Les suites et séries/Version imprimable

Les suites et séries

Une version à jour et éditable de ce livre est disponible sur Wikilivres,
une bibliothèque de livres pédagogiques, à l'URL :
https://fr.wikibooks.org/wiki/Les_suites_et_s%C3%A9ries

Vous avez la permission de copier, distribuer et/ou modifier ce document selon les termes de la Licence de documentation libre GNU, version 1.2 ou plus récente publiée par la Free Software Foundation ; sans sections inaltérables, sans texte de première page de couverture et sans Texte de dernière page de couverture. Une copie de cette licence est incluse dans l'annexe nommée « Licence de documentation libre GNU ».

Les suites numériques

Les suites sont des outils mathématiques assez généraux, que l'on peut définir comme des suites d'objets mathématiques, placés dans un certain ordre.. Les exemples les plus simples sont de loin les suites de nombres. Les suites les plus simples sont de banales suites de nombres, comme on peut en trouver dans des tests de QI ou dans diverses énigmes mathématiques. Par exemple, ceci est une suite : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... L'exemple précédent est une suite numérique, à savoir une suite de nombres (numérique = nombre). On a bien des objets mathématiques, ici des nombres, placés dans un certain ordre. Il ne faut pas plus pour obtenir une suite !

Mais les suites numériques ne sont pas les seules : il existe de nombreux autres types de suites, comme des suites de fonctions, de polynômes, ou autres. Après tout, rien n’empêche de ranger des fonctions mathématiques dans un certain ordre, ou d'ordonner des polynômes, bref : tant que l'on met des truc mathématiques dans un certain ordre, on obtient une suite. Le terme objet mathématique est volontairement vague, l'objet mathématique en question pouvant être n'importe quoi. Les objets mathématiques d'une suite, qu'ils soient des nombres ou non, sont nommés les termes de la suite. Une suite est donc un ensemble de termes rangés dans un certain ordre.

Pour définir une suite, il faut naturellement préciser ses termes, mais pas seulement : il faut aussi préciser dans quel ordre sont rangés les objets mathématiques. Pour rendre compte de cet ordre, les termes de la suite sont numérotés dans leur ordre dans la suite. Chaque terme est associé à un nombre qui définit sa place dans la suite, ce nombre étant appelé le rang du terme dans la suite, ou encore son indice. Dans la quasi-totalité des cas, la numérotation des termes commence à partir de 1. Cette convention est intuitive : le premier terme a pour rang 1, le second est de rang 2, et ainsi de suite. Cependant, rien n’empêche de commencer à compter non à partir de 1, mais à partir d'un autre rang. Il est par exemple possible de commencer à compter les rangs à partir de 0 : cette convention est notamment très utilisée par les informaticiens, quand ils doivent manipuler des suites. Dans tous les cas, le énième terme de la suite est appelé le terme de rang $n$. Une petite remarque au niveau des notations :

• le terme de rang $n$ est noté $u_{n}$ ;
• la suite en elle-même est notée $(u_{n})$.

Exemple de suite numérique

Rang $n$	1	2	3	4	5	6	7	...
Terme $u_{n}$	1	2	4	8	16	32	64	...

Exemple de suite de fonctions

Rang $n$	1	2	3	4	5	6	7	8	...
Terme $u_{n}$	$x^{0}$	$x^{1}$	$x^{2}$	$x^{3}$	$x^{4}$	$x^{5}$	$x^{6}$	$x^{7}$	...

Les suites récurrentes et paramétrées

Supposons que vous souhaitiez créer une suite quelconque. Pour cela, vous avez deux méthodes qui fonctionnent bien, la première donnant des suites paramètres, l'autre des suites récurrentes. Il faut noter que les deux types de suites ne sont pas mutuellement exclusifs : certaines suites sont à la fois récurrentes et paramétrées. La plupart des suites que nous allons étudier dans la suite du cours sont dans ce cas.

Les suites paramétrées

Les suites paramétrées sont simplement des suites définies par une fonction mathématique $u_{n}=f(n)$. En clair, construire la suite demande simplement de dire que tel rang est associé à tel terme de manière univoque. Comme exemple de suite paramètres, on peut citer la suite définie par $f(n)=n^{2}$. Celle-ci est illustrée dans le tableau ci-dessous.

La suite numérique définie par $f(n)=n^{2}$

Rang $n$	1	2	3	4	5	6	7	...
Terme $u_{n}$	1	4	9	16	25	36	49	...

Comme autres exemples de suites paramétrées, nous allons prendre les suites de Riemann, des suites où chaque terme est une puissance de l'inverse d'un entier... Pour le dire plus clairement, ce sont des suites de la forme :

$u_{n}={\frac {1}{n^{r}}}$, avec r un coefficient appelé la raison de la suite.

suite harmonique alternée

La suite de Riemann la plus simple est la suite harmonique, la suite de l'inverse des entiers naturels.

$S_{h}=1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},...$

On peut modifier la suite harmonique en inversant les signes d'un terme à l'autre : on obtient alors la suite harmonique alternée.

$S_{h}=1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},...$

Une autre suite de Riemann, que nous étudierons dans les chapitres suivants, est la suite de l'inverse des carrés. Elle est définie par :

$u_{n}={\frac {1}{n^{2}}}=1,{\frac {1}{2^{2}}},{\frac {1}{3^{2}}},{\frac {1}{4^{2}}},{\frac {1}{5^{2}}},...$

Les suites récurrentes

Une autre méthode consiste à définir comment passer d'un terme au suivant. Dans ce cas, la suite est définie par une fonction de la forme $u_{n}=f(u_{n-1})$. On voit que le cas précédent marche dans le cas où chaque terme dépend de la valeur du terme précédent. Mais on peut généraliser au cas où chaque terme dépend de plusieurs termes précédents, avec des fonctions de la forme $u_{n}=f(u_{n-1},u_{n-2},u_{n-3},u_{n-4}...)$. Ces suites sont appelées des suites récurrentes.

Ces suites sont définies par la fonction qui permet de calculer un terme en fonction des précédents, mais pas seulement ! En effet, une même fonction peut donner plusieurs suites, selon le premier terme utilisé. Par exemple, la fonction $u_{n}=2\times u_{n-1}$ peut donner les deux suites (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...) et (3, 6, 12, 24, 48, 96, ...). En plus de préciser la fonction, on doit préciser le ou les premiers termes.

Comme exemple de suite récurrente, nous donnant dans le tableau ci-dessous un exemple de suite récurrente assez simple : celle définie par la fonction $u_{n}=u_{n-1}/2$ et le premier terme 1.

La suite numérique définie par $u_{n}=u_{n-1}/2$ et $u_{1}=1$

Rang $n$	1	2	3	4	5	6	7	...
Terme $u_{n}$	1	0.5	0.25	0.125	0.0625	0.03125	0.015625	...

L'étude des suites récurrentes se limite souvent à trouver une expression non-récurrente (paramétrée), plus simple à manipuler. Quand cela n'est pas possible, il est intéressant d'étudier le comportement de la suite quand n devient grand, pour savoir si les termes grandissent, diminuent, si la suite se stabilise, etc.

L'exemple de la suite de Fibonnaci

Un exemple très connu de suite récurrente est la suite de Fibonnaci, une suite souvent abordée dans les livres de mathématiques récréatives. Elle est apparue pour la première fois dans un problème de mathématiques récréatives impliquait un problème de lapins qui se reproduisent dans un enclos. Ce problème était l’œuvre de par Leonardo Fibonacci, qui donna son nom à cette suite. Voici l'énoncé de ce problème :

«
	Quelqu’un a déposé un couple de lapins dans un certain lieu, clos de toutes parts, pour savoir combien de couples seraient issus de cette paire en une année, car il est dans leur nature de générer un autre couple en un seul mois, et qu’ils enfantent dans le second mois après leur naissance.
	»
	— Leonardo Fibonacci

Si on fait un graphique, on devrait trouver ceci :

Évolution du nombre de lapins en fonction des mois dans le problème de Fibonnaci.

Mais une autre manière de résoudre le problème est de concevoir une suite dont le énième terme donne le nombre de lapins dans l'enclos à l’énième mois. Pour le mois numéro n, on peut calculer le nombre de couples présents dans l'enclos assez simplement : il est la somme du nombre de couples au mois précédent, qui sont encore vivants, et du nombre de nouveaux couples ajoutés par la reproduction. Et ce dernier est égal au nombre de lapins d'il y a deux mois auparavant, car les lapins mettent deux mois à se reproduire. Les deux dernières phrases se résument mathématiquement avec la relation de récurrence suivante :

$u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}$

L'énoncé nous dit que le premier terme de la suite est 1, car il n'y a qu'un seul couple pour le premier mois. Le second terme est identique, car il faut deux mois aux lapins pour se reproduire. Les deux premiers termes de la suite de Fibonacci sont respectivement 1 et 1, ce qui donne la suite suivante. On peut faire commencer la suite avec 0 et 1, mais il s'agit d'une définition alternative presque totalement équivalente.

Fibonacci sequence - optional starting with zero

La suite de Fibonnaci ne paye pas de mine au premier abord, mais elle a des propriétés assez intéressantes, avec notamment des liens avec le nombre d'or. Mais n'en disons pas plus pour le moment.

Les propriétés d'une suite

Les suites ont divers propriétés assez simples, basées sur des définitions somme toute triviales, que nous allons décrire dans cette section. Ces propriétés sont souvent assez importantes mathématiquement et leur présence est source de beaucoup de propriétés ou de théorèmes intéressants. Pour donner un exemple simple, on peut parler de la distinction entre suite finie et infinie. Les suites finies ont un nombre de termes fini et se terminent sur un dernier terme, alors que ce n'est pas le cas des suites infinies, qui ont autant de termes qu'il y a d'entiers naturels. Cette propriété est assez simple à comprendre, mais elle est à l'origine de grandes différences : là où les suites finies possèdent très peu de propriétés mathématiques intéressantes, les suites infinies sont un sujet d'étude très riche. C'en est au point que ce cours ne parlera que des suites infinies, tant elles possèdent de propriétés supplémentaires par rapport aux suites finies ! Et d'autres propriétés simples donnent le même résultat, d'où l'importance de détailler ces propriétés. Les propriétés que nous allons voir permettent de distinguer les suites bornées, croissantes, décroissantes, constantes, monotones, stationnaires, etc.

Les suites majorées, minorées et bornées

Une suite majorée est une suite dont tous les termes sont plus petits qu'une constante définie. Dit autrement, pour tout $u_{n}$, $u_{n}<k$. La constante, plus grande que tous les termes de la suite, est appelée un majorant. On peut cependant préciser que toute suite qui a un majorant en a une infinité ! Par exemple, prenons une suite quelconque qui est majorée par 100 : elle est aussi majorée par 101, 102, 103, etc. Tous les nombres supérieurs à un majorant sont eux-mêmes des majorants. Parmi tous ces majorants, il en existe un qui est plus petit que les autres, ce qui lui vaut le nom de borne supérieure de la suite.

Une suite minorée est une suite dont tous les termes sont plus grands qu'une constante définie. Dit autrement, pour tout $u_{n}$, $u_{n}>k$. La constante, plus petite que tous les termes de la suite, est appelée un minorant. Encore une fois, toute suite qui a un minorant en a une infinité : tout nombre plus petit qu'un minorant est lui-même un minorant. Parmi tous ces minorants, il en existe un qui est plus petit que les autres, ce qui lui vaut le nom de borne inférieure de la suite.

Une suite bornée est une suite qui est à la fois minorée et majorée, ce qui fait que tous les termes de la suite sont pris dans un intervalle.

Illustration d'une suite bornée, qui montre bien les bornes supérieures et inférieures.

Les suites monotones et constantes

Les suites numériques ont souvent des propriétés que d’autres suites n’ont pas forcément, la raison étant que les nombres peuvent être ordonnés : on peut dire si un nombre est supérieur, inférieur ou égal à un autre. Cela permet donc de comparer les termes consécutifs d'une suite. Dans quelques cas, les termes consécutifs d'une suite sont les mêmes, que ce soit dès le début de la suite, ou alors au-delà d'un certain rang.

• Si chaque terme est égal au précédent, la suite est dite constante.
• Il existe des suites qui sont constantes au-delà d'un certain rang, mais pas avant celui-ci : on les appelle des suites stationnaires.

D'autres suites ont des termes différents : chaque terme est plus grand ou plus petit que le précédent.

• Dans le cas où chaque terme de la suite est plus grand que le précédent (pour tout rang $n$, on a : $u_{n+1}>u_{n}$), la suite est dite strictement croissante.
• Dans le cas contraire, on a $u_{n+1}<u_{n}$ pour tout rang $n$ et la suite est dite strictement décroissante.
• Si $u_{n+1}\leq u_{n}$, la suite est dite décroissante.
• Si $u_{n+1}\geq u_{n}$, la suite est dite croissante.

Certaines suites récurrentes sont soit croissantes, soit décroissantes, selon leur premier terme ou la fonction utilisée. Tel est le cas de la suite définie par la relation $u_{n}=u_{n-1}\times 5$ : la fonction est décroissante avec $u_{0}<0$ et croissante avec $u_{0}>0$. Pour éviter de dire qu’une catégorie de suite est soit croissante, soit décroissante, on préfère dire qu’elle est monotone. À noter que certaines suites deviennent monotones au-delà d'un certain rang, mais ne le sont pas forcément avant. Ces suites sont aux suites monotones ce que les suites stationnaires sont aux suites constantes. Mais il faut avouer que ces suites sont assez rares et que nous n'aurons pas à en manipuler beaucoup dans ce cours.

Démontrer qu'une suite est constante, croissante ou décroissante est généralement assez facile.

• Si une suite est croissante, pour tout rang $n$, $u_{n}<u_{n+1}$.
• Si une suite décroissante, pour tout rang $n$, $u_{n}>u_{n+1}$.
• Si une suite est constante, pour tout rang $n$, $u_{n}=u_{n+1}$, on est face à une suite constante.

Une bonne manière pour déterminer la croissance/constance/décroissance d'une suite est de calculer la différence $u_{n}-u_{n+1}$. Son signe varie selon le rang si elle n'est pas monotone, alors qu'il est le même si la suite est monotone. Elle est toujours nulle pour une suite constante, toujours positive si la suite est strictement décroissante, toujours négative pour une suite strictement décroissante. Pour vous donner un exemple type de démonstration de ce genre, nous allons prendre le cas de la suite harmonique, la suite de l'inverse des entiers naturels. La voici :

$S_{h}=1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},...$

Pour montrer qu'elle est décroissante, nous allons calculer $u_{n}-u_{n+1}$, qui vaut alors :

$u_{n}-u_{n+1}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}={\frac {1}{n(n+1)}}$

On voit bien que la différence $u_{n}-u_{n+1}$ est positive : la suite harmonique est donc décroissante.

Les suite périodiques et ultimement périodiques

Une suite périodique forme un cycle, les mêmes valeurs revenant périodiquement au-delà d'un certain rang. De manière générale, une suite périodique est une suite telle que les termes forment une séquence de la forme : $u_{1},u_{2},u_{3},...,u_{p-1},u_{p},u_{1},u_{2},u_{3},...,u_{p-1},u_{p},...$. Le nombre de termes répétés $p$ est appelé la période de la suite. Au fait, si une suite est (ultimement ou non) périodique de période $p$, alors elle est aussi périodique de période $2p$, $3p$, $4p$, $5p$, ... Les suites périodiques sont définies de telle sorte que, quel que soit le rang $n$ : $a_{n+p}=a_{n}$. En voici quelques exemples :

• Les suites constantes sont des suites périodiques de période 1.
• Un autre exemple de suite périodique est la suite définie par $u_{n}=(-1)^{n}$ : $1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,...$, qui a une période de 2.

Les suites ultimement périodiques sont similaires aux suites périodiques, à un détail près : le début de la suite n'est pas périodique, la suite n'étant périodique qu'au-delà d'un certain rang. Par exemple, les suites stationnaires (constantes au-delà d'un certain rang) sont des suites ultimement périodiques de période 1.

Les suites périodiques et quasi-périodiques sont toutes bornées. Cela parait évident à démontrer : chaque période, chaque cycle, ne renferme qu'un nombre limité de valeurs différentes ($p$ valeurs pour être exact), ce qui est incompatible avec une suite non-bornée. Les suites périodiques sont donc bornées entre la plus grande de ces valeurs et la plus petite. Quant aux suites quasi-périodiques, elles possèdent fatalement un nombre fini de termes avant de devenir périodique, ce qui fait que le même raisonnement s'applique.

Il existe des suites pour lesquelles on n'a pas encore réussit à prouver si elles sont ou non (quasi-)périodiques. Le meilleur exemple est la suite de Syracuse, définie par la relation de récurrence suivante  :

$u_{0}=N$

$u_{n+1}={\begin{cases}{\dfrac {u_{n}}{2}}&{\mbox{si }}u_{n}{\mbox{ est pair,}}\\3u_{n}+1&{\mbox{si }}u_{n}{\mbox{ est impair.}}\end{cases}}$

Dans la totalité des cas connus, la suite de Syracuse se stabilise au bout d’un certain temps : la fin de la suite sera une succession de 1, 4, 2, 1, 4, 2, etc. Les tentatives de trouver des contre-exemples se sont retrouvées infructueuses, même en utilisant des ordinateurs très puissants pour tester N jusqu’à des valeurs extraordinairement grandes. Faute de contre-exemples connus à l'heure actuelle, les mathématiciens ont conjecturé que la suite est quasi-périodique pour toutes les valeurs possibles du N initial. Mais à ce jour, les mathématiciens n'en ont pas la preuve et ils n'arrivent pas non plus à démontrer le contraire. La situation est telle que le grand mathématicien feu Paul Erdős a déclaré à propos de cette suite que "Les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes".

Un exemple : les suites arithmético-géométriques

Tout cours sur les suites aborde rapidement les fameuses suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques. Il faut dire que ces suites sont assez utilisées dans de nombreux domaines et il est important de les connaître par cœur. Elles sont de plus assez simples à comprendre, ce qui fait que nous allons les étudier maintenant.

Les suites arithmétiques

Les suites arithmétiques sont des suites où les termes augmentent d'un pas régulier : on compte de 2 en 2, de 3 en 3, de 1.6 en 1.6, de 39 en 39, etc.

Exemple de suite arithmétique de raison 4.

Dit autrement, la différence entre un terme et le suivant est une constante et chaque terme s’obtient en additionnant une constante au terme précédent. En clair, on a :

$u_{n+1}=u_{n}+k$

L'équation précédente peut aussi se réécrire comme suit :

$u_{n}=u_{0}+n\times k$

La constante $k$, le pas de la suite, est appelée la raison de la suite La raison d'une suite arithmétique peut être aussi bien positive que négative, et même nulle ! Et le signe de la raison influence la croissance ou décroissance de la suite.

• Si la raison est nulle, chaque terme est égal au précédent : la suite est constante.
• Si la raison est positive, les termes de la suite ne cessent d'augmenter avec le rang : la suite est croissante.
• Si la raison est négative, les termes diminuent progressivement quand le rang augmente : la suite est décroissante.

Les suites arithmétiques sont donc soit croissantes, soit décroissantes : ce sont donc des suites monotones.

Les suites géométriques

Les suites géométriques sont assez similaires aux suites arithmétiques, la seule différence étant que l'addition est remplacée par une multiplication : chaque terme est un multiple du précédent

Suite géométrique

Une suite de ce type est définie par la fonction de récurrence suivante :

$u_{n+1}=u_{n}\times k$

L'équation précédente peut se réécrire comme suit :

$u_{n}=u_{0}\times k^{n}$

La constante $k$ est encore une fois appelée la raison de la suite et elle peut être aussi bien positive que négative.

Contrairement aux suites arithmétiques, les suites géométriques ne sont pas forcément monotones. Et cette fois-ci, la croissance ou décroissance de la suite ne dépend pas que du signe de la raison, mais aussi de sa valeur. Dans les grandes lignes, tout dépend si la raison est négative ou positive, et si sa valeur absolue est comprise entre 0 et 1.

• Si la raison est positive, la suite est obligatoirement monotone.
  • Si la raison est supérieure à 1, chaque terme sera plus grand que le précédent et la suite est croissante.
  • Si la raison est de 1, chaque terme est égal au précédent : la suite est constante.
  • Si la raison est plus petite que 1 mais malgré tout positive, chaque terme sera plus petit que le précédent, mais reste positif : la suite est décroissante.
• Si la raison est négative, chaque terme positif est suivi d'un négatif et réciproquement : la suite est alors dite alternée.

Cas où la raison est positive.

|

Cas où la raison est négative.

Les suites arithmético-géométriques

Les suites arithmético-géométriques sont des généralisations des suites géométriques et arithmétiques : elles sont en quelque sorte les deux à la fois. Chaque terme se calcule en multipliant le précédent, avant d'ajouter une autre constante. La constante par laquelle on multiplie le terme précédent est appelé la raison de la suite, alors que l'autre constante additionnée est appelée la constante additive.

$u_{n+1}=a\times u_{n}+b$

On peut signaler qu'une suite arithmétique est une suite arithmético-géométrique de raison multiplicative 1, alors qu'une suite géométrique est une suite arithmético-géométrique où la constante additive nulle.

Obtenir l'expression paramétrée de la suite est possible, bien que compliqué. Pour cela, nous allons déterminer la différence entre la suite arithmético-géométrique voulue et une suite géométrique de même raison et de premier terme identique. Nous allons voir ce que cela donne sur un exemple, avant de généraliser.

Rang	Suite géométrique	Suite arithmético-géométrique	Différence entre les deux suites
1	$u_{0}$	$u_{0}$	0
2	$u_{0}\times a$	$u_{0}\times a+b$	$a$
3	$u_{0}\times a^{2}$	$u_{0}\times a^{2}+ab+b$	$ab+b$
4	$u_{0}\times a^{3}$	$u_{0}\times a^{3}+a^{2}b+ab+a$	$a^{2}b+ab+a$
5	$u_{0}\times a^{4}$	$u_{0}\times a^{4}+a^{3}b+a^{2}b+ab+a$	$a^{3}b+a^{2}b+ab+a$
...	...	...	...
n	$u_{0}\times a^{n}$	$u_{0}\times a^{n}+b(a^{n}+a^{n-1}+...+a^{2}+a^{1}+a^{0})$	$b(a^{n}+a^{n-1}+...+a^{2}+a^{1}+a^{0})$
...	...	...	...

On verra dans le chapitre sur les sommes partielles, que $(a^{n}+a^{n-1}+...+a^{2}+a^{1}+a^{0})={\frac {a^{n+1}-1}{a-1}}$. En faisant le remplacement, on a :

$u_{n}=u_{0}\times b^{n}+b\left({\frac {a^{n+1}-1}{a-1}}\right)$

On obtient avec pas mal de manipulations algébriques :

$u_{n}=a^{n}\left(u_{0}-{\frac {b}{1-a}}\right)+{\frac {b}{1-a}}$

Il est possible de démontrer cette relation autrement, bien que la démonstration soit moins intuitive. En voici une démonstration juste en-dessous.

Démonstration

Pour faire cette démonstration, nous allons tenter de nous ramener d'une suite arithmético-géométrique à une simple suite géométrique, que l'on sait traiter. Pour cela, nous allons étudier la suite définie par : $u_{n}=v_{n}+t$ avec $t={\frac {b}{1-a}}$ On a alors : $u_{n+1}=au_{n}+b=a(v_{n}+t)+b$ Vu que $u_{n+1}=v_{n+1}+t$ : $v_{n+1}=a(v_{n}+t)+b-t=av_{n}+at+b-t=av_{n}$ La suite $v_{n}$ est donc une suite géométrique. On a donc : $u_{n}=v_{n}+t=a^{n}v_{0}+t=a^{n}(u_{0}-t)+t$ En remplaçant $t$ par sa valeur $t={\frac {b}{1-a}}$, on trouve : $u_{n}=a^{n}\left(u_{0}-{\frac {b}{1-a}}\right)+{\frac {b}{1-a}}$

Les opérations sur les suites

Les mathématiques sont le royaume des généralisations. On ne compte les fois où une opération ou un type d'objet mathématique a été étendu pour en donner une version plus générale. Les nombres fractionnaires ont été complémentés par les réels, eux-mêmes complétés par les nombres complexes. Même chose pour les opérations comme l'addition ou la multiplication : initialement inventées pour les nombres, elles ont été étendues aux matrices, aux vecteurs et à bien d'autres objets mathématiques beaucoup plus complexes. Les suites ne font pas exception : il est possible de les additionner, de les soustraire, de les multiplier, les diviser, etc.

Les comparaisons entre suites et limites

Il est possible de comparer deux suites, ce qui permet de dire si une suite est "supérieure" ou "inférieure" à une autre. Si on compare deux suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ :

• $(a_{n})=(b_{n})$ si, pour rang n, $a_{n}=b_{n}$.
• $(a_{n})>(b_{n})$ si, pour rang n, $a_{n}>b_{n}$.
• $(a_{n})<(b_{n})$ si, pour rang n, $a_{n}<b_{n}$.
• $(a_{n})\leq (b_{n})$ si, pour rang n, $a_{n}\leq b_{n}$.
• $(a_{n})\geq (b_{n})$ si, pour rang n, $a_{n}\geq b_{n}$.

Les opérations "arithmétiques" sur les suites et limites

Comme dit plus haut, il est possible de faire les quatre opérations arithmétiques sur deux suites. Précisément, soit deux suites notées $(a_{n})$ et $(b_{n})$ :

• La somme est la suite $(s_{n})$ définie par : $s_{n}=a_{n}+b_{n}$.
• La différence est la suite $(s_{n})$ définie par : $s_{n}=a_{n}-b_{n}$.
• La multiplication d'une suite par un nombre réel $k$ est la suite définie par : $s_{n}=k\times a_{n}$.
• Le produit est la suite $(s_{n})$ définie par : $s_{n}=a_{n}\times b_{n}$.
• Le quotient est la suite $(s_{n})$ définie par : $s_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}$.

Les deux annexes qui suivent peuvent être sautées en première lecture.

Annexe : l'espace vectoriel des suites réelles

Avec les opérations définies ci-dessus, on peut montrer que l'ensemble des suites réelles est un espace vectoriel.

Pour rappel, un espace vectoriel est défini comme le regroupement : d'un ensemble E, d'une addition + et d'une multiplication par un réel $\times$. De plus, les conditions suivantes sont respectées. On note x et y des membres quelconques de l'ensemble E. Addition : L'addition de deux membres de l'ensemble doit donner un résultat qui appartient à l'ensemble : $+:E\times E\rightarrow E$ L'addition est associative et commutative. $y+x=x+y$ $(y+x)+z=x+(y+z)$ Il existe un élément neutre pour l'addition, noté $\nu _{+}$, qui est un membre de l'ensemble E tel que : $\nu _{+}+x=x+\nu _{+}=x$ Tout membre de E possède un opposé par rapport à l'addition, cet opposé étant tel que : ${\overline {x}}+x=x+{\overline {x}}=\nu$ Multiplication par un réel : Comme pour l'addition, la multiplication par un réel d'un membre de l'ensemble, qui donne un résultat dans l'ensemble : $\times :R\times E\rightarrow E$ Le réel 1 est un élément neutre pour la multiplication, noté $\nu _{*}$, définit tel que : $\nu _{*}\times x=x$ La multiplication est distributive par rapport à l'addition.

On a vu dans la section précédente que l'on peut additionner deux suites réelles ou en multiplier une par un réel. De plus, ces opérations donnent pour résultat une suite réelle. On dispose donc des opérations idoines. On vérifie assez facilement que les autres conditions sont vérifiées, les seules difficultés étant l’élément neutre de l'addition et la détermination de l'opposé. L’élément neutre n'est autre que la suite nulle, une suite constante dont tous les termes sont nuls. La suite opposée d'une suite $(u_{n})$ est simplement la suite $(v_{n})$ définie par $v_{n}=-u_{n}$.

Annexe : Les sous-espaces vectoriels de suites

Certains sous-ensembles de suites réelles sont eux aussi des espaces vectoriels, et plus précisément, des sous-espaces vectoriels.

Pour rappel, un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble d'un espace vectoriel, qui est lui-même un espace vectoriel. Pour un espace vectoriel E, un sous-ensemble $F\in {E}$ est un sous-espace vectoriel si : il contient l’élément neutre : $\nu _{+}\in {F}$ ; et si l'addition et la multiplication donne un résultat dans F : $+:F\times F\rightarrow F$ et $\times :R\times F\rightarrow F$.

En guise d'exercice, essayez de trouver quels ensembles suivants sont des espaces vectoriels :

• l'ensemble des suites constantes ;
• l’ensemble des suites croissantes ;
• l’ensemble des suites monotones ;
• l’ensemble des suites géométriques.

Solution :

• L'ensemble des suites constantes est bien un espace vectoriel. Il contient l’élément neutre, et la somme de deux suites constantes donne bien une suite constante, de même que le produit d'une suite constante par un réel.
• L'ensemble des suites croissantes n'est pas un espace vectoriel. Le produit d'une suite croissante par -1 ne donne pas une suite croissante, mais décroissante. La multiplication par un réel ne respecte pas la condition $\times :R\times F\rightarrow F$.
• L'ensemble des suites monotones n'est pas un espace vectoriel. La somme d'une suite croissante et d'une décroissante n'est pas systématiquement monotone.
• L'ensemble des suites géométriques n'est pas un espace vectoriel. La somme de deux suites géométriques ne donne pas toujours une suite géométrique.

Les sommes partielles

Dans ce chapitre, nous allons étudier ce qui se passe quand on additionne tous les termes d'une suite jusqu’à un certain rang. Le résultat de cette opération est ce qu'on appelle une somme partielle, qui est notée comme suit pour la somme des termes allant du terme numéro 0 à k  :

$S_{k}=\sum _{n=0}^{k}u_{n}$.

Dans ce chapitre, nous allons voir quelques généralités sur les sommes partielles, avant de voir quelques exemples simples mais sans grande importance. Les sommes partielles de suites importantes seront vues dans les chapitres suivants. Nous y verrons quelques sommes partielles de suites classiques, comme la somme des n premiers entiers, la somme partielle d'une suite arithmétique ou géométrique, et bien d'autres.

Les sommes partielles sont un premier tremplin vers le concept final de ce cours : les séries. La différence entre somme partielle et série est assez simple à comprendre : une série additionne tous les termes d'une suite infinie, alors que la somme partielle n'en additionne qu'un nombre fini. Vous vous doutez bien qu'il vaut mieux voir le cas le plus simple, fini, avant de passer aux sommes infinies que sont les séries.

Les opérations sur les sommes partielles

Avant de voir un exemple de somme partielle, nous allons voir rapidement les opérations que l'on peut faire avec les sommes partielles. Vous avez vu dans les chapitres précédents qu'il est possible d'additionner deux suites, de multiplier une suite par une constante, et de faire bien d'autres opérations. Beaucoup de suites peuvent s'écrire comme la somme de deux suites plus simples, ou d'un multiple d'une autre suite. Il est intéressant d'étudier ce qui se passe quand on prend la somme partielle de telles suites. Dans les grandes lignes, les sommes partielles sont juste un enchainement d'additions, en nombre fini. Les propriétés de commutativité, d'associativité et de distributivité tiennent donc, ce qui permet de faire quelques simplifications.

La somme partielle du multiple d'une suite

Pour le multiple d'une suite, sa somme partielle est la suivante :

$\sum _{i=0}^{n}(k\cdot u_{n})=k\cdot \left(\sum _{i=0}^{n}u_{n}\right)$

En clair, on peut sortir la constante de la somme, la factoriser comme avec une somme normale.

Précisons aussi que l'on peut faire d'autres raccourcis. Par exemple, la somme partielle d'une suite constante est égal au produit du nombre de rang par la constante. Dit autrement, on a :

$\sum _{i=0}^{n-1}k=n\cdot k$

Un cas particulier de l'expression précédente est le cas où $k=1$ :

$\sum _{i=0}^{n-1}1=n$

La somme partielle d'une somme de suites

Pour la somme de deux suites, sa somme partielle est la suivante :

$\sum _{i=0}^{n}(u_{n}+v_{n})=\left(\sum _{i=0}^{n}u_{n}\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}v_{n}\right)$

Là encore, le résultat est intuitif et est lié à la commutativité de l'addition : on peut changer l'ordre des additions comme on le souhaite sans changer le résultat.

La somme partielle du produit de deux suites

Pour le produit de deux suites, le calcul naïf ne marche pas : la somme du produit de deux suites n'est pas la somme des produits.

$\sum _{i=0}^{n}(u_{n}\cdot v_{n})\neq \left(\sum _{i=0}^{n}u_{n}\right)\cdot \left(\sum _{i=0}^{n}v_{n}\right)$

Le calcul de la somme partielle est beaucoup plus compliqué et il n'existe pas vraiment de formule générale qui fonctionne.

Exemples de sommes partielles

Il est maintenant temps de voir quelques exemples de suites assez simples.

La somme de la suite des nombres oblongs

Pour commencer, nous allons étudier la suite des nombres oblongs. Un nombre oblong est, par définition, le produit de deux entiers consécutifs, en clair un nombre n tel que $n=i(i+1)$, avec i un entier. Ces nombres ont été beaucoup étudiés dans l'antiquité car ils peuvent se représenter visuellement sans difficultés (ils forment un rectangle). Mais ce qui va nous intéresser ici est la somme des n premiers nombres oblongs. En clair, nous allons calculer la somme partielle suivante :

$S_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}i(i+1)$

Partons de la définition de la suite des nombres oblongs et développons.

$\sum _{i=0}^{n-1}i(i+1)=\sum _{i=0}^{n-1}(i^{2}+i)=\sum _{i=0}^{n-1}(i^{2})+\sum _{i=0}^{n-1}i$

On démontrera dans quelques chapitres que $\sum _{i=0}^{n-1}(i^{2})={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$ et que $\sum _{i=0}^{n-1}i={\frac {n(n+1)}{2}}$ En faisant le remplacement, on a :

$\sum _{i=0}^{n-1}i(i+1)={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}+{\frac {n(n+1)}{2}}$

On met au même dénominateur :

$\sum _{i=0}^{n-1}i(i+1)={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}+{\frac {3n(n+1)}{6}}$

On additionne les termes au numérateur :

$\sum _{i=0}^{n-1}i(i+1)={\frac {n(n+1)(2n+4)}{6}}$

Puis on simplifie :

$\sum _{i=0}^{n-1}i(i+1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$

L'inverse de la suite précédente

Maintenant, nous allons reprendre la même suite, si ce n'est que nous allons prendre l'inverse de chaque terme. En clair, nous allons étudier la suite suivante :

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i(i+1)}}$

On peut démontrer que :

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {n}{n+1}}=1-{\frac {1}{n+1}}$

Démonstration

Cette propriété se démontre assez facilement en utilisant une preuve par induction. Initialisation : On doit commencer par vérifier que cette relation se vérifie pour le premier terme. C'est le cas, comme le prouvent les calculs suivants : Pour $n=1$, $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}$ Pour $n=1$, ${\frac {n}{n+1}}={\frac {1}{2}}$ Récurrence : Si on suppose que la relation à prouver est valable pour n, alors elle doit l'être aussi pour n + 1. Il faut donc prouver la relation suivante : $\sum _{i=1}^{n+1}{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {n+1}{n+2}}$ Par définition, on a : $\sum _{i=1}^{n+1}{\frac {1}{i(i+1)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i(i+1)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$ On suppose alors que la relation est valable pour n, ce qui fait que le premier terme à droite du signe égal vaut $n \over n+1$ : $\sum _{i=1}^{n+1}{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {n}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$ On met au même dénominateur : $\sum _{i=1}^{n+1}{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {n(n+2)}{(n+1)(n+2)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$ On additionne et on développe : $\sum _{i=1}^{n+1}{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {n^{2}+2n+1}{(n+1)(n+2)}}$ On peut remarquer que $n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}$ : $\sum _{i=1}^{n+1}{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {(n+1)^{2}}{(n+1)(n+2)}}$ On simplifie alors par $n+1$ : $\sum _{i=1}^{n+1}{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {n+1}{n+2}}$

La suite de Fibonacci

Maintenant, calculons la somme partielle de la suite de Fibonnaci. Pour rappel, cette suite est une suite dont chaque terme est la somme des deux termes précédents, dont les premiers termes sont 0 et 1.

Fibonacci sequence - optional starting with zero

La somme partielle des n premiers nombres de Fibonacci a une expression assez simple. Si on note $F_{n}$ le énième nombre de Fibonacci, on a :

Pour $n>1$, $\sum _{i=0}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1$

Démonstration

Cette propriété se démontre assez facilement en utilisant une preuve par induction. Initialisation : On doit commencer par vérifier que cette relation se vérifie pour les trois premiers termes : $F_{0}+F_{1}=F_{2}=F_{3}-1$ Ce qui est le cas : $0+1=1=2-1$ Récurrence : Si on suppose que la relation $\sum _{i=0}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1$ est valable pour n, alors elle doit l'être aussi pour n + 1. Il faut donc prouver la relation suivante : $\sum _{i=0}^{n+1}F_{i}=F_{n+3}-1$ Par définition, on a : $\sum _{i=0}^{n+1}F_{i}=F_{n+1}+\sum _{i=0}^{n}F_{i}$ Or, on a, par supposition : $\sum _{i=0}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1$. On peut faire le remplacement dans l'équation précédente, ce qui donne : $\sum _{i=0}^{n+1}F_{i}=F_{n+2}+F_{n+1}-1$ On applique alors la définition des nombres de Fibonacci, qui dit que : $F_{n+2}+F_{n+1}=F_{n+3}$. On a alors : $\sum _{i=0}^{n+1}F_{i}=F_{n+3}-1$

La suite harmonique

La suite harmonique est le nom donné à la suite de des inverses des entiers naturel, à savoir la suite définie par :

$u_{n}={\frac {1}{n}}$

Ses sommes partielles donnent ce qu'on appelle les nombres harmoniques. Le énième nombre harmonique est simplement la somme des n premiers termes de la suite harmonique, à savoir :

$H_{n}=\sum _{x=1}^{n}{\frac {1}{x}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+...+{\frac {1}{n}}$

Si on écrit les nombres harmoniques sous forme de fraction, on obtient ceci :

$1$, ${\frac {3}{2}}$, ${\frac {11}{3}}$, ${\frac {25}{12}}$, ${\frac {137}{60}}$, ${\frac {49}{20}}$, ${\frac {363}{140}}$, ${\frac {761}{280}}$, $\cdots$

Le numérateur est toujours un nombre impair, alors que le dénominateur est toujours pair. Or, les fractions de type impair/pair ne correspondent jamais à des nombres entiers, contrairement aux fractions de type pair/pair, pair/impair ou impair/impair. En conséquence, les nombres harmoniques sont tous des nombres non-entiers, à l'exception de 1 qui est son propre inverse.

La constante d'Euler–Mascheroni

Ce graphique montre en rouge la suite des nombres harmoniques, et en bleu la fonction logarithme népérien. On voit que les deux suites/fonctions sont assez proches.

La suite des nombres harmoniques forme une suite croissante. Si on compare les nombres harmoniques avec $\ln n$, on trouve que les deux sont proches et qu'elles le sont d'autant plus que le rang augmente. Mieux : la différence entre un nombre harmonique et $\ln n$ converge vers une constante appelée constante d'Euler–Mascheroni, notée $\gamma$.

$\gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(H_{n}-\ln {n}\right)$

Elle vaut approximativement :

$\gamma \approx 0.5772156649015328606065120900824024310421...$

Euler-Mascheroni constant.

Tout cela est lié au fait que l'intégrale de la fonction 1/x est égale à :

$\int {\frac {1}{x}}dx=\ln x+K$, avec K une constante

Si on fait la différence entre la fonction $f(x)={\frac {1}{x}}$ et la suite $u_{n}={\frac {1}{n}}$ qui correspond à la fonction $g(x)=\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor$, on obtient le graphe si-contre. L'aire sous la courbe de 1/X est égale à $\ln x$, alors que l'aire sous la courbe de la suite harmonique est égale à $\sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i}}$. La différence entre les deux est l'aire coloriée en rouge. Plus on augmente le rang n, plus l'aire bleue converge vers la constante d'Euler-Mascheroni .

La suite des entiers et les nombres polygonaux

La suite des entiers naturels donne un exemple assez simple de somme partielle. Très facile à étudier, sa somme partielle est aussi très utile pour établir les sommes partielles d'autres suites, comme les suites arithmétiques.

La suite des entiers (nombres triangulaires)

La suite des nombres entiers est la suite suivante :

$\sum _{x=1}^{n}x=1+2+3+4+5+...+n$

On peut calculer la somme partielle de cette suite, qui n'est autre que la somme des n premiers entiers. La suite formée à partir des sommes partielles donne ce qu'on appelle la suite des nombres triangulaires. Les nombres triangulaires peuvent être représentés par un triangle équilatéral formé par des boules. Le nombre de boules dans le triangle est égal au nombre triangulaire voulu. Le énième terme de la suite des nombres triangulaires donne le nombre de boules pour un triangle de n boules de côté.

Les premiers nombres triangulaires

La relation de récurrence

Cette suite est tout simplement de la somme des n premiers entiers. Cette définition nous permet d'obtenir aisément sa forme récurrente. Il s'agit d'une suite définie par :

$u_{0}=0$

$u_{n}=u_{n-1}+n$

Un bon moyen de s'en rendre compte est de calculer les termes de cette suite et de calculer la différence entre termes consécutifs. Le tableau ci-dessous montre que cette différence entre termes consécutifs est égale au rang.

La suite des nombres triangulaires

Terme $u_{n}$	1	3	6	10	15	21	28	...
Rang $n$	1	2	3	4	5	6	7	...
$u_{n}-u_{n-1}$	1	2	3	4	5	6	7	...

La relation paramétrée

Calculer la forme paramétrée de cette suite est assez simple pour qui est suffisamment ingénieux. La légende veut que le mathématicien Gauss ait découvert cette formule alors qu’il était au primaire, bien que ce soit sans doute une idée reçue. Cette légende prétend que son professeur avait donné comme exercice le calcul des 100 premiers entiers. Là où ses camarades de classe firent les calculs à la main, Gauss procéda autrement. Il prit la suite des nombres entiers jusqu’à 100 et créa une seconde suite identique, mais de sens inverse. Il additionna alors les deux et trouva ceci :

• 1 + 100 = 101 ;
• 2 + 99 = 101 ;
• 3 + 98 = 101 ;
• … ;
• 49 + 52 = 101 ;
• 50 + 51 = 101 ;
• … ;
• 98 + 3 = 101 ;
• 99 + 2 = 101 ;
• 100 + 1 = 101.

En additionnant la suite des n premiers entiers avec elle-même, il se retrouvait avec 100 fois 101 : $2S=100\times 101$. Le calcul de la somme partielle est alors aisé.

Illustration géométrique de la somme des n premiers entiers.

On peut généraliser ce raisonnement pour toute suite de n nombres entiers consécutifs. Pour cette suite, on a :

$1+n=2+(n-1)=3+(n-2)=...$

Donc, si on additionne la suite S avec elle-même, on a :

$2S=n(1+n)$

D'où :

$u_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}$

Pour précision, le terme $n(n+1)$ est ce qu'on appelle un nombre oblong, à savoir le produit de deux entiers consécutifs. Il existe une suite des nombres oblongs, définie par $u_{n}=n(n+1)$. L'équation démontrée précédemment nous dit donc que le énième nombre oblong est égal au double de la somme des n premiers entiers. En clair, la suite des nombres oblongs est égal au double de la suite des nombres triangulaires.

Les suites arithmétiques

Raisonnement généralisé dans le cas d'une progression arithmétique quelconque.

Démonstration visuelle de la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique.

Après avoir vu les multiples des entiers, nous allons voir le cas où chaque entier est multiplié par une constante, avant de se voir ajouter une autre constante. En clair, les suites de la forme :

$u_{n}=k\cdot n+u_{0}$, avec k la raison de la suite et $u_{0}$ le premier terme.

Il se trouve que ces suites ne sont autre que les suites arithmétiques. Nous allons donc calculer la somme partielle d'une suite arithmétique, de la forme :

$\sum _{i=0}^{n}(k\cdot i+u_{0})$

On peut déduire, avec quelques développements assez simples, que cette somme partielle vaut :

$S_{n}=k\cdot {\frac {n(n+1)}{2}}+n\cdot u_{0}$

Démonstration

La somme partielle d'une suite arithmétique se calcule en additionnant les n premiers termes de la suite : $S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+...+u_{n}$ Remplaçons chaque terme par sa valeur paramétrée dans l'équation précédente : $S_{n}=u_{0}+(u_{0}+k)+(u_{0}+2k)+(u_{0}+3k)+(u_{0}+4k)+...+(u_{0}+nk)$ Factorisons le terme $u_{0}$ : $S_{n}=n\times u_{0}+(k+2k+3k+4k+5k+6k+...+nk)$ Factorisons maintenant $k$ : $S_{n}=n\times u_{0}+k\times (1+2+3+4+5+6+...+n)$ On a vu plus haut que $(1+2+3+4+5+6+...+n)={\frac {n(n+1)}{2}}$. On a alors : $S_{n}=n\times u_{0}+k\times {\frac {n(n+1)}{2}}$

Démonstration

Partons de la définition de la somme partielle voulue : $S_{n}=\sum _{i=0}^{n}(k\cdot i+u_{0})$ On applique la formule $\sum _{i=0}^{n}(u_{n}+v_{n})=\left(\sum _{i=0}^{n}u_{n}\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}v_{n}\right)$ : $S_{n}=\left(\sum _{i=0}^{n}k\cdot i\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}u_{0}\right)$ Par définition, le terme de droite $\sum _{i=0}^{n}k_{2}$ est égal à $n\cdot u_{0}$ : $S_{n}=\left(\sum _{i=0}^{n}k\cdot i\right)+n\cdot u_{0}$ Puis, on applique la formule $\sum _{i=0}^{n}(k\cdot u_{n})=k\cdot \left(\sum _{i=0}^{n}u_{n}\right)$ : $S_{n}=k\cdot \left(\sum _{i=0}^{n}i\right)+n\cdot u_{0}$ On a vu plus haut que $\sum _{i=0}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$ : $S_{n}=k\cdot {\frac {n(n+1)}{2}}+n\cdot u_{0}$

On peut aussi reformuler la formule précédente comme suit :

$S_{n}=n{\frac {u_{0}+u_{n+1}}{2}}$

Démonstration

Pour cela, partons de la formule précédente : $S_{n}=k\cdot {\frac {n(n+1)}{2}}+n\cdot u_{0}$ Factorisons $n \over 2$ : $S_{n}=n{\frac {2u_{0}+k(n+1)}{2}}$ On peut alors utiliser l'équation $u_{n+1}=u_{0}+k(n+1)$, ce qui simplifie l'équation précédente en : $S_{n}=n{\frac {u_{0}+u_{n+1}}{2}}$

La somme des n premiers nombres pairs et la suite des nombres oblongs

Commençons par nous intéresser à la somme des n premiers nombres pairs. Par définition, la suite des nombres pairs, à savoir la somme :

$\sum _{i=0}^{n}(2i)$

En appliquant la formule sur le produit d'une suite par une constante, on trouve :

$\sum _{i=0}^{n}(2i)=2\times \sum _{i=0}^{n}i=n(n+1)$

En clair, la somme des n premiers pairs est la somme de deux entiers consécutifs. Pour rappel, la somme de deux entiers consécutifs est ce qu'on appelle un nombre oblong. Le résultat précédent nous dit que la somme des n premiers nombres pairs est le énième nombre oblong.

La somme des n premiers nombres impairs

Maintenant, étudions le cas de la suite des nombres impairs, dont la somme partielle est la suivante :

$\sum _{i=0}^{n}(2i+1)=(n+1)^{2}$

La somme des n-1 premiers nombres impairs donne donc le énième carré !

Démonstration

La suite des nombres impairs est par définition une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2. Le énième nombre impair est donc égal à $u_{n}=2n-1$, alors que $u_{0}=1$. En injectant dans la formule générale, on a : $S_{n}=n{\frac {1+2n-1}{2}}=n^{2}$

Démonstration

$\sum _{i=0}^{n-1}(2i+1)=2\sum _{i=0}^{n-1}i+\sum _{i=0}^{n-1}1=2\left({\frac {n(n-1)}{2}}\right)+n=n(n-1)+n=n^{2}$

On peut remarquer que cette somme partielle donne aussi des nombres figurés, que l'on peut représenter par des figures géométriques, comme pour les nombres triangulaires. Sauf que cette fois-ci, le triangle est remplacé par un carré.

Nombres figurés carrés.

La somme des n premiers nombres de la forme 3n + 1

Nombres pentagonaux.

Maintenant, il est temps de voir la somme partielle de la suite arithmétique de raison 3 et de premier terme 1. Cette série donne aussi des nombres figurés, qui peuvent être représentés par un pentagone. La figure de droite illustre ce point. Cette suite est celle des nombres pentagonaux.

Cette série est obtenue en additionnant les n premiers nombres de la forme 3n + 1. Voici sa formule :

$S_{n}=\sum _{x=0}^{n}(3x+1)$

L'application de la formule générale nous donne :

$S_{n}=3\times {\frac {n(n+1)}{2}}+n$

Ce qui se reformule en :

$u_{n}={\frac {n(3n-1)}{2}}+n$

Les autres nombres polygonaux

Nombres hexagonaux.

On pourrait poursuivre et parler des nombres hexagonaux et heptagonaux et de bien d'autres. Mais nous n’allons pas le faire, ce qui serait trop répétitif. Tout ce que l'on peut dire, c'est que les suites de nombres de la forme 4n + 1, 5n + 1, 6n + 1 et autres ont des sommes partielles représentables sous la forme de polygones réguliers (pour rappel, les polygones réguliers sont des figures géométriques avec des côtés de même longueur et des angles identiques). La formule des sommes partielles arithmétiques permet de calculer leur valeur assez simplement. Elle est de la forme :

$S_{n}=k\cdot {\frac {n(n+1)}{2}}+n\cdot u_{0}$

Ici, k est égal au nombre de côtés du polygone, moins 2. En notant s le nombre de côtés, on a donc :

$S_{n}=(s-2)\cdot {\frac {n(n+1)}{2}}+n\cdot u_{0}$

Ce qui peut aussi s'écrire comme suit :

$S_{n}={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}$

La somme partielle d'une suite arithmético-géométrique

Dans ce chapitre, nous allons voir comment calculer la somme partielle d'une suite géométrique, et d'une suite arithmético-géométrique. Nous allons d'abord voir les suites arithmétiques, avant de passer aux suites géométriques et enfin aux suites arithmético-géométriques. Pour chaque type de suite, nous verrons quelques exemples particuliers qui ont un intérêt intellectuel ou ludique. Par exemple, nous verrons la somme des entiers pairs, de leurs inverses, etc.

Les suites géométriques

|r| < 1, n → ∞ ⇒ S_∞ = a/(1 − r)

Dans la section précédente, nous avons montré que la formule d'une somme partielle arithmétique se déduisait d'un cas particulier : le cas de la somme des n premiers entiers. Toute somme partielle arithmétique a pour résultat une fonction affine de la somme des n premiers entiers : on doit multiplier cette somme par la raison et ajouter le premier terme (multiplié par le rang). Pour les séries géométriques, la situation est similaire, à savoir que toute somme partielle géométrique est un multiple d'un cas particulier. Ce cas particulier correspond au cas où le premier terme vaut 1.

Les suites avec premier terme unitaire

Dans ce qui va suivre, nous allons démontrer le résultat pour les séries géométriques où le premier terme vaut 1, qui sont de la forme :

$S_{n}=1+r+r^{2}+r^{3}+r^{4}+\cdots +r^{n-1}=\sum _{i=0}^{n-1}r^{i}$

Multiplions l'expression précédente par la raison. On a alors :

$r\times S_{n}=r+r^{2}+r^{3}+r^{4}+\cdots +r^{n-1}+r^{n}=\sum _{i=0}^{n-1}r^{i+1}$

Soustrayons cette expression à la valeur de la suite initiale :

$S_{n}-r\times S_{n}=1-r^{n}$

Factorisons le terme de gauche :

$S_{n}(1-r)=1-r^{n}$

Isolons le terme $S_{n}$ :

$S_{n}={\frac {1-r^{n}}{1-r}}$

Le cas général

La somme partielle d'une suite géométrique se calcule, par définition, en additionnant les n premiers termes de la suite (qui vont des rangs 0 à $n-1$) :

$S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+...+u_{n-1}$

Remplaçons chaque terme par son expression paramétrée $u_{n}=u_{0}\times r^{n}$.

$S_{n}=u_{0}+(u_{0}\times r^{1})+(u_{0}\times r^{2})+(u_{0}\times r^{3})+(u_{0}\times r^{4})+(u_{0}\times r^{5})...++(u_{0}\times r^{n-1})=\sum _{i=0}^{n}u_{0}\cdot r^{n}$

Factorisons $u_{0}$ :

$S_{n}=u_{0}(1+r+r^{2}+r^{3}+r^{4}+\cdots +r^{n-1}+r^{n})=u_{0}\cdot \sum _{i=0}^{n}r^{n}$

Le second terme n'est autre que le cas particulier étudié dans la section précédente. Il vient alors :

$S_{n}=u_{0}{\frac {1-r^{n}}{1-r}}$

À noter qu'il existe d'autres démonstrations de cette formule. Ceux qui souhaitent en prendre connaissance peuvent consulter celles-ci sur le site proofwiki, en suivant ce lien : Somme d'une progression géométrique.

Un exemple : la somme partielle des puissances de deux

Étudions maintenant un cas particulier assez intéressant pour les informaticiens : la somme des n premières puissances de deux. Toute personne qui s'y connaît suffisamment en numération binaire voit où je veux en venir avec cet exemple. Par définition, la suite des puissances de deux est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 1. La formule plus haut nous dit alors que la somme des n premières puissances de deux vaut :

$S_{n}={\frac {1-2^{n}}{1-2}}={\frac {1-2^{n}}{-1}}=-(1-2^{n})=2^{n}-1$

On voit donc que la somme des n premières puissances de deux est égale à la puissance de deux immédiatement supérieure, retranchée de 1 :

$\sum _{i=0}^{n-1}2^{i}=2^{n}-1$

Il s'agit d'une propriété absolument essentielle de la numération binaire, qui est très utile pour simplifier certains calculs en binaire ou faire quelques démonstrations importantes.

Un second exemple : la somme partielle des inverses des puissances de deux

Maintenant, nous allons voir un second exemple : la somme partielle des inverses de $2^{n}$, définie par :

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2^{i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}$

Il s'agit d'une suite géométrique de raison $1 \over 2$ et de premier terme égal à $1 \over 2$. La formule donne donc :

$S_{n}={\frac {1}{2}}{\frac {1-{\frac {1}{2}}^{n}}{1-{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{2}}{\frac {1-{\frac {1}{2^{n}}}}{\frac {1}{2}}}=1-{\frac {1}{2^{n}}}$

On peut prouver cette équation d'une autre manière, donnée dans la démonstration suivante.

Démonstration

Repartons de l'équation : $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2^{i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}+{\frac {1}{2^{n}}}$ Mettons tout au même dénominateur : $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2^{i}}}={\frac {2^{n-1}}{2^{n}}}+{\frac {2^{n-2}}{2^{n}}}+{\frac {2^{n-3}}{2^{n}}}+\cdots +{\frac {2^{1}}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}+\cdots +2^{1}+1}{2^{n}}}$ Or, on a vu juste dans la précédente section que : $2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}+\cdots +2^{1}+1=2^{n}-1$. En faisant le remplacement, on a : $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2^{i}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}=1-{\frac {1}{2^{n}}}$

Les suites arithmético-géométriques

La somme partielle d'une suite arithmético-géométrique est assez simple à calculer quand on sait comment calculer une somme partielle arithmétique et une somme partielle géométrique. Reprenons la formule pour le calcul du terme d'une suite arithmético-géométrique :

$u_{n}=a^{n}\left(u_{0}-t\right)+t$ avec $t={\frac {b}{1-a}}$

Faisons la somme des n premiers termes :

$\sum _{i=0}^{n-1}u_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}\left(a^{n}\left(u_{0}-t\right)+t\right)$

On applique la formule $\sum _{i=0}^{n}(u_{n}+v_{n})=\left(\sum _{i=0}^{n}u_{n}\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}v_{n}\right)$ :

$\sum _{i=0}^{n-1}u_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}\left(a^{n}\left(u_{0}-t\right)\right)+\sum _{i=0}^{n-1}t$

Par définition, le terme de droite $\sum _{i=0}^{n-1}t$ est égal à $n\cdot t$ :

$\sum _{i=0}^{n-1}u_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}\cdot \left(a^{n}\left(u_{0}-t\right)\right)+n\cdot t$

Puis, on applique la formule $\sum _{i=0}^{n}(k\cdot u_{n})=k\cdot \left(\sum _{i=0}^{n}u_{n}\right)$ :

$\sum _{i=0}^{n-1}u_{n}=\left(u_{0}-t\right)\cdot \sum _{i=0}^{n-1}\left(a^{n}\right)+n\cdot t$

En faisant le remplacement avec $t={\frac {b}{1-a}}$, on trouve :

$\sum _{i=0}^{n-1}u_{n}=\left(u_{0}-{\frac {b}{1-a}}\right){\frac {1-a^{n}}{1-a}}+n{\frac {b}{1-a}}$

Les suites de puissances et la formule de Faulhaber

La suite des carrés des entiers naturels, celle des cubes, et bien d'autres se dérivent aussi à partir de la suite des entiers. Dans cette section, nous allons étudier les suites de puissances, à savoir les suites de la forme :

$1^{k}+2^{k}+3^{k}+4^{k}+...+n^{k}=\sum _{i=0}^{n}i^{k}$

Nous avons déjà vu le cas où k=1, qui n'est autre que la suite des entiers naturels. Et nous savons déjà que la somme associée vaut :

$\sum _{i=0}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\approx {\frac {n^{2}}{2}}$

Dans ce chapitre, nous allons voir les autres cas. Nous allons commencer par la suite des carrés, puis voir la suite des cubes, puis le cas général.

La suite des carrés (nombres pyramidaux carrés)

Après avoir vu la somme des n premiers entiers, nous allons poursuivre en voyant la somme de leurs carrés. Encore une fois, il s'agit d'une suite de Riemann, dont la forme est la suivante :

$\sum _{x=1}^{n}x^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+...+n^{2}$

La somme des n premiers carrés, qui n'est autre que le énième nombre pyramidal carré, vaut :

$\sum _{x=1}^{n}x^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n(n+1)}{2}}{\frac {2n+1}{3}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}$

Démonstration

Illustration du quatrième nombre pyramidale. Cette somme peut se représenter sous la forme d'une figure géométrique, comme les nombres triangulaires. Mais cette forme est en trois dimensions : c'est une pyramide dont la base est carrée. D'où le nom de nombres pyramidaux carrés donné aux nombres provenant d'une somme des n premiers carrés. On voit que la pyramide est composée de plusieurs couches (n couches pour être précis), chaque couche étant un carré. La somme des carrés correspond donc au volume de la pyramide et ce fait nous permet de trouver une formule pour le calculer. Prenons trois de ces pyramides, et assemblons-les comme illustré ci-dessous. On voit que le résultat ressemble à un pavé de côtés (n, n, n+1), si ce n'est qu'il y a quelques cubes en trop au sommet (n gris ans le schéma ci-dessous). Les cubes qui manquent forment un triangle de côté n, ce qui fait qu'il y a exactement $n(n+1) \over 2$ (le énième nombre triangulaire) cubes en trop. Preuve géométrique de la formule de la somme des carrés. L'observation géométrique précédente peut se traduire en équation. Le pavé est composé de trois pyramides, plus du énième nombre triangulaire. En notant $V_{pyramide}$ le volume d'une pyramide et $T_{n}$ le énième nombre triangulaire, on a : $3\cdot V_{pyramide}=V_{pave}+T_{n}$ Le pavé a un volume de $n^{2}\cdot (n+1)=n^{3}+n^{2}$. $3\cdot V_{pyramide}=n^{3}+n^{2}+T_{n}$ Le énième nombre triangulaire vaut ${\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}+n}{2}}={\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}$ : $3\cdot V_{pyramide}=n^{3}+n^{2}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}$ Enfin, le volume d'une pyramide est la somme des n premiers carrés. $3\cdot \left(\sum _{i=0}^{n-1}i^{2}\right)=n^{3}+n^{2}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}$ Simplifions : $3\cdot \left(\sum _{i=0}^{n-1}i^{2}\right)=n^{3}+{\frac {3n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}$ On divise par trois : $\sum _{i=0}^{n-1}i^{2}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {3n^{2}}{6}}+{\frac {n}{6}}$ Simplifions : $\sum _{i=0}^{n-1}i^{2}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}$

Démonstration

Pour démontrer cette formule, nous allons utiliser les notations suivantes pour la somme des n premiers entiers, des n premiers carrés et des n premiers cubes : $S_{n}^{1}=1+2+3+4+5+6+...+n$ $S_{n}^{2}=1+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+...+n^{2}$ $S_{n}^{3}=1+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}+...+n^{3}$ Pour faire la démonstration, nous allons partir du développement du cube de n+1 : $(n+1)^{3}=(n+1)\times (n+1)^{2}=n^{3}+3n^{2}+3n+1$ Appliquons maintenant cette formule sur tous les nombres de 1 à n + 1 : $(n+1)^{3}=(n+1)+(n+1)^{2}=n^{3}+3n^{2}+3n+1$ ... $2^{3}=1^{3}+3(1)^{2}+3(1)+1$ $1^{3}=0^{3}+3(0)^{2}+3(0)+1$ Additionnons le tout en colonnes. On trouve alors : $S_{n+1}^{3}=S_{n}^{3}+3S_{n}^{2}+3S_{n}+n+1$ $S_{n+1}^{3}-S_{n}^{3}=3S_{n}^{2}+3S_{n}+n+1$ Or, on voit que $S_{n+1}^{3}-S_{n}^{3}$ vaut, par définition $(n+1)^{3}$. Faisons le remplacement : $(n+1)^{3}=3S_{n}^{2}+3S_{n}+n+1$ $3S_{n}^{2}=(n+1)^{3}-(3S_{n}+n+1)$ Développons $(n+1)^{3}$ : $3S_{n}^{2}=(n^{3}+3n^{2}+3n+1)-(3S_{n}+n+1)$ $3S_{n}^{2}=n^{3}+3n^{2}+2n-3S_{n}$ $S_{n}^{2}={\frac {n^{3}+3n^{2}+2n-3S_{n}}{3}}$ $S_{n}^{2}={\frac {n^{3}+3n^{2}+2n}{3}}-S_{n}$ Or, on sait que : $u_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}+n}{2}}$, ce qui donne : $S_{n}^{2}={\frac {n^{3}+3n^{2}+2n}{3}}-{\frac {n^{2}+n}{2}}$ Mettons au même dénominateur : $S_{n}^{2}={\frac {2n^{3}+6n^{2}+4n}{6}}-{\frac {3n^{2}+3n}{6}}$ $S_{n}^{2}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}$

La suite des cubes (nombres triangulaires carrés)

Représentation visuelle de l'identité de Nicomaque de Gérase.

Maintenant, passons à la suite de l'inverse des cubes, définie par :

$\sum _{x=1}^{n}x^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}+...+n^{3}$

On peut prouver que :

$\sum _{x=1}^{n}x^{3}=\left(\sum _{x=1}^{n}x\right)^{2}$

Ce qui peut s’écrire comme suit, sachant que $\sum _{x=1}^{n}x={\frac {n(n+1)}{2}}$ :

$\sum _{x=1}^{n}x^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}={\frac {n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4}}$

Cette identité est connue sous le nom d'identité de Nicomaque, en l'honneur du découvreur de cette formule, Nicomaque de Gérase. Il existe plusieurs démonstrations de cette formule, mais la plus simple est clairement la démonstration par induction.

Démonstration

Pour commencer, la formule est valable pour n = 1 : $1={\frac {1^{2}(1+1)^{2}}{4}}$ Maintenant, supposons que la formule soit valable pour n, et regardons ce que cela donne pour n+1. Partons de la formule de la somme des cubes jusqu’à n+1, écrite comme suit : $\sum _{x=1}^{n+1}x^{3}=\sum _{x=1}^{n}x^{3}+(n+1)^{3}$ Vu qu'on suppose que la formule de Nicomaque est valide pour n, appliquons-la : $\sum _{x=1}^{n+1}x^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}+(n+1)^{3}$ Mettons le tout au même dénominateur : $\sum _{x=1}^{n+1}x^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}+{\frac {4(n+1)^{3}}{4}}$ Factorisons $(n+1)^{2} \over 4$ : $\sum _{x=1}^{n+1}x^{3}={\frac {(n+1)^{2}}{4}}\left[n^{2}+4(n+1)\right]$ Développons le terme entre parenthèses : $\sum _{x=1}^{n+1}x^{3}={\frac {(n+1)^{2}}{4}}\left[n^{2}+4n+4\right]$ On utilise alors l'identité remarquable $(n+2)^{2}=n^{2}+4n+4$ : $\sum _{x=1}^{n+1}x^{3}={\frac {(n+1)^{2}(n+2)^{2}}{4}}$ On voit donc que la formule de Nicomaque est respectée pour n+1, si elle est respectée pour n. L'induction est donc valide.

Démonstration

A plus b au carre. Il existe aussi une démonstration géométrique de l'identité de Nicomaque. Cette démonstration se base sur l'étude d'un carré de côté (a+b) bien particulier. Rappelons l'identité remarquable suivante : $(a+b)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$ Dans le cas qui nous intéresse, nous allons prendre $a=\sum _{i=0}^{n-1}i$ et $b=n$, ce qui donne $(a+b)=\sum _{i=0}^{n}i$. On a donc : $\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)^{2}=\left(\sum _{i=0}^{n-1}i\right)^{2}+2\cdot n\cdot \left(\sum _{i=0}^{n-1}i\right)+n^{2}$ En faisant le remplacement $\sum _{i=0}^{n-1}={\frac {n^{2}-n}{2}}$, on a : $\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)^{2}=\left(\sum _{i=0}^{n-1}i\right)^{2}+2\cdot n\cdot {\frac {n^{2}-n}{2}}+n^{2}$ Simplifions le terme de droite : $\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)^{2}=\left(\sum _{i=0}^{n-1}i\right)^{2}+n^{3}$ Maintenant, examinons le terme : $\left(\sum _{i=0}^{n-1}i\right)^{2}$. En utilisant la formule précédente, on peut l'écrire de la manière suivante : $(n-1)^{3}+\left(\sum _{i=0}^{n-2}i\right)^{2}$. En injectant dans l'équation précédente, on a : $\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)^{2}=\left(\sum _{i=0}^{n-2}i\right)^{2}+(n-1)^{3}+n^{3}$ Et on répéte le procédé autant de fois qu'il le faut, jusqu'à ne plus avoir que des cubes dans le terme de droite. On a alors : $\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)^{2}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+(n-1)^{3}+n^{3}$ En clair, on a : $\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)^{2}=\sum _{i=0}^{n}i^{3}$

Le cas général : la méthode récursive

Dans cette section, nous allons voir une méthode générale pour calculer la somme :

$1^{k}+2^{k}+3^{k}+4^{k}+...+n^{k}=\sum _{i=0}^{n}i^{k}$

La méthode en question demande cependant de connaitre les sommes pour la puissance immédiatement inférieure k-1. En clair, pour calculer la somme pour k=5, il faut connaitre la formule pour k=4. La formule en question est la suivante :

$(n+1)\sum _{i=0}^{n}i^{k-1}=\sum _{i=0}^{n}i^{k}+\sum _{p=0}^{n}\sum _{i=0}^{p}i^{k-1}$

Le cas de la somme des carrés

La formule se comprend assez bien sous forme géométrique. Pour l'étudier, commençons par le cas le plus simple, où l'on cherche à avoir la somme des carrés. Pour cela, étudions un rectangle tel que sa hauteur soit égale à $n+1$ et sa longueur soit égale à la somme $\sum _{i=0}^{n}i$ des premiers entiers. Le tout est illustré ci-dessous, dans le cas où n = 8. Sa surface est donc de :

$S_{rectangle}=(n+1)\cdot \sum _{i=0}^{n}i$

Sur sa longueur, on a découpé les distances égales à 1, 2, 3, 4, etc. En jaune, on représente les carrés de côté 1, 2, 3, 4, etc. L'aire en jaune est donc égale à :

$S_{carres}=\sum _{i=0}^{n}i^{2}$

Il ne reste qu'à calculer la différence entre rectangle et somme des carrés. Sur la première ligne, on voit qu'il manque (1+2+3+4+..+n). Sur la seconde ligne, il manque (1+2+3+4+5+ ... + (n-1). Et ainsi de suite. En clair, la surface totale manquante est égale à :

$S_{manquante}=\sum _{p=0}^{n}\sum _{i=0}^{p}i$

En combinant le tout, on obtient la formule vue plus haut, mais dans le cas où k=2:

$(n+1)\sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=0}^{n}i^{2}+\sum _{p=0}^{n}\sum _{i=0}^{p}i$

Démonstration géométrique de la somme partielle des carrés - illustration avec k = 2 et n=8.

On peut alors combiner la formule précédente avec la formule $\sum _{i=0}^{n}i={\frac {n^{2}+n}{2}}$. On a alors :

$(n+1)\sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=0}^{n}i^{2}+\sum _{p=0}^{n}{\frac {p^{2}+p}{2}}$

On sort le 1/2 du dernier terme :

$(n+1)\sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=0}^{n}i^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{p=0}^{n}(p^{2}+p)$

On développe la dernière somme :

$(n+1)\sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=0}^{n}i^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{p=0}^{n}p^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{p=0}^{n}p$

On soustrait la somme ${\frac {1}{2}}\sum _{p=0}^{n}p$ des deux côtés :

$\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=0}^{n}i^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{p=0}^{n}p^{2}$

Le terme de droit se factorise en :

$\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\sum _{i=0}^{n}i={\frac {3}{2}}\sum _{i=0}^{n}i^{2}$

On multiplie par $2 \over 3$ des deux côtés :

${\frac {2n+1}{3}}\sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=0}^{n}i^{2}$

En faisant le remplacement, on trouve :

$\sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)}{2}}{\frac {2n+1}{3}}$

Soit le même résultat que nous avions trouvé plus haut.

Le cas de la somme des cubes

Le raisonnement précédent marche aussi pour la somme des cubes, sous réserve que l'on change la longueur du rectangle. On garde une hauteur de (n+1), sauf que cette fois-ci la longueur du rectangle est changée pour la somme des carrés $\sum _{i=0}^{n}i^{2}$. Sa surface totale est donc de :

$S_{rectangle}=(n+1)\sum _{i=0}^{n}i^{2}$

On peut ensuite découper la longueur en segments de longueur $1^{2},2^{2},3^{2},4^{2},...,n^{2}$. On peut alors créer des rectangles avec chaque segment, dont la hauteur est de k. Leur surface est donc égale à $1^{3},2^{3},3^{3},4^{3},...,n^{3}$. La somme totale de ces rectangles a une surface de :

$S_{sous-rectangles}=\sum _{i=0}^{n}i^{3}$

La différence entre les deux sommes précédentes est composé d'une somme de lignes. Chaque ligne a pour surface la somme des carrés jusqu’à un certain rang, tous les rangs étant représentés. La surface totale occupée par ces lignes est donc de :

$S_{lignes}=\sum _{p=0}^{n}\sum _{i=0}^{p}i^{2}$

En combinant tout cela, on a la formule générale :

$S_{rectangle}=S_{sous-rectangles}+S_{lignes}$

En faisant le remplacement avec les équations précédentes, on trouve :

$(n+1)\sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=0}^{n}i^{3}+\sum _{p=0}^{n}\sum _{i=0}^{p}i^{2}$

Démonstration géométrique de la somme partielle des cubes - illustration avec n=4.

Le cas général

le raisonnement peut se généraliser pour un k quelconque. Il suffit de prendre un rectangle de hauteur $n+1$ et de longueur égale à $\sum _{i=0}^{n}i^{k-1}$ (donc une puissance en-dessous de celle voulue). Sa surface totale est donc de :

$S_{rectangle}=(n+1)\sum _{i=0}^{n}i^{k-1}$

On peut ensuite découper la longueur en segments de longueur $1^{k-1},2^{k},3^{k-1},4^{k-1},...,n^{k-1}$. On peut alors créer des rectangles avec chaque segment, dont la hauteur est de k. Leur surface est donc égale à $1^{k},2^{k},3^{k},4^{k},...,n^{k}$. La somme totale de ces rectangles a une surface de :

$S_{sous-rectangles}=\sum _{i=0}^{n}i^{k}$

La différence entre les deux sommes précédentes est composé d'une somme de ligne qui ont pour surface $1^{k-1},2^{k},3^{k-1},4^{k-1},...,n^{k-1}$. La surface totale occupée par ces lignes est donc de :

$S_{lignes}=\sum _{p=0}^{n}\sum _{i=0}^{p}i^{k-1}$

En combinant tout cela, on a la formule générale :

$S_{rectangle}=S_{sous-rectangles}+S_{lignes}$

En faisant le remplacement avec les équations précédentes, on trouve :

$(n+1)\sum _{i=0}^{n}i^{k-1}=\sum _{i=0}^{n}i^{2}+\sum _{p=0}^{n}\sum _{i=0}^{p}i^{k-1}$

Le cas général : la formule de Faulhaber

Maintenant, étudions le cas général, mais sans recourir à une récursion.

$1^{k}+2^{k}+3^{k}+4^{k}+...+n^{k}=\sum _{i=0}^{n}i^{k}$

Et pour cela, commençons par étudier quelques exemples.

$\sum _{x=1}^{n}x^{0}=n$

$\sum _{x=1}^{n}x^{1}={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n$

$\sum _{x=1}^{n}x^{2}={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n$

$\sum _{x=1}^{n}x^{3}={\frac {1}{4}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}n^{2}$

$\sum _{x=1}^{n}x^{4}={\frac {1}{5}}n^{5}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{30}}n$

$\sum _{x=1}^{n}x^{5}={\frac {1}{6}}n^{6}+{\frac {1}{2}}n^{5}+{\frac {5}{12}}n^{4}+{\frac {1}{12}}n^{2}$

$\sum _{x=1}^{n}x^{6}={\frac {1}{7}}n^{7}+{\frac {1}{2}}n^{6}+{\frac {1}{2}}n^{5}+{\frac {1}{6}}n^{3}+{\frac {1}{42}}n$

Les exemples montrent que la formule finale est toujours un polynôme de degré égal à $k+1$ et on peut démontrer que cela se généralise à toute somme de puissance. De plus, le premier terme est toujours de la forme $n^{k+1} \over k+1$. On peut donc établir l'approximation suivante :

$\sum _{i=0}^{n}i^{k}\approx {\frac {n^{k+1}}{k+1}}$

On peut même aller plus loin en regardant le second terme, qui est toujours de la forme $n^{k} \over 2$. On a donc :

$\sum _{i=0}^{n}i^{k}\approx {\frac {n^{k+1}}{k+1}}+{\frac {n^{k}}{2}}$

Par contre, il ne semble pas y avoir de règle évidente pour les autres termes.

Maintenant, cherchons une formule non pas approchée, mais exacte.

Une approche intuitive de la formule de Faulhaber

Il existe une formule qui permet de calculer le cas général, appelée la formule de Faulhaber, du nom de son découvreur. Pour comprendre comment elle a été découverte, étudions les premiers exemples. Nous allons supposer que les formules sont des polynômes de degré $k+1$ et allons tenir compte des termes nuls.

$\sum _{x=1}^{n}x^{0}=n$

$\sum _{x=1}^{n}x^{1}={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n$

$\sum _{x=1}^{n}x^{2}={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n$

$\sum _{x=1}^{n}x^{3}={\frac {1}{4}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}n^{2}+0\cdot n$

$\sum _{x=1}^{n}x^{4}={\frac {1}{5}}n^{5}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{3}}n^{3}+0\cdot n^{2}+{\frac {1}{30}}n$

$\sum _{x=1}^{n}x^{5}={\frac {1}{6}}n^{6}+{\frac {1}{2}}n^{5}+{\frac {5}{12}}n^{4}+0\cdot n^{3}+{\frac {1}{12}}n^{2}+0\cdot n$

$\sum _{x=1}^{n}x^{6}={\frac {1}{7}}n^{7}+{\frac {1}{2}}n^{6}+{\frac {1}{2}}n^{5}+0\cdot n^{4}+{\frac {1}{6}}n^{3}+0\cdot n^{2}+{\frac {1}{42}}n$

Le premier terme est égal à $n^{k+1} \over k+1$. En factorisant $k+1$, on obtient :

$\sum _{x=1}^{n}x^{0}={\frac {1}{1}}\left[n\right]$

$\sum _{x=1}^{n}x^{1}={\frac {1}{2}}\left[n^{2}+2\cdot {\frac {1}{2}}\cdot n\right]$

$\sum _{x=1}^{n}x^{2}={\frac {1}{3}}\left[n^{3}+3\cdot {\frac {1}{2}}\cdot n^{2}+3\cdot {\frac {1}{6}}\cdot n\right]$

$\sum _{x=1}^{n}x^{3}={\frac {1}{4}}\left[n^{4}+4\cdot {\frac {1}{2}}\cdot n^{3}+6\cdot {\frac {1}{6}}\cdot n^{2}+0\cdot n\right]$

$\sum _{x=1}^{n}x^{4}={\frac {1}{5}}\left[n^{5}+5\cdot {\frac {1}{2}}\cdot n^{4}+10\cdot {\frac {1}{6}}\cdot n^{3}+5\cdot {\frac {1}{30}}\cdot n^{2}+0\cdot n\right]$

$\sum _{x=1}^{n}x^{5}={\frac {1}{6}}\left[n^{6}+6\cdot {\frac {1}{2}}\cdot n^{5}+15\cdot {\frac {5}{6}}\cdot n^{4}+0\cdot n^{3}+15\cdot {\frac {1}{30}}\cdot n^{2}+0\cdot n\right]$

$\sum _{x=1}^{n}x^{6}={\frac {1}{7}}\left[n^{7}+7\cdot {\frac {1}{2}}\cdot n^{6}+21\cdot {\frac {1}{6}}\cdot n^{5}+0\cdot n^{4}+0\cdot n^{3}+35\cdot {\frac {1}{30}}\cdot n^{2}+7\cdot {\frac {1}{42}}\cdot n\right]$

Triangle de Pascal.

Reste à trouver un moyen de calculer les coefficients, dont on voit qu'ils sont le produit de deux termes : un terme entier et une fraction. Maintenant, comparons les termes entiers avec ceux du triangle de Pascal, un triangle de nombres très connu en mathématiques et souvent utilisé dans des domaines divers. On voit que les termes entiers correspondent exactement à ceux du triangle de Pascal. Un triangle de pascal est donné ci-contre pour que vous puissiez comparer avec les termes des polynômes précédents. Par définition, le nombre situé à la ligne numéro $i$ et la colonne $j$ est égal à ce qu'on appelle le coefficient binomial ${i \choose j}$. Pour rappel, le coefficient binomial ${i \choose j}$ donne le nombre de configurations de $i$ éléments parmi un ensemble de $j$ éléments. On les calcule avec la formule suivante :

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}$.

Les polynomes précédents se reformulent donc :

$\sum _{x=1}^{n}x^{0}={\frac {1}{1}}\left[{1 \choose 0}n\right]$

$\sum _{x=1}^{n}x^{1}={\frac {1}{2}}\left[{2 \choose 0}n^{2}+{2 \choose 1}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot n\right]$

$\sum _{x=1}^{n}x^{2}={\frac {1}{3}}\left[{3 \choose 0}n^{3}+{3 \choose 1}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot n^{2}+{3 \choose 2}\cdot {\frac {1}{6}}\cdot n^{1}\right]$

$\sum _{x=1}^{n}x^{3}={\frac {1}{4}}\left[{4 \choose 0}n^{4}+{4 \choose 1}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot n^{3}+{4 \choose 2}\cdot {\frac {1}{6}}\cdot n^{2}+{4 \choose 3}\cdot 0\cdot n\right]$

$\sum _{x=1}^{n}x^{4}={\frac {1}{5}}\left[{5 \choose 0}n^{5}+{5 \choose 1}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot n^{4}+{5 \choose 2}\cdot {\frac {1}{6}}\cdot n^{3}+{5 \choose 3}\cdot 0\cdot n^{2}+{5 \choose 4}\cdot {\frac {1}{30}}\cdot n\right]$

$\sum _{x=1}^{n}x^{5}={\frac {1}{6}}\left[{5 \choose 0}n^{6}+{6 \choose 1}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot n^{5}+{6 \choose 2}\cdot {\frac {1}{6}}\cdot n^{4}+{6 \choose 3}\cdot 0\cdot n^{3}+{6 \choose 4}\cdot {\frac {1}{30}}\cdot n^{2}+{6 \choose 5}\cdot 0\cdot n\right]$

$\sum _{x=1}^{n}x^{6}={\frac {1}{7}}\left[{7 \choose 0}n^{7}+{7 \choose 1}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot n^{6}+{7 \choose 2}\cdot {\frac {1}{6}}\cdot n^{5}+{7 \choose 3}\cdot 0\cdot n^{4}+{7 \choose 4}\cdot {\frac {1}{30}}\cdot n^{3}+{7 \choose 5}\cdot 0\cdot n^{2}+{7 \choose 6}\cdot {\frac {1}{42}}\cdot n\right]$

Graphe des premiers nombres de Bernoulli.

Les coefficients fractionnaires placés juste avant les coefficients binomiaux sont appelés les nombres de Bernoulli , en référence à leur découvreur. En soi, les nombres de Bernoulli sont conçus de manière à ce que la méthode présentée au-dessus marche. On peut les fabriquer par des séries génératrices ou d'autres méthodes assez complexes, mais ils n'ont rien de particulier à eux seuls. Du moins, c'est ce qui apparaît au premier abord, mais ils sont utilisés dans divers développements mathématiques, comme en analyse, en théorie des nombres et dans d'autres domaines. Le énième nombre de la suite de Bernoulli sera notés $B_{n}$ dans ce qui suit. Les premiers nombres de Bernoulli sont : $B_{0}=1,\quad B_{1}=-{\tfrac {1}{2}},\quad B_{2}={\tfrac {1}{6}},\quad B_{3}=0,\quad B_{4}=-{\tfrac {1}{30}}\quad \dots$ Tous les termes impairs au-delà de $B_{1}$ sont égaux à zéro, ce qui élimine beaucoup de termes. Ils sont définis par la formule récursive suivante :

$B_{0}=1$

$B_{1}={1 \over 2}$

${\frac {1}{m+1}}\sum _{i=0}^{m}{m+1 \choose i}B_{i}=1$

La formule de Faulhaber : formalisation

Formalisons les observations précédentes. Pour commencer, les premières observations nous disent que la formule est un polynôme de degré $k+1$ :

$\sum _{i=0}^{n}i^{k}=\sum _{i=0}^{n}\left(a_{i}\cdot n^{k+1-i}\right)=a\cdot n^{k+1}+b\cdot n^{k}+c\cdot n^{k-1}+d\cdot n^{k-2}+...$

On factorise alors $k+1$, ce qui donne des polynômes obtenus de la forme :

$\sum _{i=0}^{n}i^{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{n}\left(k_{i}\cdot n^{k+1-i}\right)={\frac {1}{k+1}}\left[k_{1}\cdot n^{k+1}+k_{2}\cdot n^{k}+k_{2}\cdot n^{k-1}+k_{3}\cdot n^{k-2}+...\right]$

On sait que les coefficients $k_{i}$ sont le produit d'un coefficient binomial ${k+1 \choose i}$ par le nombre de Bernoulli $B_{i}$.

$\sum _{i=0}^{n}i^{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{n}\left[{k+1 \choose i}\cdot B_{i}\cdot n^{k+1-i}\right]={\frac {1}{k+1}}\left[n^{k+1}+{\frac {k+1}{2}}n^{k}+{\frac {1}{6}}{k+1 \choose 2}n^{k-1}-{\frac {1}{30}}{k+1 \choose 4}n^{k-3}+{\frac {1}{42}}{k+1 \choose 6}n^{k-5}+...\right]$

Une formule équivalente, mais plus lisible, est la suivante :

$\sum _{i=0}^{n}i^{k}={\frac {n^{k+1}}{k+1}}+{\frac {n^{k}}{2}}+\sum _{i=2}^{n}\left[{\frac {B_{i}}{i!}}\cdot {\frac {k!}{(k-i-1)!}}\cdot n^{k+1-i}\right]$

Les suites télescopiques

Les sommes télescopiques sont les sommes partielles de la forme :

Pour $\sum _{i=0}^{n}(u_{i+1}-u_{i})$

Le calcul d'une somme partielle télescopique

On peut facilement démontrer la formule suivante :

Pour $\sum _{i=0}^{n}(u_{i+1}-u_{i})=u_{n+1}-u_{0}$

De manière informelle, le raisonnement est le suivant. On part de la définition d'une somme télescopique :

$\sum _{i=0}^{n}(u_{i+1}-u_{i})$

Développons l'expression :

Pour $\sum _{i=0}^{n}(u_{i+1}-u_{i})=(u_{1}-u_{0})+(u_{2}-u_{1})+(u_{3}-u_{2})+(u_{4}-u_{3})+(u_{5}-u_{4})+(u_{6}-u_{5})+\cdots$

On peut changer l'ordre des termes, ce qui donne :

Pour $\sum _{i=0}^{n}(u_{i+1}-u_{i})=-u_{0}+(u_{1}-u_{1})+(u_{2}-u_{2})+(u_{3}-u_{3})+\cdots +(u_{n}-u_{n})+u_{n+1}=u_{n+1}-u_{0}$}}

Une démonstration plus formelle, équivalent à ce qui vient d'être dit, serait la suivante :

Démonstration

Partons de la définition d'une somme télescopique : $\sum _{i=0}^{n}(u_{i+1}-u_{i})$ Appliquons la formule $\sum _{i=0}^{n}(u_{n}+v_{n})=\left(\sum _{i=0}^{n}u_{n}\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}v_{n}\right)$ : $\left(\sum _{i=0}^{n}u_{i+1}\right)-\left(\sum _{i=0}^{n}u_{i}\right)$ En simplifiant, cela donne : $\left(\sum _{i=1}^{n+1}u_{i}\right)-\left(\sum _{i=0}^{n}u_{i}\right)$ Le calcul donne donc : Pour $\sum _{i=0}^{n}(u_{i+1}-u_{i})=u_{n+1}-u_{0}$

Le produit d'un suite telescopique par une autre suite

On a vu plus haut que le calcul de la somme partielle est beaucoup plus compliqué et il n'existe pas vraiment de formule générale qui fonctionne. On peut cependant déduire un résultat pour le cas particulier suivant :

$\sum _{i=0}^{n}\left[u_{i}\cdot (v_{i+1}-v_{i})\right]$

On voit que le cas particulier en question est le produit d'une suite par une somme télescopique $v_{n}-v_{n-1}$. Dans ce cas particulier, on peut alors utiliser la sommation par partie, que voici :

$\sum _{i=0}^{n}\left[u_{i}\cdot (v_{i+1}-v_{i})\right]=u_{n}\cdot v_{n+1}-u_{0}\cdot v_{0}-\sum _{i=1}^{n}\left[v_{n}\cdot (u_{n}-u_{n-1})\right]$

On peut appliquer cette formule dans le cas général, en transformant une suite en suite télescopique. Pour montrer comment, partons du cas général :

$P=\sum _{n=0}^{N}\left(a_{n}\cdot b_{n}\right)$

On peut alors définir la suite suivante :

$B_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k}$.

Par définition, on a $b_{n}=B_{n}-B_{n-1}$, ce qui permet de réécrire le produit P comme ceci :

$P=a_{0}b_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}(B_{n}-B_{n-1})$

En faisant une sommation par partie, on trouve alors :

$P=a_{0}b_{0}-a_{0}B_{0}+a_{N}B_{N}+\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}(a_{n}-a_{n+1}).$

Un exemple d'utilisation

Un exemple d'utilisation des théorèmes sur les suites télescopiques est le suivant. On peut retrouver la somme partielle de la suite de l'inverse des nombres oblongs, soit la somme partielle suivante, sans recourir à une démonstration par récurrence :

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i(i+1)}}=1-{\frac {1}{n+1}}$

Pour cela, il suffit de réécrire la suite initiale sous la forme d’une suite télescopique. Pour cela, partons de la suite initiale :

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i(i+1)}}$

On applique alors la formule ${\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i+1}}$

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i+1}}\right)$

La formule précédente s'identifie à la limite de la suite télescopique $u_{i}={\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i+1}}$. En appliquant la formule des suites télescopiques, on trouve que :

$S_{n}=1-{\frac {1}{n+1}}$

Les limites de suites

L'étude des suites porte le plus souvent sur la manière dont les termes se comportent quand le rang augmente. Par exemple, les mathématiciens ou physiciens cherchent souvent à savoir si les termes finaux d'une suite se rapprochent d'une valeur précise. Beaucoup de suites sont dans ce cas : les termes se rapprochent de plus en plus d'une valeur précise quand on augmente le rang. D'autres ne sont pas dans ce cas et voient leurs termes devenir de plus en plus grands ou petits avec le rang. C'est le cas de la suite $u_{n}=n$, par exemple. Le comportement d'une suite quand n grandit a beaucoup été étudié par les mathématiciens, qui lui ont donné le nom de comportement asymptotique.

La convergence/divergence d'une suite

Comme on le voit, le comportement des termes quand on augmente le rang vers l'infini varie beaucoup selon la suite. Cette intuition peut être formalisée assez simplement par le concept de limite d'une suite. Intuitivement, on peut se retrouver dans trois cas différents :

• Soit les termes se rapprochent, tendent, vers une valeur précise.
• Soit les termes tendent vers une valeur infinie.
• Soit les termes ne tendent vers aucune valeur, qu'elle soit finie ou infinie : c'est le cas par exemple de la suite 1, -1, 1, -1, 1, -1 ...

Dans le premier cas, on dit que la suite est convergente. Les deux autres cas correspondent à ce qu'on appelle une suite divergente. On voit qu'il existe deux types de suites divergentes, les premières tendent vers l'infini alors que les autres sont es suites un peu à part. Ces dernières sont appelées des suites sautantes. Elles sont définies par la condition suivante : soit a < b, la suite $(u_{n})$ est dite sautante si une infinité de termes est supérieur à b ($u_{n}>b$) et une autre infinité est inférieur à a ($u_{n}<a$).

Les suites divergentes

Une suite est dite divergente si ses termes finissent par devenir aussi grands que possible quand le rang augmente. Si on choisit une constante précise, aussi grande que l'on veut, alors tous les termes au-delà d'un certain rang dépasseront cette constante. Dit autrement, pour tout nombre M, il existe un rang n tel que $u_{n}>M$. La suite diverge alors vers l'infini $+\infty$. Le cas où la suite diverge vers $-\infty$ est similaire, si ce n'est que $u_{n}<M$ au-delà d'un rang n.

Les suites convergentes

Pour une suite qui converge, la logique est similaire au cas où la suite diverge, à quelques différences près. Pour une suite convergente, ses termes sont circonscrits dans un intervalle que l'on peut rendre aussi petit que possible quand le rang augmente. Le centre de cet intervalle est la limite de la suite. Précisément, si on choisit un nombre $\epsilon$, aussi petit que l'on veut, alors il y a un rang au-delà duquel les termes de la suite sont tous compris dans l'intervalle $[limite-\epsilon ,limite+\epsilon ]$.

Définition de la limite d'une suite.

On peut reformuler cette définition de la manière suivante : les suites convergentes sont bornées au-delà d'un certain rang, les bornes étant les valeurs $limite-\epsilon$ et $limite+\epsilon$. Cette définition montre plus clairement que la convergence d'une suite ne dépend pas de ses premiers termes.

On peut noter que si une suite converge, sa limite est unique : une suite ne peut pas converger vers deux limites différentes en même temps. Un bon moyen de le "démontrer" est simplement d'utiliser un raisonnement par l'absurde. Pour commencer, on suppose qu'une suite (peu importe laquelle) converge vers deux suites $l$ et $l'$. Au bout d'un certain rang, on sait que tout terme la de suite sera donc compris dans les intervalles $[l-\epsilon ,l+\epsilon ]$ et $[l'-\epsilon ,l'+\epsilon ]$. Évidemment, si l et l' sont différents, ces intervalles seront disjoints. Vu que chaque terme de la suite au-delà d'un certain rang ne peut pas appartenir à deux intervalles disjoints, on fait face à une contradiction.

Quelques exemples types de limites

Dans l'enseignement secondaire et/ou universitaire, vous aurez certainement à faire des calculs de limites. Dans ces calculs, certaines limites particulières ont tendance à revenir, à être fortement utiles. Dans ce qui va suivre, nous allons voir quelques exemples classiques de limites assez courants.

Nom de la suite	Formule paramétrée de la suite	Limite
Suite constante	$u_{n}=x$	$\lim \limits _{x\rightarrow +\infty }u_{n}=x$
Suite identité	$u_{n}=n$	$\lim \limits _{x\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty$
Suite harmonique	$u_{n}={\frac {1}{n}}$	$\lim \limits _{x\rightarrow +\infty }u_{n}=0$
Suite de l'inverse des carrés	$u_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$	$\lim \limits _{x\rightarrow +\infty }u_{n}=0$
Suite d'une puissance	$u_{n}=n^{a}$	Si $a>0$, la suite est croissante et sans majorant : elle diverge vers $+\infty$. Si $a=0$, la suite est constante et converge vers $1$. Si $a<0$, la suite est décroissante et avec une borne inférieure nulle : elle converge vers $0$.

Démontrer les limites du tableau précédent est assez simple : il suffit d'appliquer la définition.

Le cas des suites constantes est trivial. Pour la suite identité, on remarque rapidement qu'elle n'est pas bornée, ce qui signifie qu'elle n'a pas de limite et donc diverge.

Le cas de la suite harmonique est plus intéressant, bien qu'une simple application de la définition d'une suite suffise à donner le résultat.

L'exemple de la suite harmonique

Dans cette section, nous allons démontrer que la suite harmonique converge bien vers zéro. Pour cela, il suffit d'appliquer la définition de la limite d'une suite. Déjà, on sait que chaque terme de la suit ne peut être négatif : tout terme est positif ou nul : $u_{n}\geq 0$. Il ne reste plus qu'à prouver que si on choisit un $\epsilon$ aussi petit que l'on veut, on peut trouver un rang $n$ à partir duquel tous les termes de la suite sont plus petits que $\epsilon$. Déjà, on peut remarquer que la suite est décroissante : chaque terme est plus petit que le précédent. Donc, si on trouve un rang pour lequel $u_{n}<\epsilon$, alors les rangs suivants respectent aussi cette propriété. Dit autrement, on souhaite trouver $n$ tel que :

$0\leq u_{n}<\epsilon$

Appliquons l'équation $u_{n}={\frac {1}{n}}$ et faisons le remplacement :

$0\leq {\frac {1}{n}}<\epsilon$

On trouve alors qu'il faut que :

$0\leq {\frac {1}{\epsilon }}<n$

Or, un tel rang existe toujours. Vu que chaque terme de la suite ne peut être négatif, mais qu'on peut les rendre aussi petits que l'on veut, tant qu'ils restent à zéro ou plus, alors la limite de la suite est nulle.

Les critères de convergence usuels

Exemple de suite convergente.

Pour établir si une suite converge ou diverge, l'application de la définition d'une limite est rarement facile. Pour faire des démonstrations plus facilement, il existe de nombreux critères qui permettent de savoir si une suite converge ou non. Une simple analyse de la suite avec ces critères permet de déterminer si elle converge ou diverge. Ces critères sont nombreux et permettent surtout de savoir si une suite diverge, sans pour autant préciser si elle converge effectivement. D'autres permettent de comparer des suites à d'autres suites dont on sait qu'elles convergent ou divergent. Cette section va donner quelques critères de convergences usuels, simples à appliquer.

Les suites convergentes sont bornées

Une propriété importante des suites convergentes est qu'elles sont toutes bornées (pour rappel, cela signifie qu'elles ont un minimum et un maximum). Mais il faut faire attention à la réciproque, qui est fausse : une suite bornée n'est pas forcément convergente. Un bon contre-exemple est la suite définie par : $u_{n}=(-1)^{n}$. Celle-ci est bornée dans l'intervalle $[-1,1]$, mais elle ne converge pas. Pour résumer, les suites convergentes sont bornées. On peut donc déterminer si une suite diverge en vérifiant qu'elle est bornée. Si on démontre que ce n'est pas le cas, elle diverge. Si c'est le cas, on ne sait pas si elle diverge ou si elle converge.

Démonstration

Cette propriété n'est pas étonnante et découle directement de la définition d'une limite. Pour rappel, cette définition dit qu'il existe un rang $n$ tel que les termes de la suite sont bornés par l'intervalle : $[limite-\epsilon ,limite+\epsilon ]$ Avant ce rang $n$, il n'y a qu'un nombre fini de termes. Parmi ces termes, il y en a un qui est plus grand que les autres et un autre qui est plus petit que tous les autres. Notons ceux-ci max et min. Par définition, les termes de la suite avant le rang $n$ sont naturellement bornés dans l'intervalle suivant : $[min,max]$ La suite est donc bornée avant le rang : $n$, prendant et après : elle est donc bornée.

Le théorème des gendarmes

Illustration du théorème des gendarmes.

Le théorème des gendarmes, aussi appelé théorème du sandwich ou théorème d'encadrement, est un critère qui concerne les suites adjacentes. Si une suite est encadrée par deux suites qui convergent vers la même limite, alors on sait que les trois suites convergent vers la même limite. Cet encadrement est plus précisément un encadrement de chaque terme de la suite entre les termes de même rang des deux autres. Dit d'une manière plus claire, chaque terme $u_{n}$ de la suite encadré est compris entre les termes $v_{n}$ et $w_{n}$ des deux autres suites : $w_{n}\leq u_{n}\leq v_{n}$. Si à partir d'un certain rang, l'égalité précédente est respectée pour tous les termes, on sait que la suite encadrée converge et que sa limite est la même que celle des deux autres suites.

Pour résumer, supposons que l'on ait la condition suivante :

$v_{n}\leq u_{n}\leq w_{n}$, au-delà d'un certain rang n.

Alors on peut en déduire que :

$(\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}$