Électricité/Les lois des circuits électriques

Les lois de Kirchhoff sont des lois qui permettent de déterminer les intensités et les tensions en tout point d'un circuit. Elles sont au nombre de deux : la loi des mailles concerne les tension et la loi des nœuds concerne les courants. Ce sont des reformulations de deux lois physiques élémentaires dans le cadre des circuits, plus précisément de la conservation de l'énergie et de la charge. Pour comprendre ces lois, nous avons besoin de poser quelques points de vocabulaire :

• Un nœud est un endroit dans un circuit où plusieurs courants se rejoignent et/ou se séparent. Il n'existe pas de nœuds dans les circuits série, mais on en trouve dans les circuits parallèles, aux endroits où deux mailles se séparent.
• Une branche relie deux nœuds entre eux directement, sans nœuds intermédiaires. Les branches peuvent contenir un récepteur ou n'être que de simples fils.
• Une maille est, pour rappel, un chemin qui part d'un point du circuit et y revient sans repasser deux fois par le même fil ou le même récepteur/générateur.

Électricité

La physique de l’électricité

• Les grandeurs électriques : intensité, tension, puissance
• Le passage du courant dans un solide : la résistance

Les circuits électriques

• Les dipôles : générateurs et récepteurs
• Les circuits électriques
• Les lois des circuits électriques

Le régime continu et les circuits résistifs/linéaires

• Les résistors
• Les générateurs : piles, batteries et autres
• Les associations de résistors
• Les circuits linéaires et leurs lois
• Les quadripôles linéaires

Le régime transitoire : bobines et condensateurs

• Le condensateur
• La bobine
• Bobines et condensateurs en série/parallèle
• Les circuits RL, RC, LC et RLC

Le régime alternatif

• Le continu et l'alternatif
• Le régime sinusoïdal
• L'impédance : l'équivalent sinusoïdal de la résistance
• Les quadripôles en régime sinusoïdal
• Le transformateur monophasé
• Les redresseurs

Annexes

• Notions de sécurité électrique

La loi des mailles

La loi des mailles permet de déterminer les tensions aux bornes de chaque composant, dans une certaine mesure. Cette loi dit simplement que la somme des tensions sur une maille est nulle. Il s'agit d'une reformulation d'une propriété de la tension vue dans le premier chapitre. On sait que si on déplace une charge sur ce chemin fermé et si on la ramène à sa position initiale, son énergie ne changera pas entre avant et après le déplacement. Dit autrement, la différence d'énergie entre le départ de la charge et son arrivée sera nulle. La tension étant proportionnelle à cette différence d'énergie, elle doit donc être nulle.

Maintenant, nous devons faire quelques remarques sur la manière d'ajouter les tensions dans une maille. Pour ce faire, on part donc d'un point du circuit et on parcours la maille composant par composant. On ajoute chaque tension au fur et à mesure du parcours, jusqu'à retourner au point de départ. Le théorème dit que la somme des tensions obtenue est nulle. Précisons qu'il faut tenir compte du sens des tensions. Avec la convention récepteur, la tension du générateur est à soustraire, alors que celles des récepteurs sont comptées positivement. Dit autrement, la somme des tensions aux bornes des générateurs est égale à la somme des tensions aux bornes des récepteurs.

Exemple avec un circuit série (une seule maille)

Circuit série avec un générateur et un récepteur.

Pour donner un exemple, prenons le circuit de droite, qui contient un générateur et un récepteur. Le générateur est une batterie et est représenté par le symbole de gauche. Le récepteur est représenté par le symbole de droite (c'est une résistance, mais ce n'est pas important). Ce circuit ne contient que deux tensions : celle aux bornes du générateur et celle aux bornes du récepteur. Les deux tensions sont notées $U_{g}$ pour la tension du générateur et $U_{r}$ pour le récepteur. Vu qu'il n'y a qu'une seule maille, l'analyse est particulièrement simple. Le théorème dit que la somme des tensions est nulle. Dit autrement :

$-U_{g}+U_{r}=0$

On peut reformuler cette équation comme ceci :

$U_{g}=U_{r}$

Par exemple, si le générateur est une pile de 5 Volts et le récepteur une lampe, la tension aux bornes de la lampe sera de 5 Volts.

Second exemple avec un circuit série

Loi des mailles avec deux récepteurs.

Maintenant, prenons un second circuit, illustré par le schéma de droite. Il contient un générateur et deux récepteurs en série. Le générateur est toujours une batterie et est représenté par le symbole de gauche. Les récepteurs sont tous deux représentés par des rectangles. Ce circuit contient trois tensions : celle aux bornes du générateur et deux autres aux bornes des récepteurs. Ces tensions sont notées $U$ pour la tension du générateur, $U_{1}$ et $U_{2}$ pour les récepteurs. Vu qu'il n'y a qu'une seule maille, l'analyse est particulièrement simple. On part donc d'un point du circuit et on ajoute chaque tension au fur et à mesure. Rappelons qu'il faut tenir compte du sens des tensions : la tension du générateur est à soustraire, alors que celles des récepteurs sont comptées positivement. Le théorème dit que la somme des tensions est nulle. Dit autrement :

$-U+U_{1}+U_{2}=0$

On peut reformuler cette équation comme ceci :

$U=U_{1}+U_{2}$

Prenons le cas où le générateur est une pile, et les deux récepteurs des lampes. On suppose que la tension aux bornes de la pile est 5 Volts. On suppose aussi que les deux lampes sont identiques. Dans ce cas, la tension aux bornes de chaque lampe sera de 2.5 Volts. La tensions sera de 5 Volts pour les deux lampes, et se répartira également entre les deux lampes : cela fait bien 2.5 Volts pour chaque lampe.

Deux lampes en série.

Exemple avec un circuit parallèle (plusieurs mailles)

On a vu dans le chapitre sur la tension que la tension entre deux points ne dépend pas du chemin suivi. Si plusieurs chemins ont les mêmes points d'arrivée et de départ, alors la tension entre ces deux points est la même sur tous les chemins. Il ne s'agit que d'un corollaire de la loi des mailles, ou tout du moins d'une reformulation. Une illustration de ce principe est donnée dans le schéma ci-dessous. La tension entre A et B ne dépend pas du chemin suivi, peu importe que celui-ci passe par la première lampe ou la seconde. Donc, les tensions aux bornes des deux lampes sont égales. On peut aussi déduire ce résultat à partir de la loi des mailles assez simplement. Ce circuit contient deux mailles, la première passant par la première lampe et la seconde par l'autre lampe. Ces mailles sont identiques aux mailles séries étudiées plus haut, ce qui fait qu'on peut réutiliser ce qu'on sait de celles-ci. On sait donc que la tension aux bornes de chaque lampe est égale à la tension de la pile. Chose différente de ce qu'on observe avec le circuit série avec deux lampes !

Lampes en parallèles

Une autre illustration est donnée dans le schéma ci-dessous. Le circuit représenté contient plusieurs composants, à savoir des résistances, mais cela n'a pas d'importance pour le moment). On voit qu'il existe trois chemins entre les points A et B : un à gauche, celui du milieu et celui de droite. Dans ce cas, les trois chemins ont une même tension entre leurs extrémités : les trois tensions V1, V2 et V3 sont égales.

Loi des tensions de Kirchhoff (équation)

La loi des nœuds

La loi des nœuds est une reformulation de la conservation de la charge dans un circuit, sous certaines conditions. Cette loi tire son nom du fait qu'elle s'applique au niveau des nœuds du circuit. La loi des nœuds dit que la somme des intensités qui convergent vers un nœud est égale à la somme des intensités qui en divergent.

$\sum \left(i_{sortants}\right)=\sum \left(i_{entrants}\right)$

Exemple d'application

Exemple d'application de la loi des nœuds.

Le circuit à votre droite va servir d'exemple d'illustration. Le nœud étudié est tout simplement le point situé au milieu de l'image. On voit que deux courants convergent sur ce nœud : le courant d'intensité $i_{1}$ et le courant d'intensité $i_{2}$. Deux courants sortent du nœud, en divergent : le courant d'intensité $i_{3}$ et celui d'intensité $i_{4}$. La somme des intensités qui convergent vers le nœud est tout simplement : $i_{1}+i_{2}$. La somme des intensités sortante est tout simplement $i_{3}+i_{4}$. Ces deux valeurs sont égales, ce qui donne : $i_{1}+i_{2}=i_{3}+i_{4}$. Un autre exemple, avec deux courants convergents et deux divergents, sont donnés dans l'image située ci-dessus.

Origine physique

Pour que la loi des nœuds soit valable, il faut qu'aucun composant du circuit ne puisse stocker des charges. En clair, cette loi ne vaut qu'en régime stationnaire. Si cette condition est respectée, la conservation de la charge se traduit par une conservation des courants, par une conservation de leur intensité. Il n'y a pas de pertes d'intensité suite à la scission d'un courant en plusieurs sous-courants. Et cela vaut aussi si le courant se scinde en plus de deux courants : si un courant se scinde en plusieurs sous-courants, la somme des sous-courants donne le courant initial (du point de vue des intensités). Même chose quand plusieurs courants convergents se regroupent en un seul courant : le courant final a une intensité égale à la somme des intensités convergentes. Par exemple, si un courant d'intensité $I_{1}$ se scinde en deux courants d'intensité $I_{2}$ et $I_{3}$, la loi des nœuds dit simplement que $I1=I_{2}+I_{3}$. Idem quand deux courants d'intensité $I_{2}$ et $I_{3}$ se regroupent en un courant d'intensité $I_{1}$.