Électricité/Les quadripôles électriques

Certains circuits reçoivent une tension ou un courant sur leur entrée, qui doit donc contenir deux bornes, deux broches. Même constatation pour la sortie, qui fournit une tension, et possède elle aussi deux broches. Ceux-ci sont appelés des quadripôles et ne sont rien de plus que des composants avec quatre broches, dont deux entrées et deux sorties. Ils sont à comparer aux dipôles, vus dans les chapitres précédents, qui n'ont que deux broches. Dans ce chapitre, nous allons étudier ces quadripôles en détail.

Électricité

La physique de l’électricité

• Les grandeurs électriques : intensité, tension, puissance
• Le passage du courant dans un solide : la résistance

Les circuits électriques

• Les dipôles : générateurs et récepteurs
• Les circuits électriques
• Les lois des circuits électriques

Le régime continu et les circuits résistifs/linéaires

• Les résistors
• Les générateurs : piles, batteries et autres
• Les associations de résistors
• Les circuits linéaires et leurs lois
• Les quadripôles linéaires

Le régime transitoire : bobines et condensateurs

• Le condensateur
• La bobine
• Bobines et condensateurs en série/parallèle
• Les circuits RL, RC, LC et RLC

Le régime alternatif

• Le continu et l'alternatif
• Le régime sinusoïdal
• L'impédance : l'équivalent sinusoïdal de la résistance
• Les quadripôles en régime sinusoïdal
• Le transformateur monophasé
• Les redresseurs

Annexes

• Notions de sécurité électrique

Quadripôle.

Courants et tension aux bornes d'un quadripôle.

Les relations en résistance et conductance

Décrire un quadripôle revient à donner les liens entre les tensions et les courants sur ses entrée et sortie. Il existe des relations entre les courants qui traversent un quadripôle et les tensions à ses bornes. Ces relations sont cependant plus complexes que de simples rapports, chaque tension dépendant de deux courants : le courant d'entrée et celui de sortie. On peut définir ainsi plusieurs relations, appelées relations en résistance, en conductance et hybrides. Les premières, celles en résistance, donnent les tensions à partir des courants. Les relations en conductance font l'inverse : elles donnent les courants en fonction des tensions. Les relations hybrides font une espèce d'intermédiaire entre les deux précédentes.

Les relations en résistance

Les relations qui définissent la tension d'entrée $U_{e}$ et la tension de sortie $U_{s}$ sont les suivantes :

$U_{e}=z_{11}\cdot I_{e}+z_{12}\cdot I_{s}$

$U_{s}=z_{21}\cdot I_{e}+z_{22}\cdot I_{s}$

Paramètres des relations en résistance d'un quadripôle linéaire.

Les coefficients de proportionnalités entre tensions et courants ne sont pas exactement des résistances, ce qui fait qu'ils portent des noms spécifiques.

• $z_{11}$ est appelé la résistance d'entrée à vide du quadripôle ;
• $z_{22}$ est appelé la résistance de sortie à vide du quadripôle ;
• $z_{12}$ est appelé la résistance de transfert inverse du quadripôle .
• $z_{21}$ est appelé la résistance de transfert du quadripôle.

Chacun a une interprétation physique précise, qu'il est intéressant de connaître. Commençons par la résistance d'entrée à vide, dont le nom trahit son origine. Il s'agit d'une résistance qui se mesure quand on ne branche rien sur la sortie du quadripôle, qui est en circuit ouvert. Dans ce cas, on peut calculer le rapport entre tension et courant d'entrée, qui n'est autre que la résistance d'entrée à vide.

$(I_{s}=0)\implies z_{11}={\frac {U_{e}}{I_{e}}}$

Résistance de sortie à vide d'un quadripôle.

Il en est de même pour la résistance de sortie à vide, qui est la résistance mesurée sur la sortie quand on ne branche rien sur l'entrée.

$(I_{e}=0)\implies z_{22}={\frac {U_{s}}{I_{s}}}$

La résistance de transfert correspond à la relation entre tension de sortie et courant d'entrée, sous réserve que le courant de sortie soit nul.

$(I_{s}=0)\implies z_{21}={\frac {U_{s}}{I_{e}}}$

La résistance de transfert inverse est le rapport entre tension d'entrée et courant de sortie, sous réserve que le courant d'entrée soit nul.

$(I_{e}=0)\implies z_{12}={\frac {U_{e}}{I_{s}}}$

Précisons rapidement que, pour un quadripôle composé uniquement de composants linéaires, les paramètres $z_{12}$ et $z_{21}$ sont égaux.

Les relations en conductance

Les équations précédentes peuvent être reformulées de manière à définir les courants d'entrée et de sortie en fonction des tensions.

$I_{e}=y_{11}\cdot U_{e}+y_{12}\cdot U_{s}$

$I_{s}=y_{21}\cdot U_{e}+y_{22}\cdot U_{s}$

Les résistances $z_{11}$, $z_{12}$, $z_{21}$ et $z_{22}$ sont alors remplacées par des conductances. Les conductances $y_{11}$, $y_{12}$, $y_{21}$ et $y_{22}$ obtenues sont appelées de la même manière que les résistances associées : conductance d'entrée à vide, de sortie à vide, de transfert, de transfert inverse.

On peut noter que la conductance d'entrée n'est autre que l'inverse de la résistance d'entrée à vide. Même chose pour celle de sortie. Leur interprétation physique est la même que pour les résistances d'entrée/de sortie à vide : ce sont les conductances mesurées sur l'entrée ou la sortie quand l'autre port n'est branché à rien.

$y_{11}={\frac {1}{z_{11}}}$

$y_{22}={\frac {1}{z_{22}}}$

Les relations hybrides

Relations hybrides d'un quadripôle linéaire.

Enfin, la dernière manière de représenter un quadripôle utilise un jeu de paramètres hybrides, prend en entrée le courant d'entrée et la tension de sortie, et calcule les deux autres paramètres.

$U_{e}=h_{11}\cdot I_{e}+h_{12}\cdot U_{s}$

$I_{s}=h_{21}\cdot I_{e}+h_{22}\cdot U_{s}$

Les noms donnés aux paramètres $h_{11}$, $h_{12}$, $h_{12}$ et $h_{21}$ sont :

• $h_{11}$ : résistance d'entrée ;
• $h_{12}$ : gain inverse en tension ;
• $h_{21}$ : gain en courant de transfert ;
• $h_{22}$ : conductance de sortie.

Ce jeu de paramètres sera très utile pour analyser le fonctionnement des transistors, dans quelques chapitres.

Les circuits équivalents

Les relations précédentes permettent de donner un modèle équivalent du quadripôle, à savoir un circuit qui fonctionne de la même manière, du point de vue des tensions et courants.

Le circuit équivalent d'un quadripôle quelconque

Les relations en résistance donnent un circuit équivalent assez simple. Celui-ci comprend deux résistances, une pour la résistance d'entrée et l'autre pour celle de sortie. Il comprend aussi deux générateurs de tension, le premier dont la valeur est le produit $z_{12}\cdot I_{s}$ et le second dont la valeur est de $z_{21}\cdot I_{e}$. Les relations en conductance donnent un circuit avec deux conductances et deux générateurs de courant. Enfin, les relations hybrides permettent aussi de construire un circuit équivalent. Les trois circuits équivalents sont illustrés ci-dessous.

Relations en impédance.
Relations en conductance.
Relations hybrides.

Le circuit équivalent d'un quadripôle linéaire

Dans le cas des circuits linéaires, la résistance de transfert et la résistance de transfert inverse sont égales. Si l'on prend en compte ce fait, on voit qu'une résistance disparaît du circuit équivalent. Finalement, seules trois résistances subsistent. On peut alors les organiser de deux manières différentes, mais équivalentes, qui sont illustrées ci-dessous. On peut passer d'un circuit équivalent à l'autre en utilisant le théorème de Kennely.

Circuit équivalent d'un quadripôle.

Quadripôles en série et en parallèle

Dans les chapitres précédents, nous avons vu qu'il est possible de mettre des dipôles en série ou en parallèle. Nous avons d'ailleurs vu les exemples avec les résistances et les générateurs en série/parallèle. Il est possible de faire la même chose avec les quadripôles, mais le fait qu'ils possèdent quatre broches complique un petit peu la situation. Cette fois-ci, il y a cinq possibilités, et non plus deux (série et parallèle). Le cas le plus simple est celui qui consiste à placer deux quadripôles en cascade, l'entrée de l'un étant connecté sur la sortie de l'autre. Mais il en existe quatre autres, toutes étant illustrées ci-dessous.

Quadripôles en cascade.
Quadripôles en série	Quadripôle en parallèle
Quadripôles en série-parallèle	Quadripôle en parallèle-série