}\cdot \int _{0}^{2\pi }\sin ^{2}\theta \cdot d\theta$ Sachant que $\int _{0}^{2\pi }\sin ^{2}\theta \cdot \mathrm {d} \theta =\pi$, on obtient : $U_{eff}^{2}={\frac {U_{max}^{2}}{2}}$ $U={\sqrt {\frac {U_{max}^{2}}{2}}}={\frac {U_{max}}{\sqrt {2}}}$ Le calcul pour l'intensité donne exactement le même résultat. Vous pouvez vous en rendre compte dans la démonstration précédente, en remplaçant U par I.

Les phaseurs et vecteurs de Fresnel

Représentation complexe d'une sinusoïde.

Représentation complexe d'une tension et d'un courant sinusoïdaux.

Dans ce wikilivre, les grandeurs temporelles sinusoïdales sont exprimées en valeurs complexes. Rappelons que nous travaillons avec des courants sinusoïdaux de la forme $i(t)$ d'amplitude $I_{0}$, de valeur efficace $I$ et qui s'expriment en notation réelle selon l'expression :

$i(t)=I_{0}\cdot \cos(\omega t+\phi )$

Un tel courant peut aussi s'exprimer sous la forme d'un nombre complexe dont le module est $I_{0}$ et l'argument $\varphi$.

Précisément, on l'exprime sous forme complexe comme suit :

${\underline {I(t)}}=I_{0}\cdot e^{j(\omega t+\phi )}=I_{0}\cdot e^{j\phi }\cdot e^{j\omega t}={\underline {I}}\cdot e^{j\omega t}$

Le terme ${\underline {I}}=I_{0}\cdot e^{j\phi }$ est appelé amplitude complexe du courant. Toutes les grandeurs d'un problème donné ayant la même composante temporelle $\exp(j\omega t)$ (le temps s'écoule de la même façon pour toutes les grandeurs), on se contentera d'utiliser dans les calculs et les représentations les amplitudes complexes. Dans notre exemple, l'amplitude complexe ${\underline {I}}$ contient l'amplitude $I_{0}$ (que l'on peut exprimer en fonction de la valeur efficace $I$) et le déphasage $\varphi$ du courant, et s'exprime selon la relation :

${\underline {I}}=I_{0}\cdot e^{(j\varphi )}=I{\sqrt {2}}\cdot e^{(j\varphi )}$

La représentation de Fresnel

L'utilisation d'un diagramme de Fresnel permet de s'affranchir de l'utilisation des nombres complexes et des calculs délicats qui leur sont associés. En effet, les amplitudes complexes des grandeurs y sont représentées par des vecteurs du plan complexe. Dans ce wikilivre, les vecteurs sont reportés dans la représentation de Fresnel de la façon suivante :

• le module du vecteur correspond à la valeur efficace de la grandeur ;
• l'angle correspond à la phase de la grandeur.

A titre d'exemple, nous avons reporté sur la Fig. 1 les représentations de Fresnel des grandeurs suivantes :

${\underline {I}}=I{\sqrt {2}}\exp j\varphi _{1}\qquad (4)$

et

${\underline {V}}=V{\sqrt {2}}\exp j\varphi _{2}\qquad (5)$

Fig. 1 : Représentation de Fresnel dans le plan complexe (a) et en utilisant une grandeur de référence (b). Ces deux représentations sont équivalentes.

Les grandeurs peuvent être reportées de deux façons équivalentes, selon les données et les inconnues du problème :

• Lorsque l'on s'intéresse aux phases des grandeurs, on peut choisir de reporter les grandeurs de manière absolue dans le plan complexe, comme indiqué sur la Fig. 1(a). Dans ce cas, l'axe des abscisses correspond à la partie réelle et l'axe des ordonnées à la partie imaginaire de l'amplitude complexe reportée (à ${\sqrt {2}}$ près puisque nous avons choisi de faire correspondre les modules aux valeurs efficaces).
• Lorsque l'on s'intéresse aux déphasages entre les grandeurs (ce sera souvent le cas dans ce cours), on peut choisir de reporter les grandeurs de manière relative, comme indiqué sur la Fig. 1(b). L'une des grandeurs est choisie en référence : ce choix peut être totalement arbitraire mais est en général dicté par le problème. Dans notre exemple, c'est le courant qui a été choisi comme référence. Remarquons que dans ce cas les axes des abscisses et des ordonnées ne correspondent plus à rien.

Dans ce wikilivre, nous choisissons comme positif le sens de rotation trigonométrique (anti-horaire ou sens inverse des aiguilles d'une montre). Dans notre exemple de la Fig. 1, nous pouvons remarquer que la tension est en avance sur le courant.

La puissance d'un courant sinusoïdal

On peut appliquer les formules de la puissance moyenne, apparente et instantanée en utilisant une tension et un courant alternatif. Pour rappel, ces équations sont les suivantes :

$P(t)=U(t)\cdot I(t)$

$P_{app}=U_{eff}\cdot I_{eff}$

$P_{moyenne}={\frac {1}{T}}\int _{T}P(t)={\frac {1}{T}}\int _{T}U(t)\cdot I(t)dt$

Mais pour faire ces calculs, nous avons besoin de préciser si la tension et le courant varient en même temps, ou si un décalage est présent entre les deux sinusoïdes. Le cas sans décalage correspond à la puissance dissipée par une résistance, comme nous le verrons plus tard dans ce cours. Si les sinusoïdes sont décalées, les calculs deviennent plus compliqués. Nous allons donc voir d'abord le cas où tension et intensité varient en même temps, avant de voir le cas général. Dans les deux cas, nous allons prendre le cas où la tension est purement sinusoïdale, sans terme de phase. Pour cela, il suffit de bien choisir le temps t=0 (l'origine des temps).

Cas où tension et intensité sont en phase, sans décalage.

Cas où tension et intensité, décalées l'une par rapport à l'autre, ne sont donc pas en phase. On voit que l'intensité est ici en retard sur la tension.

Cas où tension et intensité, décalées l'une par rapport à l'autre, ne sont donc pas en phase. On voit que l'intensité est ici en avance sur la tension.

Cas où tension et intensité sont en phase

Si tension et intensité sont en phase (sans décalage), on peut omettre le terme de phase dans les équations. Cette simplification ne change en rien la physique. Cela donne :

$U(t)=U_{max}\cdot \sin {(\omega \cdot t)}$

$I(t)=I_{max}\cdot \sin {(\omega \cdot t)}$

Les puissances qui correspondent sont :

$P(t)=U_{max}\cdot I_{max}\cdot \sin ^{2}{(\omega \cdot t)}$

$P_{app}={\frac {U_{max}}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {I_{max}}{\sqrt {2}}}={\frac {U_{max}\cdot I_{max}}{2}}$

Cas où tension et intensité ne sont pas en phase

Effet du facteur de puissance sur la puissance.

Si tension et intensité ne sont pas en phase (décalées dans le temps), on doit prendre en compte le terme de phase dans les équations. Pour simplifier les calculs, nous allons prendre le cas où la tension est purement sinusoïdale, sans terme de phase. Pour cela, il suffit de bien choisir le temps t=0 (l'origine des temps). Cela donne :

$U(t)=U\cdot \sin {(\omega \cdot t)}$

$I(t)=I\cdot \sin {(\omega \cdot t+\phi )}$

Le calcul de la puissance instantanée donne :

$P(t)=U\cdot \sin {(\omega \cdot t)}\cdot I\cdot \sin {(\omega \cdot t+\phi )}$

$P(t)=U\cdot I\cdot \sin {(\omega \cdot t)}\cdot \sin {(\omega \cdot t+\phi )}$

$P(t)={\frac {U\cdot I}{2}}\cdot \left[\sin {(\omega \cdot t)}+\sin {(2\omega \cdot t+\phi )}\right]$

Si on calcule la puissance moyenne, on trouve :

$P_{moy}={\frac {U\cdot I}{2}}\cdot {\frac {1}{T}}\int _{T}\left[\sin {(\omega \cdot t)}+\sin {(2\omega \cdot t+\phi )}\right]$

$P_{moy}={\frac {U\cdot I}{2}}\cdot \cos {(\phi )}=U_{eff}\cdot I_{eff}\cdot \cos {(\phi )}$

Dans le calcul de la puissance moyenne, le terme $\cos {(\phi )}$ est appelé le facteur de puissance. Vu sa définition, on voit qu'il peut varier entre -1 et 1. Selon sa valeur, la puissance moyenne sera plus ou moins importante. On voit que plus le facteur de puissance est grand (s'approche de 1), plus la puissance moyenne sera proche de sa valeur maximale. Le circuit ne gaspillera donc pas d'énergie et fonctionnera à son régime de croisière. La puissance maximale est atteinte quand le facteur de puissance vaut 1 : on est alors dans le cas où tension et intensité sont en phase. La valeur de la puissance moyenne est alors maximale, sa valeur n'est autre que la puissance apparente. Il faut noter que les deux puissances n'ont pas la même unité : la puissance moyenne se mesure évidemment en watts, alors que la puissance apparente est mesurée en voltampères (VA).

Il est aussi possible de définir une puissance réactive, qui quantifie la différence entre puissance apparente et moyenne. Elle se mesure en en voltampères réactifs (VAr, var, ou VAR). Plus la puissance réactive est importante, plus le circuit réduira sa puissance moyenne par rapport à sa puissance moyenne maximale (apparente). Elle est égale à :

$P_{rea}=U_{eff}\cdot I_{eff}\cdot \sin {(\phi )}={\frac {U_{max}\cdot I_{max}}{2}}\cdot \sin {(\phi )}$

L'intérêt de la puissance réactive est de relier la puissance moyenne avec la puissance apparente, suivant cette équation :

$P_{app}^{2}=P_{moy}^{2}+P_{rea}^{2}$

Relation entre puissance apparente, moyenne (réelle, active) et réactive.

Démonstration

Pour nous en rendre compte, partons de l'identité trigonométrique suivante : $1=\cos {(\phi )}^{2}+\sin {(\phi )}^{2}$ Multiplions par $U_{eff}^{2}\cdot I_{eff}^{2}$ : $U_{eff}^{2}\cdot I_{eff}^{2}=U_{eff}^{2}\cdot I_{eff}^{2}\cdot \left(\cos {(\phi )}^{2}+\sin {(\phi )}^{2}\right)$ Développons : $U_{eff}^{2}\cdot I_{eff}^{2}=\left[U_{eff}\cdot I_{eff}\cdot \cos {(\phi )}\right]^{2}+\left[U_{eff}\cdot I_{eff}\cdot \sin {(\phi )}\right]^{2}$ On peut identifier le premier terme avec la puissance apparente, le second avec la puissance moyenne, et le troisième avec la puissance réactive, ce qui donne la formule à démontrer.