Les suites et séries/Les séries alternées

Une suite est dite alternée si des termes consécutifs n'ont pas le même signe. Dit autrement, le signe change quand on passe d'un terme au suivant. La moitié des termes de la suite sont positifs, les autres étant négatifs. Les suites alternées sont donc des suites de la forme :

$u_{n}=(-1)^{n}|u_{n}|$ ou $u_{n}=(-1)^{n+1}|u_{n}|$

Les séries alternées sont des séries obtenues en additionnant les termes d'une suite alternée. Ce sont des séries de la forme :

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}|u_{n}|$ ou $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}|u_{n}|$

Une particularité de ces suites est qu'elles ont des termes négatifs (ce ne sont pas les seules, évidemment), ce qui fait que leur convergence absolue n'est pas garantie. Rappelez-vous la différence entre convergence absolue et conditionnelle : la suite converge toujours dans le premier cas, seulement si on additionne les termes dans le bon ordre dans le second. Les suites à convergence conditionnelle peuvent diverger ou converger vers une limite arbitraire, suivant comment on additionne les termes. Et nous avons vu une condition pour qu'une suite converge absolument : la suite composée des valeurs absolues de chaque terme doit converger. Si ce n'est pas le cas, la convergence de la suite est conditionnelle. Là où une suite de termes positifs converge absolument ou diverge, une suite avec des termes négatifs peut avoir une convergence conditionnelle. Les suites alternées sont dans ce cas, ce qui rend l'étude de leur convergence plus compliquée que pour les suites vues dans les chapitres précédents.

Les critères de convergence pour les suites alternées

Il est parfaitement possible d'appliquer les critères de convergence généraux sur les suites alternées. Mais certains critères de convergence sont spécifiques à de telles suites et ne peuvent pas s'appliquer aux suites non-alternées. Et dans de nombreux cas, ces critères spécifiques sont plus faciles à manier que les critères généraux. Voyons rapidement quels sont ces critères spécifiques aux suites alternées.

La règle de Leibniz

Le premier critère porte le nom de règle de Leibniz. Il nous dit que pour une suite alternée qui tend vers zéro et dont la valeur absolue des termes forme une suite décroissante, la série alternée associée converge. Dit autrement, on doit avoir $|u_{n+1}|<|u_{n}|$, ainsi que $\lim _{n\rightarrow 0}u_{n}\rightarrow 0$.

Le reste d'une suite alternée

Sous ces hypothèses, on peut aussi prouver quelques propriétés liées à la quantité $R_{n}=\sum _{i=n+1}^{\infty }u_{i}=\sum _{i=0}^{\infty }u_{i}-\sum _{i=0}^{n}u_{i}$. Celle-ci n'est autre que la différence entre la série et une somme partielle de la suite et est appelée le reste. On peut alors prouver que :

• Le reste a le même signe que son premier terme $u_{n+1}$.
• Sa valeur absolue est majorée par ce même premier terme : $R_{n}<u_{n+1}$.

Les séries harmoniques alternées

Après avoir vu les critères de convergence usuel, pour les suites alternées, nous allons analyser quelques suites alternées assez simples. Dans cette section, nous allons voir les différentes suites harmoniques alternées.

La série harmonique alternée

Prenons un exemple très simple de suite qui peut s'analyser avec respecte la règle de Liebniz : la série harmonique alternée. Pour rappel, la suite harmonique alternée est définie par :

$u_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n}}=1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},...$

Rappelons que la série harmonique ne converge pas. En conséquence, on sait que si la suite harmonique alternée converge, sa convergence ne peut être que conditionnelle et non absolue. Il n’empêche que l'on peut quand même lui appliquer le critère de Liebniz. Déjà, si on prend les valeurs absolues, la suite devient la suite harmonique qu'on sait décroissante. La première condition, à savoir $|u_{n+1}|<|u_{n}|$ pour tout rang n, est donc remplie. Ensuite, la suite tend bien vers zéro, comme la suite harmonique (le changement de signes à chaque terme n'y change pas grand-chose). La série harmonique converge donc, même si sa convergence est conditionnelle.

La série de Leibniz

La série de Leibniz est assez similaire à la série harmonique alternée, une variante de la série harmonique où des termes consécutifs sont de signes opposés. La différence est que les inverses des entiers sont remplacés par les inverses des entiers impairs. Comme pour la série harmonique alternée, les signes des termes s'inversent d'un terme à l'autre. Cette série vaut :

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+...={\frac {\pi }{4}}$

Démonstration

Pour le démontrer, nous allons partir de la fonction sinus. Rien d'étonnant à cela, ${\frac {\pi }{4}}$ étant une valeur beaucoup utilisée en trigonométrie, notamment avec la fonction sinus. On verra dans quelques chapitres que la fonction sinus peut s'écrire comme un polynôme infini (le terme exact est "série entière", mais nous y reviendrons plus tard). Pour le moment, admettons que la fonction sinus s'écrive bien comme suit, avec un nombre infini de termes : $sin(x)=a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}+a_{4}\cdot x^{4}+a_{5}\cdot x^{5}+...$ Quand un polynôme dispose de plusieurs zéros notés $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$, $z_{4}$, ... ; alors le polynôme s'écrit comme suit : $P(x)=a\cdot (x-z_{1})(x-z_{2})(x-z_{3})(x-z_{4})...$ Or, la fonction sinus s'annule pour tous les multiples de $\pi$, ce qui signifie que les multiples de $\pi$ sont les zéros de ce polynôme infini. On peut écrire le polynôme infini de sinus comme suit, en tenant compte des zéros négatifs, positifs et nuls : $\sin(x)=x(x-\pi )(x+\pi )(x-2\pi )(x+2\pi )(x-3\pi )(x+3\pi )(x-4\pi )(x+4\pi )...$ Factorisons x : $\sin(x)=x\cdot \left[\left(1-{\frac {\pi }{x}}\right)\left(1+{\frac {\pi }{x}}\right)\left(1-{\frac {2\pi }{x}}\right)\left(1+{\frac {2\pi }{x}}\right)\left(1-{\frac {3\pi }{x}}\right)\left(1+{\frac {3\pi }{x}}\right)\left(1-{\frac {4\pi }{x}}\right)\left(1+{\frac {4\pi }{x}}\right)...\right]$ Prenons maintenant le logarithme de l'expression précédente : $\ln \sin(x)=\ln \left[x\cdot \left(1-{\frac {\pi }{x}}\right)\left(1+{\frac {\pi }{x}}\right)\left(1-{\frac {2\pi }{x}}\right)\left(1+{\frac {2\pi }{x}}\right)\left(1-{\frac {3\pi }{x}}\right)\left(1+{\frac {3\pi }{x}}\right)\left(1-{\frac {4\pi }{x}}\right)\left(1+{\frac {4\pi }{x}}\right)...\right]$ On applique la formule $\ln(a\cdot b)=\ln a+\ln b$, qui dit que le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes : $\ln \sin(x)=\ln x+\ln \left(1-{\frac {\pi }{x}}\right)+\ln \left(1+{\frac {\pi }{x}}\right)+\ln \left(1-{\frac {2\pi }{x}}\right)+\ln \left(1+{\frac {2\pi }{x}}\right)+\ln \left(1-{\frac {3\pi }{x}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3\pi }{x}}\right)+\ln \left(1-{\frac {4\pi }{x}}\right)+\ln \left(1+{\frac {4\pi }{x}}\right)+...$ Prenons maintenant la dérivée. On sait que $[\ln u]'={\frac {u'}{u}}$. En appliquant ce théorème sur le premier terme, on a $[\ln \sin(x)]'={\frac {(\sin x)'}{\sin x}}={\frac {\cos x}{\sin x}}$. On a alors : ${\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{\pi -x}}+{\frac {1}{\pi +x}}-{\frac {1}{2\pi -x}}+{\frac {1}{2\pi +x}}-{\frac {1}{3\pi -x}}+{\frac {1}{3\pi +x}}-{\frac {1}{4\pi -x}}+{\frac {1}{4\pi +x}}...$ En prenant $x={\frac {\pi }{4}}$, on a : ${\frac {\cos {\frac {\pi }{4}}}{\sin {\frac {\pi }{4}}}}={\frac {1}{\frac {\pi }{4}}}-{\frac {1}{\pi -{\frac {\pi }{4}}}}+{\frac {1}{\pi +{\frac {\pi }{4}}}}-{\frac {1}{2\pi -{\frac {\pi }{4}}}}+{\frac {1}{2\pi +{\frac {\pi }{4}}}}-{\frac {1}{3\pi -{\frac {\pi }{4}}}}+{\frac {1}{3\pi +{\frac {\pi }{4}}}}-{\frac {1}{4\pi -{\frac {\pi }{4}}}}+{\frac {1}{4\pi +{\frac {\pi }{4}}}}...$ Simplifions : ${\frac {\cos {\frac {\pi }{4}}}{\sin {\frac {\pi }{4}}}}={\frac {1}{\frac {\pi }{4}}}-{\frac {1}{\frac {3\pi }{4}}}+{\frac {1}{\frac {5\pi }{4}}}-{\frac {1}{\frac {7\pi }{4}}}+{\frac {1}{\frac {9\pi }{4}}}-{\frac {1}{\frac {11\pi }{4}}}+{\frac {1}{\frac {13\pi }{4}}}-...$ Simplifions encore : ${\frac {\cos {\frac {\pi }{4}}}{\sin {\frac {\pi }{4}}}}={\frac {4}{\pi }}-{\frac {4}{3\pi }}+{\frac {4}{5\pi }}-{\frac {4}{7\pi }}+{\frac {4}{9\pi }}-{\frac {4}{11\pi }}+{\frac {4}{13\pi }}-...$ Factorisons ${\frac {4}{\pi }}$ : ${\frac {\cos {\frac {\pi }{4}}}{\sin {\frac {\pi }{4}}}}={\frac {4}{\pi }}\left[1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}-...\right]$ Sachant que ${\frac {\cos {\frac {\pi }{4}}}{\sin {\frac {\pi }{4}}}}=1$, on a : $1={\frac {4}{\pi }}\left[1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}-...\right]$ Multiplions maintenant par ${\frac {\pi }{4}}$ : ${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}-...$