Mathc matrices/e05c

Produit scalaire

Propriété du produit scalaire canonique dans Rⁿ

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'Propriétés par axioms :

• <u,v> = <v,u> ......................... [Symmetry axiom]
• <u+v,w> = <u,w>+<v,w> ......... [Additivity axiom]
• <ku,v> = k<u,v> ...................... [Homogeneity axiom]
• <u,u> = 0 if and only if u = 0 ... [Positivity axiom]

Propriétés par définitions :

• <0,v> = <v,0> = 0
• <u,v+w> = <u,v>+<u,w>
• <u,v-w> = <u,v>-<u,w>
• <u-v,w> = <u,w>-<v,w>
• k<u,v> = <u,kv>

Propriétés :

• Cauchy-Schwarz : |<u,v>| <= ||u|| ||v||
• 2||u||^2 + 2||v||^2 = ||u + v||^2 + ||u - v||^2
• ||u||^2 + ||v||^2 - ||u - v||^2 = 2 * <u,v>

Exemple à modifier :

• <u,v> = v_t u
• <kv,w> = k<v,w>
• <u+v,w> = <u,w>+<v,w>
• ||u|| = sqrt(u^t.u)
• d(u,v) = (<u-v,u-v>)^1/2
• ||u-kv||
• cos(alpha) = <u,v>/(||u|| ||v||)