Électricité/Le condensateur

Un condensateur est composé de deux plaques de conducteurs appelées armatures et séparées par un isolant électrique. Formellement, il sert de réservoir à électrons : on peut le remplir d’électrons ou le vider en mettant une tension sur ses entrées. Les charges sont stockées dans les armatures, l'isolant empêchant tout courant entre les armatures, toute fuite. Les charges positives s'accumulent sur une armature, alors que les charges négatives s'accumulent sur l'autre. De plus, la charge sur une armature est l'exact égal de l'autre, en valeur absolue. Pour résumer :

Électricité

La physique de l’électricité

• Les grandeurs électriques : intensité, tension, puissance
• Le passage du courant dans un solide : la résistance

Les circuits électriques

• Les dipôles : générateurs et récepteurs
• Les circuits électriques
• Les lois des circuits électriques

Le régime continu et les circuits résistifs/linéaires

• Les résistors
• Les générateurs : piles, batteries et autres
• Les associations de résistors
• Les circuits linéaires et leurs lois
• Les quadripôles linéaires

Le régime transitoire : bobines et condensateurs

• Le condensateur
• La bobine
• Bobines et condensateurs en série/parallèle
• Les circuits RL, RC, LC et RLC

Le régime alternatif

• Le continu et l'alternatif
• Le régime sinusoïdal
• L'impédance : l'équivalent sinusoïdal de la résistance
• Les quadripôles en régime sinusoïdal
• Le transformateur monophasé
• Les redresseurs

Annexes

• Notions de sécurité électrique

Symbole d'un condensateur parfait et conventions de charges et de tension..

$Q_{armature^{+}}=-Q_{armature^{-}}$

Condensateur, répartition des charges sur les armatures.

Cette explication nous permet de mieux comprendre le comportement d'un condensateur en courant continu, quand il est intégralement chargé. Celui-ci est équivalent à un interrupteur ouvert. En effet, l'isolant du condensateur empêche le courant de traverser le condensateur. SI le condensateur est totalement chargé, la tension à ses bornes est simplement égale à la tension du générateur qui l'alimente. Par contre, le comportement du condensateur est différent quand il se charge ou se décharge.

La capacité d'un condensateur

Relation entre charge et tension aux bornes d'un condensateur.

La quantité de charges stockées dans un condensateur est proportionnelle à la tension, le coefficient de proportionnalité étant appelée la capacité du condensateur, notée $C$. Elle est définie par la relation suivante, avec :

• Q la charge stockée sur les armatures ;
• U la tension aux bornes du condensateur ;
• C la capacité électrique du condensateur.

$Q=C\cdot U$

L'inverse de la capacité d'un condensateur est appelée l'élastance. Elle se note S.

$S={\frac {U}{Q}}$

La relation intensité-tension d'un condensateur

Repartons de l'équation :

$Q=C\cdot U$

En la dérivant par la variable temps, on obtient l'équation suivante :

${\frac {dQ}{dt}}={\frac {d\left(C\cdot U\right)}{dt}}$

Le terme de gauche n'est autre que l'intensité aux bornes du condensateur :

$I={\frac {d\left(C\cdot U\right)}{dt}}$

La capacité du condensateur étant une constante, on a :

$I=C\cdot {\frac {dU}{dt}}$

On peut noter que cette équation permet de retrouver le comportement en régime permanent (quand les tension et courant aux bornes du condensateur ne varient pas). En régime permanent, la tension aux bornes du condensateur est constante, stable, de même que le courant qui le traverse. Dans ce cas, on retrouve un courant d'intensité nulle. En clair, il peut exister une tension aux bornes du condensateur, mais aucun courant ne peut passer à travers le condensateur. Ce qui est le comportement d’un interrupteur ouvert, d'un morceau d'isolant.

L'énergie stockée dans un condensateur

Un condensateur stocke des charges, ce qui implique qu'il stocke de l'énergie. Ajouter des charges dans un condensateur demande en effet de déplacer celles-ci dans les armatures, ce qui utilise de l'énergie. Pour cela, il faut placer une tension à ses bornes, ce qui entraînera les charges vers le potentiel le plus bas, à savoir dans l'armature. Le déplacement des charges n'est autre qu'un courant, dont l'intensité est connue. Et qui dit tension et intensité dit puissance, puissance qui est ici utilisée pour ajouter les charges à l'armature. En clair, l'énergie stockée dans un condensateur n'est autre que l'énergie qu'il a fallu fournir pour charger les armatures avec la charge Q.

Contrairement à ce que l'intuition nous dit, l'énergie stockée dans un condensateur n'est pas proportionnelle au nombre de charges. Cela est du au fait qu'ajouter une charge demande plus d'énergie que l'ajout de la précédente. On peut comprendre cela assez intuitivement en partant d'un condensateur vide, sans charges sur les armatures. L'ajout de la première charge est celui qui demande le moins d'énergie : il n'y a aucune force de résistance qui empêche la charge d'aller dans l'armature, si ce n'est la résistance des fils. Mais lors de l'ajout de la seconde charge, il faudra vaincre la répulsion électrique de la première charge, ce qui demandera d'utiliser un peu plus d'énergie. Même chose lors de l'ajout de la troisième charge, qui demandera de dépenser de quoi vaincre la répulsion des deux premières charges, et ainsi de suite. Ce faisant, l'ajout d'une nouvelle charge dans le condensateur demande un surplus d'énergie, pour vaincre la répulsion des charges déjà en place. Plus il y a de charges sur les armatures, plus ce surplus d'énergie sera important.

Pour calculer l'énergie stockée dans un condensateur, nous allons partir de la définition de la puissance $P$ :

${\frac {dE}{dt}}=P$

On applique alors la relation $P=U\cdot I$ :

${\frac {dE}{dt}}=U\cdot I$

On applique alors la relation $I=C\cdot {\frac {dU}{dt}}$ pour l'intensité :

${\frac {dE}{dt}}=C\cdot U\cdot {\frac {dU}{dt}}$

On multiplie par $dt$ :

$dE=C\cdot U\cdot dU$

En intégrant, on trouve :

$\int dE=C\cdot \int \left(U\cdot dU\right)$

Ce qui donne le résultat final :

$E={\frac {1}{2}}\cdot C\cdot U^{2}$

Les types de condensateurs

Les condensateurs peuvent être placés dans plusieurs catégories, suivant la forme de leurs armatures.

• Dans les condensateurs plans, ces armatures sont deux plaques plates de métal séparées par un isolant.
• Dans un condensateur cylindrique, les deux armatures ont une forme cylindrique.
• Enfin, dans un condensateur sphérique, les armatures sont des sphères de métal.

Suivant le type de condensateur utilisé, la capacité peut se calculer plus ou moins facilement. Le tableau ci-dessous récapitule les formules de capacité pour chaque type de condensateur. Dans ces formules, le terme $\varepsilon$ est un paramètre appelé la permittivité.

Type de condensateur	Capacité	Illustration
Condensateur plan	$C=\varepsilon \cdot {\frac {A}{d}}$
Condensateur cylindrique	$C=2\pi \varepsilon {\frac {l}{\ln \!\left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)}}$
Condensateur sphérique	$C=4\pi \varepsilon {\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}}}$