Les suites et séries/Les opérations sur les séries

On a vu dans le chapitre "Les opérations sur les multiplications de la suite", qu'il est possible d'additionner des suites entre elles, de les multiplier, les soustraire, les diviser, etc. Et les suites de sommes partielles ne font pas exception : ce sont des suites, de sommes partielles certes, mais des suites quand même. Les séries n'étant que les limites de ces sommes partielles, les théorèmes sur les limites de sommes/produit de suites s'appliquent parfaitement. Cela a des conséquences assez intéressantes, que nous allons détailler dans cette section.

Les opérations arithmétiques sur les suites

Dans ce qui va suivre, nous allons voir comment additionner, soustraire, multiplier et diviser des séries.

La série d'une somme de suites

Ce résultat peut permettre de calculer la série d'une somme de suites. Il suffit de mettre $\alpha$ et $\beta$ à 1 pour obtenir une somme. On a alors le résultat suivant. Soit deux séries convergentes $\sum _{n}a_{n}=A$ et $\sum _{n}b_{n}=B$, alors :

$\sum _{n}(a_{n}+b_{n})=A+B$

Ce résultat est simplement une application du théorème sur la limite d'une somme de suites, dans le cas où la suite est une série.

La série du produit d'une suite par une constante

Soit une constante $\alpha$ et une série convergente $\sum _{n}a_{n}=A$, alors :

$\sum _{n}(\alpha \times a_{n})=\alpha \sum _{n}a_{n}=\alpha A$

Ce résultat est simplement une application du théorème sur le produit d'une suite par une constante, dans le cas où la suite est une série.

La série d'une combinaison linéaire de suites

Soit deux séries convergentes $\sum _{n}a_{n}=A$ et $\sum _{n}b_{n}=B$, alors :

$\sum _{n}(\alpha \times a_{n}+\beta \times b_{n})=\alpha \sum _{n}a_{n}+\beta \sum _{n}b_{n}=\alpha A+\beta B$

Ce résultat est simplement une application des deux théorèmes précédents.

La série d'un produit

Soit deux séries convergentes $\sum _{n}a_{n}=A$ et $\sum _{n}b_{n}=B$, dont l'une des deux est absolument convergente, alors :

$\sum _{n}(a_{n}\times b_{n})=A\times B$

Ce résultat est simplement le théorème sur la limite d'un produit de suites, dans le cas où la suite est une série.

Les séries de nombres complexes

Les théorèmes précédents ont une application assez importante, dans le cas où la suite étudiée est une suite de nombres complexes. Prenons la suite de nombres complexes $(u_{n})$ et calculons sa suite. Chaque terme est la somme d'une partie réelle et d'une partie imaginaire : $u_{n}=a+ib$. Créons une suite $a_{n}$ qui ne comprend que la partie réelle de chaque terme, et une autre suite $b_{n}$ qui n'a que les parties imaginaires. On suppose que les deux suites convergent vers les limites respectives $A$ et $B$. On a alors :

$\sum _{n}u_{n}=\sum _{n}(a_{n}+ib_{n})$

$\sum _{n}u_{n}=\sum _{n}a_{n}+\sum _{n}(ib_{n})$

$\sum _{n}u_{n}=\sum _{n}a_{n}+i\sum _{n}(b_{n})$

$\sum _{n}u_{n}=A+iB$

On voit donc que la série $\sum _{n}u_{n}$ ne peut converger que si $\sum _{n}a_{n}$ et $\sum _{n}b_{n}$ convergent toutes deux.

Les séries télescopiques

Les séries télescopiques sont des séries dont les sommes partielles ne conservent qu'un nombre fini de termes, une fois qu'on a compensé les termes opposés. Dans de telles suites, les sommes partielles sont telles que certains termes se compensent, dans le sens où leur somme s'annule.

Les séries télescopiques simples

Les plus simples sont de la forme :

$\sum _{i=0}^{\infty }(u_{i+1}-u_{i})$

On peut démontrer que la limite de telles séries n'est autre que :

$\sum _{i=0}^{\infty }(u_{i+1}-u_{i})=\left(\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n+1}\right)-u_{0}$

Pour démontrer cette formule, il faut partir de la formule obtenue dans le chapitre sur les sommes partielles. On a en effet démontré que :

$\sum _{i=0}^{n}(u_{i+1}-u_{i})=u_{n+1}-u_{0}$

En prenant la limite de cette somme partielle quand n tend vers l'infini, on a :

$\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=0}^{n}(u_{i+1}-u_{i})=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(u_{n+1}-u_{0}\right)$

On peut alors sortir la constante $u_{0}$ :

$\sum _{i=0}^{\infty }(u_{i+1}-u_{i})=\left(\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n+1}\right)-u_{0}$

La formule précédente implique que la limite $\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n+1}$ existe bel et bien. Si ce n'est pas le cas, alors la série diverge.

Pour donner un exemple où une série télescopique diverge, on peut prendre la série suivante :

$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\ln(n+1)}{\ln n}}=\sum _{n\rightarrow \infty }[\ln(n+1)-\ln n]$

On trouve alors :

$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\ln(n+1)}{\ln n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }[\ln(n+1)]-\ln 1$

Le premier terme $\lim _{n\rightarrow \infty }[\ln(n+1)]$ diverge, ce qui fait que la série au total diverge elle aussi.

D'autres séries télescopiques

Toutes les séries télescopiques ne s'écrivent pas sous la forme précédente, à savoir :

$\sum _{i=0}^{\infty }(u_{i+1}-u_{i})$

Comme premier exemple, nous allons étudier la série suivante :

$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {k}{i(i+k)}}$

On peut la réécrire comme ceci :

$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(i+k)-i}{i(i+k)}}$

En factorisant, on a :

$\sum _{i=0}^{\infty }\left[{\frac {i+k}{i(i+k)}}-{\frac {i}{i(i+k)}}\right]$

En simplifiant, on a :

$\sum _{i=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i+k}}\right]$

Ce qui se réécrit comme suit :

$\left(\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i}}\right)-\left(\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i+k}}\right)$

Cela est équivalent à :

$\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+\cdots \right)-\left({\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{k+2}}+{\frac {1}{k+3}}+{\frac {1}{k+4}}+\cdots \right)$

On peut le réécrire comme suit :

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{k-1}}+\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k+1}}-{\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{k+2}}-{\frac {1}{k+2}}+\cdots \right)$

On voit que tous les termes à partir de ${\frac {1}{k}}$ s'annulent. Au final, il ne reste qu'un nombre fini de termes, ce qui fait que la série est techniquement parlant une série télescopique. Le tout se simplifie en :

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{k-1}}=H_{k}$, avec $H_{k}$ le k-ième nombre harmonique.

En divisant la série précédente par k, on trouve la limite de la suite suivante :

$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i(i+k)}}={\frac {H_{k}}{k}}$

Dans le cas particulier où k=1, on trouve la série suivante. Celle-ci est la série de l’inverse des nombres oblongs. Pour rappel, un nombre oblong est la somme de deux nombres consécutifs et le énième nombre oblong est égal à n(n+1).

$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i(i+1)}}=H_{1}=1$

La formule précédente nous permet de calculer la série de l'inverse des nombres triangulaires. Car si la suite et la série des nombres triangulaires divergent, ce n'est pas le cas de leur inverse. Pour le montrer, il suffit de se rappeler que le énième nombre triangulaire est égal à la moitié du énième nombre oblong : $\sum _{i=0}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$. En prenant l'inverse, on trouve alors :

$\sum _{i=0}^{\infty }\left(\sum _{n=0}^{i}{\frac {1}{n}}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {2}{i(i+1)}}=2\cdot \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i(i+1)}}=2$