Électricité/Les circuits RL, RC, LC et RLC

Dans ce chapitre, nous poursuivons dans la lignée du chapitre précédent, où nous avons vu des circuits construits avec deux composants parmi les résistances, condensateurs et bobines. Mais dans ce chapitre, nous allons voir des circuits construits avec deux composants différents, là où le chapitre précédent étudiait des circuits avec deux composants identiques. Ces circuits sont connus sous les noms de circuits RC, RL, LC et RLC (avec trois composants, pour ce dernier). Le nom de ces circuits donne les composants du circuit : R symbolise une résistance, L une bobine et C un condensateur.

Électricité

La physique de l’électricité

• Les grandeurs électriques : intensité, tension, puissance
• Le passage du courant dans un solide : la résistance

Les circuits électriques

• Les dipôles : générateurs et récepteurs
• Les circuits électriques
• Les lois des circuits électriques

Le régime continu et les circuits résistifs/linéaires

• Les résistors
• Les générateurs : piles, batteries et autres
• Les associations de résistors
• Les circuits linéaires et leurs lois
• Les quadripôles linéaires

Le régime transitoire : bobines et condensateurs

• Le condensateur
• La bobine
• Bobines et condensateurs en série/parallèle
• Les circuits RL, RC, LC et RLC

Le régime alternatif

• Le continu et l'alternatif
• Le régime sinusoïdal
• L'impédance : l'équivalent sinusoïdal de la résistance
• Les quadripôles en régime sinusoïdal
• Le transformateur monophasé
• Les redresseurs

Annexes

• Notions de sécurité électrique

L'étude de ces circuits en régime continu n'a pas grand intérêt, vu que le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert et les bobines comme des fils électriques (interrupteurs fermés). L'intérêt de ces circuits est d'étudier comment ils se comportent quand on les soumet à un échelon de tension, autrement dit lorsqu'on fait brusquement passer la tension à leur borne de 0 à une valeur U. Même chose pour les échelons de courant. Le circuit va alors mettre un certain temps avant d'atteindre un nouvel équilibre : on dit qu'il est en régime transitoire. Durant ce régime transitoire, les condensateurs et bobines ne se comportent plus comme des interrupteurs. Ce n'est qu’après un certain temps que le circuit atteint un nouvel équilibre et qu'on peut l'analyser comme s'il était en régime permanent, dans un état d'équilibre stable. Dans ce qui va suivre, nous allons analyser certains circuits assez connus, dont le régime transitoire est assez intéressant.

Les circuits RC

Le circuit RC est composé d'une résistance, d'un condensateur et d'un générateur. Le générateur est le plus souvent à un courant continu, mais on peut aussi étudier le cas où il est à courant alternatif. Il existe deux versions du circuit RC : celui où la résistance et le condensateur sont placés en série, et celui où ils sont placés en parallèle. Les deux cas sont illustrés ci-dessous et nous allons les étudier en commençant par le circuit série.

Circuit RC série.

Circuit RC parallèle.

Le circuit RC parallèle n'est pas intéressant à étudier avec des tensions ou courants continus. D'après la loi des mailles, la tension aux bornes du condensateur est égale à la tension de la source/générateur. La variation de cette tension étant nulle, celui-ci se charge très rapidement et aucun courant ne passe plus dans le condensateur. Tout le courant passe dans la résistance, ce qui rend ce circuit inutile. Le seul circuit RC à avoir le moindre intérêt est de loin le circuit RC série.

Notations utilisées dans la suite de la section.

Condensateur parfait - convention de charge.

Condensateur parfait - convention de décharge.

La charge d'un condensateur

Maille du circuit RC série.

Dans cette section, nous allons étudier ce circuit et regarder ce qui se passe quand on soumet le montage à une tension continue. Le condensateur peut alors se remplir de charges ou se vider. Nous allons d'abord étudier le cas de la charge d'un condensateur, avant de passer à sa décharge. Nous laissons le cas d'une tension ou d'un courant de charge alternatif pour les chapitres ultérieurs, ceux-ci demandant des outils mathématiques assez complexes.

Dans ce qui va suivre, le circuit RC est soudainement connecté à une tension constante $U$. On commence l'étude du circuit au moment où la tension apparaît, en supposant que le condensateur est initialement vide.

Les équations

Vu qu'il s'agit d'un circuit série, la loi des nœuds nous donne :

$i(t)=i_{c}(t)=i_{r}(t)$

On peut aussi remarquer qu'il n'y a qu'une seule maille dans le circuit RC, ce qui rend son analyse assez simple. La loi des mailles nous donne l'équation suivante :

$U=u_{c}(t)+u_{r}(t)$

On peut calculer la tension aux bornes de la résistance avec la loi d'Ohm :

$U=u_{c}(t)+R\cdot i_{r}(t)$

Le courant dans la résistance est égal à celui dans le condensateur (voir supra), donc :

$U=u_{c}(t)+R\cdot i_{c}(t)$

On applique alors la loi $I=C\cdot {\frac {dU}{dt}}$ pour calculer le courant $i_{c}(t)$.

$U=u_{c}(t)+RC\cdot {\frac {du_{c}(t)}{dt}}$

Quelques manipulations algébriques nous donnent alors l'équation différentielle du premier ordre suivante :

${\frac {du_{c}(t)}{dt}}+{\frac {u_{c}(t)}{RC}}-{\frac {U}{RC}}=0$

Les mathématiques nous disent que la solution d'une telle équation différentielle est obligatoirement de la forme suivante :

$u_{c}(t)=A\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}+B$

Trouver les constantes $A$ et $B$ demande peu de réflexion.

• Après un temps infini, le premier terme sera nul (il tend vers zéro quand t tend vers l'infini). En conséquence, on aura : $u_{c}(t)=B$. Or, après un temps infini, la tension aux bornes du condensateur est celle d'un condensateur totalement chargé : ce n'est autre que la tension du générateur $U$.
• Quand t=0, on a simplement $u_{c}(t)=0$. Dans ce cas, on a : $0=A\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}+B=A+B$. Donc, $A=-B$, ce qui donne : $A=-U$.

L'équation devient donc :

$u_{c}(t)=U-U\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

$u_{c}(t)=U\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)$

Quelques développements supplémentaires nous disent que $\tau =R\cdot C$, ce qui donne :

$u_{c}(t)=U\left(1-e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)$

L'évolution dans le temps

Tension aux bornes d'un condensateur en charge.

Si on dessine le graphe de l'équation précédente, on obtient la figure située à votre droite. On voit que la tension augmente progressivement. On voit aussi que la croissance n'est pas linéaire et que la tension tend vers la tension $U$, sans pour autant l'atteindre (sauf après un temps infini).

Une chose importante est que le produit $\tau =RC$ est une valeur qui gouverne la croissance de la tension. Dans le détail, il s'agit d'une valeur appelée la constante de temps du circuit RC. En effet, le produit RC a la dimension d'un temps. Les équations à base d'unités le montrent assez bien :

$R\cdot C={\frac {U}{I}}\cdot {\frac {Q}{U}}={\frac {Q}{I}}=T$

La figure de droite montre que le condensateur est rempli :

• à 63% au bout d'un temps égal à $\tau$ ;
• à 86.5% au bout d'un temps égal à $2\cdot \tau$ ;
• à 95% au bout d'un temps égal à $3\cdot \tau$ ;
• à 98.2% au bout d'un temps égal à $4\cdot \tau$ ;
• à 99.3% au bout d'un temps égal à $5\cdot \tau$.

Les valeurs de 63, 95 et 99% sont de loin les plus importantes à retenir.

La décharge d'un condensateur

Après avoir vu la charge d'un condensateur, voyons sa décharge. Celle-ci est similaire à la charge, à quelques différences près. Déjà, on peut décharger un condensateur sans avoir besoin d'un générateur dans le circuit : il suffit de connecter les deux bornes du condensateur entre elles, à travers une résistance. En faisant cela, les charges négatives sur l'armature paire vont rejoindre les charges positives sur l'autre armature. Elles vont alors s'annuler, donnant un condensateur totalement déchargé à la fin du processus. Dans ce qui va suivre, les deux bornes du condensateur sont soudainement connectées entre elles, avec une résistance intercalée entre les deux.

Les équations

Vu qu'il s'agit d'un circuit série, la loi des nœuds nous donne :

$i(t)=i_{c}(t)=i_{r}(t)$

On peut aussi remarquer qu'il n'y a qu'une seule maille dans le circuit RC, ce qui rend son analyse assez simple. La loi des mailles nous donne l'équation suivante :

$u_{c}(t)=u_{r}(t)$

On peut calculer la tension aux bornes de la résistance avec la loi d'Ohm :

$u_{c}(t)=R\cdot i_{r}(t)$

Le courant dans la résistance est égal à celui dans le condensateur (voir supra), donc :

$u_{c}(t)=R\cdot i_{c}(t)$

On applique alors la loi $I=C\cdot {\frac {dU}{dt}}$ pour calculer le courant $i_{c}(t)$.

$u_{c}(t)=RC\cdot {\frac {du_{c}(t)}{dt}}$

Quelques manipulations algébriques nous donnent alors l'équation différentielle du premier ordre suivante :

${\frac {du_{c}(t)}{dt}}+{\frac {u_{c}(t)}{RC}}=0$

Sa solution est de la forme :

${\textstyle u_{c}(t)=K\cdot e^{\frac {-t}{\tau }}}$

En se rappelant de la condition initiale $u_{c}(0)=U$, on trouve : $K=U$. On a alors :

${\textstyle u_{c}(t)=U\cdot e^{\frac {-t}{\tau }}}$

L'évolution dans le temps

Tension aux bornes d'un condensateur en cours de décharge.

Si on dessine le graphe de l'équation précédente, on obtient la figure située à votre droite. On voit que la tension diminue progressivement. On voit aussi que la décroissance n'est pas linéaire et que la tension tend vers zéro, sans pour autant l'atteindre (sauf après un temps infini). La figure de droite montre que le condensateur est déchargé :

• à 36.8% au bout d'un temps égal à $\tau$ ;
• à 13.5% au bout d'un temps égal à $2\cdot \tau$ ;
• à 5% au bout d'un temps égal à $3\cdot \tau$ ;
• à 1.8% au bout d'un temps égal à $4\cdot \tau$ ;
• à 0.7% au bout d'un temps égal à $5\cdot \tau$.

Les valeurs de 37, 5 et 1% sont de loin les plus importantes à retenir.

Circuit RL

Les circuits RL sont similaires aux circuits RC, si ce n'est que le condensateur est remplacé par une bobine. Ils sont composés d'une résistance placée en série ou en parallèle d'une bobine. Le circuit avec la bobine en parallèle de la résistance n'est pas intéressant en courant continu. La bobine n'étant pas autre chose qu'un fil électrique en courant continu, la résistance est simplement court-circuitée. Même chose pour le circuit série, une fois que le courant est stabilisé : il est équivalent avec une résistance connectée directement au générateur. Mais le circuit RL est intéressant à étudier quand le régime permanent (stable) n'est pas encore atteint.

Circuit RL série.

Circuit RL parallèle.

Circuit RL série

Circuit RL étudié lors de sa charge.

Étudions maintenant le circuit RL série

Vu qu'il s'agit d'un circuit série, la loi des nœuds nous donne :

$I=i_{l}(t)=i_{r}(t)$

On peut aussi remarquer qu'il n'y a qu'une seule maille dans le circuit, ce qui fait que la loi des mailles donne :

$U=u_{l}(t)+u_{r}(t)$

On peut calculer la tension aux bornes de la résistance avec la loi d'Ohm et celle aux bornes de la bobine par la loi $U_{l}=L\cdot {\frac {dI}{dt}}$. On obtient l'équation différentielle suivante :

$L{\frac {dI}{dt}}+R\cdot I=U$

Les mathématiques nous disent que la solution d'une telle équation différentielle est la suivante, avec $\tau ={\frac {L}{R}}$ :

$I={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)$

On voit que cette équation est identique à celle de la charge d'un condensateur, si ce n'est que la valeur de la constante de temps change et que c'est l'intensité du courant dans la bobine qui est donnée par l'équation (et non la tension). On peut donc reprendre les figures et graphiques obtenus dans la section sur le circuit RC et les appliquer au circuit RL sans problème.

Circuit RL parallèle

Dans le circuit RL parallèle, on a deux mailles : une qui passe par la résistance et une autre par la bobine. On a donc :

$u_{l}(t)-u_{r}(t)=0$

En utilisant les lois $U=R\cdot I$ et $U=L\cdot {\frac {dI}{dt}}$, on obtient :

$L\cdot {\frac {dI(t)}{dt}}-R\cdot I(t)=0$

Les mathématiques nous disent que la solution d'une telle équation différentielle est la suivante, avec $\tau ={\frac {L}{R}}$ :

$I={\frac {U}{R}}\cdot e^{\frac {-t}{\tau }}$

Cette équation est identique à celle de la décharge d'un condensateur, si ce n'est que la valeur de la constante de temps change et que c'est l'intensité du courant dans la bobine qui est donnée par l'équation (et non la tension). On peut donc reprendre les figures et graphiques obtenus dans la section sur le circuit RC et les appliquer au circuit RL sans problème.

Circuit LC

Les circuits LC combinent un condensateur et une bobine, qui sont placés soit en série soit en parallèle.

Circuit LC série.

Circuit LC parallèle.

Circuit LC série

Circuit LC.

Le circuit série est illustré dans la figure de gauche. D'après la loi des mailles, on a :

$U-(U_{L}+U_{C})=0$

En utilisant la formule $U_{L}=L\cdot {\frac {dI}{dt}}$, on a :

$U-L\cdot {\frac {dI}{dt}}-U_{C}=0$

D'après la loi des nœuds, le courant est le même dans tous les récepteurs, et est donc égal au courant qui circule dans le condensateur. On peut alors utiliser la formule $I=C\cdot {\frac {dU_{C}}{dt}}$ pour calculer le courant et sa dérivée, ce qui donne :

$U-LC\cdot {\frac {d^{2}U_{C}}{dt^{2}}}-U_{C}=0$

Illustration de la tension et du courant dans un circuit LC.

Les connaisseurs, qui ont eu une formation en physique, auront remarqué que l'équation est celle d'un oscillateur harmonique et savent ce qui va venir dans la suite. La solution de cette équation différentielle est, d'après les mathématiques, une fonction sinusoïdale :

$u_{c}=E\cdot A\cdot \cos {\left({\frac {t}{\sqrt {LC}}}+\varphi \right)}$

On voit que la tension aux bornes du condensateur est une tension alternative sinusoïdale. Il en est de même aux bornes de la bobine, à cause de la loi des mailles. La tension et le courant sont illustrés dans la figure de droite. La tension sinusoïdale a une fréquence et une période égales à :

$T=2\pi {\sqrt {LC}}$

$f={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}$

Illustration du courant dans un circuit LC.

Circuit RLC

Les circuits RLC combinent une résistance, un condensateur et une bobine, qui sont placées soit en série soit en parallèle. Il existe différentes possibilités pour le circuit RLC :

• soit les trois récepteurs sont en série ;
• soit les trois sont en parallèle ;
• soit deux récepteurs sont en série et l'autre en parallèle :
  • la résistance est en parallèle, la bobine et le condensateur en série ;
  • la bobine est en parallèle, la résistance et le condensateur en série ;
  • le condensateur est en parallèle, la bobine et la résistance en série.

Circuit RLC série.

Circuit RLC parallèle.

Circuit RLC série

Circuit RLC.

Le circuit série est illustré dans la figure de gauche. D'après la loi des mailles, on a :

$U-(U_{R}+U_{L}+U_{C})=0$

En utilisant les formules $U_{R}=R\cdot I$ et $U_{L}=L\cdot {\frac {dI}{dt}}$, on a :

$U-L\cdot {\frac {dI}{dt}}-R\cdot I-U_{C}=0$

D'après la loi des nœuds, le courant est le même dans le tous les récepteurs, et est donc égal au courant qui circule dans le condensateur. On peut alors utiliser la formule $I=C\cdot {\frac {dU}{dt}}$ pour calculer le courant et sa dérivée, ce qui donne :

$LC\cdot {\frac {d^{2}U_{C}}{dt^{2}}}+RC\cdot {\frac {dU_{C}}{dt}}+U_{C}=U$

Si R = 0, le circuit se simplifie en un vulgaire circuit LC comme celui étudié précédemment. Par contre, si R n'est pas nulle, le terme $RC\cdot {\frac {dU_{C}}{dt}}$ agit comme une force de frottement qui amortit les oscillations. Les connaisseurs qui ont eu une formation en physique, auront remarqué que l'équation est celle d'un oscillateur harmonique amorti. De tels systèmes physiques ont une évolution similaire à celle donnée dans la figure ci-dessous. On voit que les oscillations sont progressivement atténuées et voient leur amplitude réduite progressivement.

Oscillations d'un circuit RLC.