Les suites et séries/Les critères de convergence d'une série

Comme on l'a dit il y a quelques chapitres, certaines séries convergent alors que d'autres non. Nous avons notamment prouvé que la série harmonique diverge en utilisant une méthode asse idiosyncratique. Mais heureusement, il existe des méthodes plus générales pour déterminer si une série converge ou non. Ces méthodes sont souvent appelées des critères de convergence. Il en existe beaucoup, aussi ce chapitre ne vous présentera que les principaux, ceux les plus facilement utilisables. Nous verrons les critères de Cauchy, d'Abel, le test du ratio et de la racine carrée, et quelques autres.

Le test de la limite de la suite

Une condition nécessaire pour qu'une série converge est que son terme générale tende vers 0 avec le rang : si $\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}$ converge, alors $\lim _{n\to \infty }u_{n}=0$.

La contraposée de ce résultat donne un critère simple de divergence : une série dont le terme général ne tend pas vers 0 diverge.

Attention toutefois : le fait que le terme général d'une série tende vers 0 ne signifie pas que celle-ci est forcément convergente. Par exemple, la série harmonique, de terme général $u_{n}={\tfrac {1}{n}}$ qui tend vers 0 lorsque $n$ tend vers l'infini, diverge :

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+...=+\infty$

(ceci sera démontré dans la chapitres suivants).

Exemple d'une suite dont les membres tendent vers zéro. Il s'agit d'une suite géométrique de raison 2/3 et de premier terme 1. On voit sur le schéma que les termes de la suite diminuent progressivement, tout en restant positifs.

Un premier exemple : la suite ${\frac {n}{n+1}}$

Comme premier exemple, nous allons prouver que la série suivante diverge :

$\sum _{n}{\frac {n}{n+1}}=+\infty$

Calculons la limite de la suite ${\frac {n}{n+1}}$ :

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{n+1}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)-1}{n+1}}=\lim _{n\to \infty }1-{\frac {1}{n+1}}=1$

Vu que la limite de la suite n'est pas nulle, la série ne peut pas converger.

Un second exemple : la convergence des suites entières

Dans cette section, nous allons voir le cas des séries naturelles. Les séries naturelles sont formées à partir de suites naturelles, des suites dont tous les termes sont des nombres entiers naturels (positifs ou nuls), sans exception. Le critère précédent nous dit que, pour que sa série converge, la suite naturelle doit tendre vers zéro. Ce critère peut se reformuler en disant que toute suite naturelle qui converge doit n'avoir que des termes nuls au-delà d'un certain rang : les seuls termes non-nuls se situent avant ce rang, mais en aucun cas après. On peut reformuler encore une fois en disant que la suite naturelle doit avoir un nombre fini de termes non-nuls. Si ce n'est pas le cas, la série diverge complètement.

Pour vous donner un exemple, prenons la suite définie par :

$u_{n}={\begin{cases}1{\mbox{ si }}n=2^{k}\\0{\mbox{ sinon }}\end{cases}}$

La série qui correspond diverge. Il y a beau avoir une quantité infinie de termes nuls, il y a aussi une infinité de termes non-nuls : le critère nous dit que la suite ne peut pas converger.

Le critère de condensation de Cauchy

Le critère de condensation de Cauchy s'applique à un nombre limité de suites, qui doivent avoir certaines caractéristiques. Dans le détail, ce critère s'applique aux suites décroissantes, qui tendent vers zéro. Un bon exemple serait la suite harmonique, qui est strictement décroissante (nous l'avons démontré dans le premier chapitre) et qui tend vers zéro (nous l'avons aussi démontré dans le second chapitre). Cette suite est donc parfaitement applicable au critère que nous allons aborder. Comme autre exemple, nous pourrions citer la suite de l'inverse des carrés ou des cubes, ou les autres suites harmoniques. Mais la suite harmonique alternée ne serait pas éligible pour ce critère : elle a beau avoir une limite nulle, elle n'est pas décroissante : c'est une suite alternée.

Le critère de condensation de Cauchy s'applique donc à une suite $<u_{n}>$ décroissante et de limite nulle. Celui-ci permet de dire si la série suivante converge :

$\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}$

Elle converge si et seulement si la série dérivée suivante converge :

$\sum _{n=0}^{\infty }\left(2^{n}\times u_{2^{n}}\right)$

Exemple d'application : la série harmonique

Ce critère peut sembler assez abscons, aussi nous allons l'illustrer par un exemple. Nous allons démontrer que la série harmonique diverge, encore une fois. Comme dit plus haut, la suite harmonique respecte les critères d'éligibilité. Nous voulons calculer la série

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n}}$

Le critère nous dit qu'elle converge si et seulement si la série dérivée suivante converge :

$\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}\times {\frac {1}{2^{n}}}$

Quelques simplifications algébriques triviales donnent :

$\sum _{n=0}^{\infty }1=\infty$

La série dérivée diverge, ce qui fait que la série harmonique initiale aussi. CQFD !

Démonstration

Une démonstration de ce théorème est accessible via le lien suivant :

• démonstration du critère de concentration de Cauchy (en anglais).

Les critères pour les séries réelles à termes positifs

Les critères que nous allons voir dans cette section ne sont valables uniquement pour certaines suites de nombres réels, celles dont les termes sont tous positifs et/ou nuls. Ils ne sont pas applicables aux séries dont certains termes sont négatifs.

L'application du théorème des suites croissantes

Le premier critère se base sur le fait que, pour les suites à termes positifs ou nuls, toute somme partielle est croissante. Ce lemme se démontre assez facilement : la différence entre deux sommes partielles consécutives vaut : $\sum _{n=0}^{n}u_{n}=u_{n}+\sum _{n=0}^{n-1}u_{n}$. Vu que, par définition, $u_{n}\geq 0$, on a : $\sum _{n=0}^{n}u_{n}\geq \sum _{n=0}^{n-1}u_{n}$. Ce qui, traduit en langage humain, dit que la suite des sommes partielles est croissante.

On peut alors appliquer le théorème des suites monotones : la suite des sommes partielles étant croissante, elle converge seulement si elle est majorée. La série diverge si ce n'est pas le cas, et converge si ce l'est.

Le test de comparaison

Le test de comparaison permet de comparer deux suites entre elles : si l'on sait que l'une converge ou diverge, on peut alors savoir ce qu'il en est pour l'autre. Cette comparaison compare une série cible avec une série test. La comparaison s'effectue terme à terme : on cherche à savoir, pour deux suites $a_{n}$ et $b_{n}$, si :

• $a_{n}\geq b_{n}\geq 0$ pour tout rang $n$ ;
• $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ pour tout rang $n$ ;
• $a_{n}=b_{n}$ pour tout rang $n$.

Si l'une des trois conditions est représentée, on peut parfois déterminer si $a_{n}$ converge ou diverge selon la convergence/divergence de $b_{n}$. Le cas le plus simple à étudier est clairement le cas où $a_{n}=b_{n}$ pour tout rang $n$. Soit les deux suites divergent, soit elles convergent. Les deux autres cas sont plus intéressants à étudier.

Si $a_{n}\leq b_{n}$ pour tout rang $n$ et que $b_{n}$ converge, alors $a_{n}$ converge elle aussi. Dans le cas où $b_{n}$ diverge, on ne peut cependant pas conclure : la série $<a_{n}>$ peut aussi bien converger que diverger.

Si $a_{n}\geq b_{n}$ pour tout rang $n$ et que $b_{n}$ diverge, alors $a_{n}$ diverge elle aussi. Dans le cas où $b_{n}$ converge, on ne peut cependant pas conclure : la série $<a_{n}>$ peut aussi bien converger que diverger.

	$b_{n}$ converge	$b_{n}$ diverge
$a_{n}=b_{n}$	$a_{n}$ converge	$a_{n}$ diverge
$a_{n}\geq b_{n}$	On ne sait pas	$a_{n}$ diverge
$a_{n}\leq b_{n}$	$a_{n}$ converge	On ne sait pas

Une généralisation du résultat

Le résultat peut se généraliser aux cas où :

• $a_{n}\geq k\times b_{n}$ pour tout rang $n$ ;
• $a_{n}\leq k\times b_{n}$ pour tout rang $n$ ;
• $a_{n}=k\times b_{n}$ pour tout rang $n$.

La raison en est simple : multiplier une série par une constante ne fait que multiplier son résultat par cette même constante. Si une série converge, son résultat sera simplement multiplié par la constante en question : le résultat convergera aussi.

Le critère de comparaison des limites

Le critère de comparaison des limites est utile si l'on sait que l'une des deux converge/diverge et que l'on veut savoir ce qu'il en est de la seconde.

Prenons deux suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$, dont les termes sont positifs ou nuls. De plus, leur quotient tend vers une limite finie, non-nulle. En clair, on a :

$\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=q$ avec $q>0$

Dans ce cas, le théorème que nous allons voir nous dit que soit les deux convergent, soit les deux divergent. Précisément, trois cas permettent de conclure :

• Si $q=0$ et que la suite $(b_{n})$ converge, alors $(a_{n})$ converge aussi.
• Si $0<q<+\infty$ et qu'une des suites converge, alors l'autre converge aussi.
• Si $q=+\infty$ et que la suite $(b_{n})$ diverge, alors $(a_{n})$ diverge aussi.

On peut remarquer que ce critère n'est qu'un corolaire du critère précédent.

Exemple d'application

Pour illustrer ce théorème, nous allons prendre le cas de la suite de l'inverse des entiers pairs. Nous allons la comparer à la suite harmonique, ce qui nous dit que les deux sont multiples d'une de l'autre. En effet :

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2}}{\frac {1}{n}}={\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n}}$

On a donc :

$\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {1}{2}}$

Or, l'on sait que la série $<b_{n}>$ (ici, la série harmonique) diverge : l'autre série (ici la série de l'inverse des entiers pairs) diverge aussi.

La règle d'Alembert

Le critère qui va suivre permet de savoir si une série converge, sans avoir à la comparer à une suite déjà connue. Ce critère se contente d'analyser la suite $u_{n}$. Précisément, il demande de calculer le rapport :

$\lim _{n\to \infty }|{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}|=l$

• Si $l>1$, la série diverge ;
• Si $l<1$, la série converge ;
• Dans les autres cas, on ne peut pas conclure.

Démonstration

Il est facile de démontrer ce critère, qui n'est en réalité que l'application de la définition d'une limite couplée à quelques formules assez simples. On peut notamment remarquer que ce critère est fortement semblable au critère de convergence d'une série géométrique : le critère du ratio ne fait que calculer une « raison géométrique » à une suite quelconque (pas forcément géométrique). Rappelons ce que signifie la formule : $\lim _{n\to \infty }|{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}|=l$. Cette formule signifie qu'au-delà d'un rang $N$, on a : $l-\epsilon \leq |{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}|\leq l+\epsilon$ Donc : $|u_{n}|=|{\frac {u_{n}}{u_{n-1}}}|\times |{\frac {u_{n-1}}{u_{n-2}}}|\times |{\frac {u_{n-2}}{u_{n-3}}}|\times |{\frac {u_{n-3}}{u_{n-4}}}|\cdots$ On en déduit l'inégalité suivante : $|u_{n}|\leq (l+\epsilon )^{n-N-1}|u_{n+1}|$ Le terme de droite est une suite géométrique de raison $l+\epsilon$, qui converge si $l+\epsilon <1$ et diverge si $l+\epsilon >1$. Donc, par comparaison, le terme de gauche fait de même. CQFD !

Exemple d'application : la suite du rapport puissance/factorielle

Le critère précédent permet de démontrer que la série suivante converge :

$\sum _{n}{\frac {x^{n}}{n!}}$

Pour cela, calculons le rapport : ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}$ :

${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}={\frac {x^{(n+1)}}{(n+1)!}}{\frac {n!}{x^{n}}}={\frac {x^{(n+1)}}{x^{n}}}{\frac {n!}{(n+1)!}}={\frac {x}{n+1}}$

Or, $x$ est une constante, ce qui fait que ce rapport tend vers 0.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x}{n+1}}=0$

En conséquence, la série converge !

La règle de Cauchy

Le critère de Cauchy (différent du critère de Cauchy pour les suites) permet de savoir si une série converge, sans avoir à la comparer à une suite déjà connue. Ce critère se contente d'analyser, pour une suite $u_{n}$, la limite suivante :

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|u_{n}|}}=L$

• Si $L>1$, la série diverge ;
• Si $L<1$, la série converge ;
• Dans les autres cas, on ne peut pas conclure.

Démonstration

Démonstration de la convergence pour $L<1$ : Si on a $L<1$, alors il existe un entier $r$ tel que : ${\sqrt[{n}]{|u_{n}|}}<r<1$ On élève alors les deux termes à la puissance n : $u_{n}<r^{n}$ Or, la suite $r^{n}$ est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison $r<1$ : elle converge donc. La suite $u_{n}$, par le critère de comparaison converge aussi. CQFD !

Démonstration

Démonstration de la divergence pour $L>1$ : Si on a $L<1$, alors il existe un entier $r$ tel que : ${\sqrt[{n}]{|u_{n}|}}>r>1$ On élève alors les deux termes à la puissance n : $u_{n}>r^{n}>1$ La suite $r^{n}$ est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison $r>1$ : elle diverge donc. La suite $u_{n}$, par le critère de comparaison diverge aussi. CQFD !