Les suites et séries/Les séries entières

Dans le chapitre précédent, nous avons étudié les séries géométriques, à savoir des séries de la forme :

$\sum _{n}k\cdot x^{n}$

Ces séries ont cependant une particularité : le coefficient $k$ est le même pour tous les termes de la suite géométrique. Cependant, on peut imaginer des séries plus générales que les suites géométriques, où le coefficient $k$ changerait à chaque rang. Ces généralisations des séries géométriques sont appelées des séries de puissances, souvent mal nommées séries entières. On peut voir les séries entières comme un polynôme avec une infinité de termes, bien que la formulation ne soit pas très rigoureuse.

Dans leur forme la plus simple, les séries entières sont de la forme suivante :

$\sum _{n}a_{n}\cdot x^{n}=a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}+a_{4}\cdot x^{4}+a_{5}\cdot x^{5}+...$

De telles séries sont centrées sur zéro. Cela signifie que pour $x=0$, les termes disparaissent à l'exception du tout premier, $a_{0}$.

Plus généralement, les séries entières sont les suivantes :

$\sum _{n}a_{n}\cdot (x-c)^{n}$

De telles séries entières sont centrées sur c. Là encore, cela veut dire que pour $x=c$, les termes disparaissent à l'exception du tout premier, $a_{0}$.

La différence entre série centrée sur zéro et série centrée sur c est utile pour simplifier certaines démonstrations. On peut en effet généraliser les résultats obtenus avec les séries centrées sur zéro, aux séries centrées sur c, par un simple changement de variable. Il suffit pour cela d'étudier la série $\sum _{n}a_{n}\cdot y^{n}$, naturellement centrée sur zéro, en posant $y=x-c$.

De nombreuses séries de ce genre sont utilisées, les plus connues étant de loin les séries de Taylor ou de Laurent, qui en sont les cas particuliers les plus connues.

La convergence des séries entières

Les séries entières peuvent converger ou diverger, selon la valeur de leur raison ou de leurs coefficients $a_{n}$. On est certain qu'il existe au moins une valeur pour laquelle la série converge toujours : le centre de la série. Une série centrée sur zéro converge forcément pour $x=0$, de même qu'une série centrée sur a converge pour $x=a$. Mais pour les autres valeurs de x, le comportement varie grandement suivant la série. Si l'on prend une série centrée sur a, on peut se retrouver dans trois cas distincts :

• soit la série converge pour tout x ;
• soit la série converge pour a et diverge pour toute autre valeur ;
• soit la série converge quand x appartient à un intervalle bien précis, appelé l'intervalle de convergence.

Le dernier cas est celui qui va nous intéresser. L'intervalle de convergence a plusieurs propriétés intéressantes. Déjà, on sait qu'il contient la valeur a, sur laquelle la série est centrée. Mais on peut ajouter que a est au milieu de l'intervalle, qui est symétrique par rapport à a. La distance entre a et les bornes de l'intervalle est appelé le rayon de convergence de la série, et sera notée R dans ce qui suit. Avec ce qu'on vient de dire, la série converge quand $|x-a|<R$ et diverge pour tout $|x-a|>R$. Pour $|x-a|=R$, la série peut diverger ou converger, tout dépend de la série étudiée.

L'application du critère l'Alembert

Le comportement décrit plus haut peut faire penser aux séries géométriques. Comme pour les séries entières, elles convergent forcément pour $x=0$, et leur convergence dans les autres cas dépend de la valeur de la raison. Suivant la valeur de la raison, elles peuvent converger ou non. Nous allons voir que les propriétés de convergence de ces séries entières sont assez similaires à celles des séries géométriques, à quelques détails près. Pour nous en rendre compte, nous allons étudier divers exemples.

Un premier exemple

Comme premier exemple, nous allons utiliser la suite définie par :

$\sum _{n}{\frac {x^{n}}{n}}$, à savoir une série entière où $a_{n}={\frac {1}{n}}$

On peut alors utiliser le test du quotient pour vérifier si cette suite converge ou non. Calculons :

$\lim _{n\to \infty }{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {x^{n+1}}{n+1}}/{\frac {x^{n}}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {x^{n+1}}{n+1}}{\frac {n}{x^{n}}}=\lim _{n\to \infty }x{\frac {n}{n+1}}=\lim _{n\to \infty }x\left(1-{\frac {1}{n+1}}\right)=x$

On voit que la série converge si la limite, donc $x$, est inférieure à 1. Elle diverge si elle est supérieure à 1. Dans le cas où $x=1$, on retombe sur la série harmonique qui est divergente. Pour les valeurs négatives de $x$, les résultats sont identiques, si ce n'est que le cas où $x=-1$ donne la série harmonique alternée, qui diverge elle aussi.

Un second exemple

On peut aussi étudier la série suivante, assez semblable à la série précédente :

$\sum _{n}{\frac {x^{n}}{n!}}$

On a montré il y a quelques chapitres que la série converge quelle que soit la valeur donnée à $x$. La démonstration avait été réalisée avec la méthode du quotient, illustrée plus haut. Nous reproduisons ici cette démonstration, pour montrer la ressemblance avec la démonstration pour la série précédente.

Calculons le rapport : ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}$ :

${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}={\frac {x^{(n+1)}}{(n+1)!}}{\frac {n!}{x^{n}}}={\frac {x^{(n+1)}}{x^{n}}}{\frac {n!}{(n+1)!}}={\frac {x}{n+1}}$

Or, $x$ est une constante, ce qui fait que ce rapport tend vers 0.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x}{n+1}}=0$

En conséquence, la série converge !

Dans le cas où $x=1$, la série se simplifie en la série de l'inverse des factorielles, qui vaut :

$\sum _{n}{\frac {1^{n}}{n!}}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+{\frac {1}{5!}}+\cdots =e$

Le cas général

Comme vous l'avez peut-être remarqué, l'application de la règle d'Alembert donne des démonstrations extrêmement similaires pour toutes les séries entières. En effet, prenons le cas général, à savoir :

$\lim _{n\to \infty }{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}x^{n+1}}{a_{n}x^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}{\frac {x^{n+1}}{x^{n}}}=x\left(\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)=xL$

Le critère d'Alembert dit que la série converge toujours pour :

$|x|\cdot L<1$

On vient d'établir que la série converge si :

$|x|<{\frac {1}{L}}$

La convergence de la série entière dépend donc de la convergence de la suite $a_{n}$, même si celle-ci ne converge pas. On a bien le cas de la série : $\sum _{n}{\frac {x^{n}}{n}}$ où la suite des $a_{n}$ ne converge pas. Un autre paramètre important pour la convergence est la valeur de la raison $x$.

Le rayon de convergence

La valeur $1 \over L$ est appelée le rayon de convergence et est définie comme la valeur maximale de la raison qui permette à la série de converger. Plus précisément, le rayon de convergence $R$ est définie comme la valeur telle que :

• Si $0\leq |r|\leq R$, la série converge.
• Si $|r|>R$, la série diverge.
• Si $|r|=R$, la série peut diverger ou converger selon la série.

Le rayon de convergence peut être nul, non-nul ou infini et ces trois cas donnent des résultats différents en termes de convergence. Les cas où $L=0$ et $L=\infty$ donnent une forme indéterminée, dont on peut trouver facilement la solution. Mais hormis ces cas pathologiques, il existe toujours une valeur de la raison qui permette de faire converger la série. Pour résumer :

• Si $R$ est non-nul et pas infini, les valeurs comprises dans l'intervalle $\left]-{\frac {1}{L}},{\frac {1}{L}}\right[$ font converger la série.
• Si $R=+\infty \equiv L=0$, alors la série converge pour toute valeur de la raison.
• Si $R=0$, la série converge uniquement pour $r=0$.

Ce qui nous amène au point suivant, nommé lemme d'Abel par les mathématiciens :

Prenons une valeur $r$ telle que la série entière $\sum _{n}a_{n}r^{n}$ converge (en fait, il suffit qu'elle soit bornée, mais laissons ce détail de côté). Alors, pour toute raison comprise dans l'intervalle $[0,r]$, la série sera convergente.

Démonstration

Si $r_{1}<r$, on a : $\sum _{n}a_{n}r_{1}^{n}=\sum _{n}a_{n}r^{n}\left({\frac {r_{1}}{r}}^{n}\right)$ La série $\sum _{n}a_{n}r^{n}$ converge vers une valeur que nous allons noter M, ce qui donne : $\sum _{n}a_{n}r_{1}^{n}=\sum _{n}M\left({\frac {r_{1}}{r}}^{n}\right)$ Vu que $r_{1}<r\equiv {\frac {r_{1}}{r}}<1$, le second terme $\sum _{n}{\frac {r_{1}}{r}}^{n}=$ va converger. Chaque terme du produit converge, ce qui fait que la suite complète converge elle aussi.

Les fonctions analytiques

Les séries entières ont un lien avec une classe de fonctions bien particulières : les fonctions analytiques. Ces dernières sont des fonctions que l'on peut approximer par une série entière. L'intérêt de cette approximation est qu'elle permet d'étudier des fonctions assez simplement. Transformer une fonction compliquée en un polynôme facilite grandement les calculs. L'analyse d'un polynôme ne demande que les quatre opérations de base et des manipulations de puissances, choses qui sont à la portée de tout lycéen. On peut ainsi dériver ou intégrer une fonction analytique sans faire de calculs compliqués. La plupart des fonctions que vous connaissez sont analytiques. C’est le cas pour les polynômes, les fonctions trigonométriques, l'exponentielle, le logarithme, et quelques autres. Par contre, certaines fonctions comme la valeur absolue ne le sont pas.

Une fonction analytique $f(x)$ peut se calculer avec une série entière telle que :

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot (x-x_{0})^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+a_{4}(x-x_{0})^{4}+...$

Précisons que l'égalité ne vaut que si x est dans l'intervalle de convergence, pas ailleurs. En dehors de cet intervalle, la série diverge et l'égalité avec la fonction cède. En clair, on sait que la formule précédente est valable pour $x_{0}$, éventuellement pour d'autres valeurs. Si la série a un rayon de convergence non-nul, alors l'égalité fonction-série tient tant que x reste dans l'intervalle de convergence : la formule n'est valable que dans le voisinage de $x_{0}$ (pour les valeurs proches). Dans de rares cas, le rayon de convergence est infini et la série converge pour tout x réel/complexe, la formule est alors valable pour tout x.

Pour donner un exemple, prenons la fonction $f(x)={\frac {1}{1-x}}$. On sait que la série géométrique $1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+...=\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}$ converge vers $1 \over 1-x$ pour $|x|<1$. On peut donc écrire :

$\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}=f(x)$

Ce qui est équivalent à écrire :

$1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+...={\frac {1}{1-x}}$

Mais l'égalité ne vaut que pour $|x|<1$, condition nécessaire pour que la série converge au-delà, la fonction et la série n'ont plus aucun rapport entre elles.

Les coefficients d'une série entière et les dérivées de la fonction analytique associée

Les coefficients $a_{n}$ peuvent se calculer de plusieurs manières différentes. Le cas le plus courant est celui où l'on calcule les coefficients à partir des dérivées de la fonction f(x). Pour être précis, on a besoin de la fonction, de ses dérivées première, seconde, troisième, quatrième, cinquième et ainsi de suite. On a besoin de toutes les autres dérivées d'ordre n, jusqu'à l'infini, ce qui implique que de telles dérivées existent toutes. Dit autrement, la fonction doit être de classe $C^{\infty }$. La méthode que nous allons voir ne marche pas pour les fonctions qui ne respectent pas cette condition.

Les coefficients d'une série entière ont un rapport avec les dérivées de la fonction associée. On sait déjà que le premier coefficient est égal à f(0) pour une série centrée sur zéro, et à f(a) pour une série centrée sur a.

$a_{0}=f(a)$

Maintenant, essayons de calculer le premier coefficient. Prenons une fonction f(x) et considérons sa série entière associée, en supposant que la série entière soit centrée sur zéro.

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot x^{n}=a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+a_{3}\cdot x^{3}+a_{4}\cdot x^{4}+...$

Maintenant, dérivons l'équation précédente. On sait que la dérivée d'un polynôme est la somme des dérivées de chaque terme, de chaque monôme.

$f'(x)=(a_{0})'+\left(a_{1}\cdot x\right)'+\left(a_{2}\cdot x^{2}\right)'+\left(a_{3}\cdot x^{3}\right)'+\left(a_{4}\cdot x^{4}\right)'+...$

On utilise la formule $(k\cdot f(x))'=k\cdot f(x)'$ :

$f'(x)=a_{1}\cdot \left(x\right)'+a_{2}\cdot \left(x^{2}\right)'+a_{3}\cdot \left(x^{3}\right)'+a_{4}\cdot \left(x^{4}\right)'+...$

On applique la formule $\left(x^{n}\right)'=n\cdot x^{n-1}$ :

$f'(x)=a_{1}+a_{2}\cdot 2x+a_{3}\cdot 3x^{2}+a_{4}\cdot 4x^{3}+...$

Regardons la valeur pour x = 0. Les coefficients multiples de x s'annulent et ne laissent que le coefficient $a_{1}$.

$f'(0)=a_{1}$

Le résultat se généralise pour les séries qui ne sont pas centrées sur zéro, mais sur a : il suffit de remplacer zéro par a dans les formules.

$f'(a)=a_{1}$

Maintenant, calculons la dérivée seconde. Pour cela, repartons de la formule de la dérivée première établie plus haut :

$f'(x)=a_{1}+a_{2}\cdot 2x+a_{3}\cdot 3x^{2}+a_{4}\cdot 4x^{3}+a_{5}\cdot 5x^{4}...$

Le calcul de la dérivée est similaire aux calculs précédents, ce qui donne :

$f''(x)=2\cdot a_{2}+a_{3}\cdot (3\times 2)+a_{4}\cdot (4\times 3)x^{2}+...$

En prenant x = 0, on trouve :

$f''(0)=2\cdot a_{2}$

Le résultat se généralise pour les séries qui ne sont pas centrées sur zéro, mais sur a : il suffit de remplacer zéro par a dans les formules.

$a_{2}={\frac {f''(a)}{2}}$

Le calcul du troisième coefficient procède de la même manière, en calculant la dérivée troisième à partir de la formule de la dérivée seconde établie auparavant. Cela donne :

$f'''(x)=a_{3}\cdot (3\times 2)+a_{4}\cdot (4\times 3\times 2)x+...$

En prenant x=0, on trouve :

$f'''(x)=a_{3}\cdot (3\times 2)$

Notons que le produit est égal à la factorielle de 3.

Le résultat se généralise pour les séries qui ne sont pas centrées sur zéro, mais sur a : il suffit de remplacer zéro par a dans les formules.

$a_{3}={\frac {f''(a)}{3!}}$

Même chose pour le quatrième coefficient. On part de la dérivée troisième :

$f'''(x)=a_{3}\cdot (3\times 2)+a_{4}\cdot (4\times 3\times 2)x+...$

On dérive une nouvelle fois et on trouve :

$f'''(x)=a_{4}\cdot (4\times 3\times 2)x+...$

En prenant x=0, on trouve :

$f'''(0)=a_{4}\cdot (4\times 3\times 2)x$, avec le produit entre parenthèse la factorielle de 4.

On a donc :

$a_{4}={\frac {f'''(a)}{4!}}$

Et on peut poursuivre ainsi de suite. On aura toujours la formule suivante :

$a_{n}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}$

L'expansion en série de Taylor

Avec ce que l'on vient de voir, on a :

$a_{n}={\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}$, avec $f^{(n)}$ la dérivée d'ordre n de la fonction f(x) et $n!$ la factorielle de n.

Avec cette méthode, la fonction f(x) est donc approximée par une série appelée série de Taylor :

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$

Une série de Taylor nous permet de calculer la fonction au point x, si l'on connait sa valeur et ses dérivées au point $x_{0}$. L'avantage est que la plupart des fonctions ont un point où calculer leurs propriétés est très facile. Dans le cas particulier où $x_{0}=0$, une série de Taylor est appelée une série de Maclaurin.

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0){\frac {x^{n}}{n!}}$

On connait les séries de Taylor pour de nombreuses fonctions. Voici quelques autres exemples très connus.

Exponentielle	$\exp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$	$1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+...$
Logarithmes (les formules ne convergent pas toujours)	$\ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}$	$-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}-{\frac {x^{5}}{5}}-...$
	$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}$	$x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-...$
Fonctions trigonométriques	$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$	$1-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+...$
	$\cos(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$	$1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+...$
	...	...

L'approximation d'une fonction analytique par une série de Taylor partielle

Approximation de la fonction exponentielle, au fur et à mesure qu'on ajoute les premiers termes de la série de Maclaurin.

Les fonctions non-polynomiales ont un nombre infini de termes, alors que les fonctions polynomiales n'ont qu'un nombre fini de termes (sous-entendu, de termes non-nuls). D'ailleurs, la série de Taylor d'une fonction polynomiale est la fonction elle-même. En fait, le principe qui se cache derrière les séries de Taylor est d'approximer la fonction par un polynôme, polynôme décrit par la série de Taylor. Si la fonction est polynomiale, alors la série de Taylor est le polynôme lui-même. Pour d'autres fonctions, la correspondance marche localement, à savoir qu'au voisinage d'un point, la fonction est décrite à la perfection par un polynôme en un point x, mais que l’approximation se fait de moins en moins bonne quand on s'en éloigne.

Notons que les séries de Taylor sont des séries infinies, mais que l'on peut ne prendre en compte que les premiers termes pour des applications pratiques. Par exemple, les séries de Taylor sont utilisées pour faire des approximations en physique ou en ingénierie. Si un phénomène est décrit par une fonction assez compliquée, ou mal connue, on peut l'approximer par une série de Taylor et ne prendre en compte que les premiers termes (souvent les plus importants). Prenons par exemple celui de la fonction sinus et de sa série de Taylor associée. Sur le schéma ci-dessous, on voit la fonction sinus, avec la courbe obtenue avec les 7 premiers termes de la série de Taylor associée. On voit que la fonction est pas trop mal approximée par le polynôme, mais seulement à proximité du point étudié.

Approximation de sinus par les 7 premiers termes de la série de Taylor.